關于高中數學中立體幾何解題技巧的思考

鄭黛斯

（廣東省深圳市梅林中學，廣東 深圳 518000）

立體幾何作為高中階段重要的數學課程內容，是高中數學學習的重要板塊，也是高考數學中的必考內容，考查學生的直觀空間想象能力，對學生的數學思維和幾何理解能力提出新的要求，同時也考查學生思維的靈活性。本文依據并參考高考《考試大綱》及《考試說明》，立足于能力要求，旨在追求學生能力的提升，能力提升體現在解題技巧的熟練應用，要提升能力也必須培養提高學生對于解題技巧的熟練程度。要輕松準確地解決立體幾何題型，就需要教師有效引導學生借助一些幾何題更好地思考、探究，有效掌握立體幾何題的解題技巧，進而使學生提高解題能力。

1 空間想象能力

空間想象能力是指根據題目描述，能構想出所需解決的問題及對應的幾何圖形和幾何關系，對問題有直觀上的理解，是解決立體幾何問題最基礎的能力。該項能力考查的內容包括：根據題目已知條件按照要求規范地做出正確的幾何圖形，其內容主要涉及解題過程中根據題目描述對圖像有感官想象以及能完成輔助線的規劃建立。

輔助線法解題是與空間想象能力相關的重要也是常用的解題技巧。

在高考立體幾何的考查內容中，學生對知識的理解和靈活運用是非常重要的部分。其中，對于空間的點、線、面位置關系的判定，以及根據其位置關系性質進行求解，特別對立體幾何位置關系的判定和性質的運用是解決立體幾何問題的基石。而在學習的過程中，學生的空間想象能力的培養需要對空間有敏銳直觀的感知，也需要對幾何圖形有較高的理解程度熟練演繹。

2 邏輯推理論證能力

邏輯推理論證能力是指審題后，理解題干信息，提取題目隱藏信息，并能根據所得信息確定解題所需定理、性質、相關結論，其核心在于對知識體系有系統深入的理解，并能敏銳地發現解決問題的思路。該項能力考查了學生的數學專業敏銳能力以及對題目背后的數學知識是否真正理解。

綜合法解題是與邏輯推理論證能力相關的重要解題技巧。采用“綜合法”解決立體幾何問題時，學生第一步應當通過運用直觀感知進行空間想象對立體幾何問題進行直觀理解，然后再進行抽象表示、分析，最后再進行綜合求解。綜合法解題要求學生有良好的邏輯推理能力，集中體現學生的數學思維和表達技能，尤其對其圖形、文字、數學語言表達能力，數學符號和文字相互配合提出了較高要求。

綜合歷年高考考題來看，立體幾何部分對學生能力的考查內容包括：（1）以立體幾何的定義、公理和定理為出發點，認識和理解空間中線面垂直的有關性質與判定定理；（2）能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的垂直關系的簡單命題。以下題為例。

例1 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分別為AD，PB的中點。

（1）求證：平面PAB⊥平面PCD；

（2）求證：EF∥平面PCD.

分析：（1）要證明面面垂直，首先要找到線面垂直，可以考慮從題干中給的面面垂直入手解決。（2）要證明線面平行，關鍵是找到線線平行。

3 運算求解能力

運算求解能力是指對問題公式進行計算求解，對等式進行變形及處理，是進行立體幾何問題求解的重要解決途徑。該項能力考查內容包括：公式的計算變形以化為便于計算的形式，對數據進行處理以便于計算過程中運算簡便提高速度。

向量法解題是與運算求解能力相關的解題技巧。

在實際應用過程中，用向量法解決立體幾何問題對于難以通過邏輯推理和空間想象的題目有較大幫助。采用“向量法”本質上是將“向量”作為橋梁，將立體幾何問題中的點、線、面轉化為向量的關系，通過計算求其代數值表示基本幾何元素，從而求解得出所需結果。其核心在于將立體空間幾何問題通過向量轉化為數值純代數的計算問題，對于空間想象能力不強的學生而言提供了解決問題的新思路和方法。

