數學問題幾何化初探

陳海燕

【摘要】初中數學中的不少代數問題都能夠借助幾何圖形解決，將數學問題轉換成幾何圖形，能夠充分發揮直觀幾何圖形對抽象代數問題的支撐作用，培養學生分析問題能力、提升解決問題能力.

【關鍵詞】數學問題;構造圖形法;代數問題

數學中的不少代數問題均可借助幾何圖形解決.如果純粹利用代數方法解決數學問題，存在計算過程復雜等問題，但可以巧妙地將其轉換成幾何問題來解決.將有明顯意義的代數題目通過構造幾何圖形，轉換成幾何題目加以研究，能夠獲得意想不到的解題方法，這種解題的方法稱之為構造圖形法.

代數問題幾何化的關鍵是引導學生觀察代數題目、分析題目性質，找出關鍵點，再將代數問題與幾何圖形進行聯系，充分發揮想象能力，找出代數題目和幾何圖形的結合點，構建符合題意的幾何圖形.借助于創造的幾何圖形，將代數題目中的多個數量關系直觀化，將抽象概念形象化，能夠減少若干不必要的或無價值的計算.通過巧妙轉化，能夠極大地提高解題效率.構造圖形解題方法是多樣的，包括但不限于構造直角三角形、直角梯形、等邊三角形、矩形、正方形等幾何圖形.

1 構造幾何圖形簡化復雜計算

例1 計算19961997×19971996-19961996×19971997.

解 經過觀察：該因式類似于矩形的面積差.因而可以引導學生進行聯想，構造兩個矩形，即矩形ABCD和矩形ECHF.這樣題目就變成了求：小矩形ABHG與小矩形EDGF面積的差（兩個小矩形的寬都是1）.

即原式=S矩形ABHG-S矩形EDGF=19971996×1-19961996×1=10000.即為所求.

通過構造幾何圖形，成功簡化了復雜的計算.

2 構造幾何圖形證明等式

例2 x，y，z均為正整數，且x2+y2=z2，x2=zx2-r2.

求證：xy=rz.

分析 因為x2+y2=z2的條件，聯想到直角三角形的勾股定理，以x、y、z為邊構造直角三角形進行解題.本題就迎刃而解了.

證明

因為 x2+y2=z2，

所以 以x、y、z為邊構造Rt△ABC（如圖2所示），

使BC=x，AC=y，AB=z.

過點C作CD⊥AB于D，

所以△ABC∽△CBD.所以BC2=AB·BD，即x2=zx2-r2，

又因為x2=zx2-CD2，則CD=r.

所以S△ABC=12xy=12rz，

所以xy=rz即為所證.

3 構造幾何圖形求三角形的面積

例3 求以m2+1、m2+4、4m2+1為三邊的三角形的面積.

解 構造矩形ABCD，如圖3，使AB=2m，AD=2，E、F分別是AD、AB的中點.EF=m2+1，EC=4m2+1，FC=m2+4，△EFC的三邊分別為m2+1、m2+4、4m2+1，S△EFC=S矩形ABCD-S△AFE-S△FBC-S△EDC=4m-0.5m-m-m=1.5m.即為所求.

4 構造幾何圖形巧求取值范圍

例4 已知x、y、z均為正實數，且x2+y2-z2=0，求zx+y的取值范圍.

解 注意到x2+y2-z2=0，可構造直角梯形ABCD（如圖4），點E在BC上且

EC=AB=x，BE=CD=y，AE=ED=z，

則△AED為等腰直角三角形，且AD=2z.由于x+y>z，所以zx+y<1;又由于BC≤AD，

即x+y≤2z，得zx+y≥22.所以22≤zx+y<1.

當x=y時，不等式中的等號成立.

5 構造幾何圖形證明不等式

例5 已知a、b、c、x、y、z、k均為正實數，且a+x=b+y=c+z=k.

求證：ay+bz+cx

證明 根據本題給出的條件，結合a+x=b+y=c+z=k，

構造正方形，做邊長為k的正方形ABCD，再從中找出三個小矩形，邊長分別為a、y、c、x、b、z，則各對應矩形的面積分別是ay、bz和cx.

所以S陰影=ay+bz+cx

6 構造幾何圖形比較數的大小

例6 比較5+10+13與62的大小關系

解 如圖6，構設一個正方形，它的邊長為6，根據勾股定理易得：AB=5，BC=13，CD=10，AD=62，由線段的公理“兩點之間，線段最短”，易得AB+BC