向量法在立體幾何中最普遍的應用是解決立體幾何中的空間角問題。在異面直線所成角的求解問題的過程中，只要分別找到兩條直線的方向向量，求出兩個方向向量夾角的余弦值，就能找到相應直線夾角的余弦值。在直線與平面所成角的求解問題過程中，找到平面的法向量，便可利用直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦值來找到直線與平面所成角的正弦值。在平面與平面所成角的求解問題過程中，可以通過求解兩個平面對應法向量夾角的余弦值來解決，要注意的是求出來的角與目標解的關系為相等或互補，此時必須結合題目所給圖形綜合考慮。上面所述的幾種利用向量法求取空間角的方法，本質上都是將所求解問題轉化為求兩個向量之間的夾角問題。

對學生用向量法解決立體幾何問題的考查內容包括：（1）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題；（2）了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用。自向量被引入課程，在高考試題中使用向量來解決空間角問題就很常見，因為空間向量是處理三維幾何問題最重要的方法，這使得立體幾何在解答的過程中產生了非常大的變化，改變了學生在三維幾何解題中的思維方式和解題方法，用向量運算解決固定幾何問題避免了精細的定性分析，大大簡化了問題。

4 應用意識

應用意識是立體結合問題求解最深入最高層次的要求之一，它涵蓋了知識體系的應用和理解，要求學生對上述幾種能力都已具備并能在此基礎上嘗試探索性解法，該項能力考查主要要求學生能掌握并運用立體幾何的知識架構、思路想法和常規解法、解決與之有關聯的綜合應用問題困惑。

數學思想解題是與應用意識相關的解題技巧。

在高中學習階段過程中，數學思想是非常重要的學習內容，尤其在高中數學中得到深刻體現。數學題目無窮無盡，有各式變題，但正所謂萬變不離其宗，試題背后的數學思想和解題思維方法才是題目的核心命脈所在，只有將數學思想和解題的思維方法學懂弄清，才能以不變應萬變，輕松應對各類問題。在高中階段，立體幾何相關題目所用到最多的數學思想方法包括：轉化與化歸的思想，數形結合思想。除此之外，上文提及的綜合法和向量法也得到了廣泛的使用，但其屬于常規解法。

數形結合思想是將數學問題圖形化，將幾何問題代數化，其本質指的是代數數值與幾何圖形結合起來考慮的問題。例如，我們可以在求解立體幾何底面線段長度時，將底面的直觀圖還原成平面圖，再利用平面幾何知識，結合圖形求解數據。在學習過程中，圖形、文字與數學符號三者互相轉化，其內部聯系需要爛熟于心，對于代數和幾何圖形的相互轉化的熟練運用。

數學思想和數學思維解題方法中的轉化與化歸的數學思想，其本質指的是把未知內容向已知內容方面轉化，將題目中要進行證明解答的問題以另一種簡易可證的方式證出求得。轉化與化歸的數學思想和數學思維是數學在實際應用中的強大法寶。例如，針對異面直線互相垂直的證明問題，可以考慮根據垂直關系的性質公理尋找解決問題的思路，從線面垂直關系下手，只需證明一條直線與另外一條直線所在的平面垂直，就可根據性質公理得出結論。“轉化與化歸”的思想本質而言是利用逆向思維尋找解決問題的方法，因其強大的作用再應用數學知識解決問題中得到廣泛的應用。

5 結語

本文以高中數學中立體幾何解題技巧為研究對象，從高考對立體幾何的能力要求出發，從四方面能力培養的角度分別介紹了立體幾何解題技巧，技巧來源于對知識的深入理解和熟練運用，相信解題技巧運用能夠深化學生的知識體系理解，提高學生學習數學熱情，增長其數學學習能力。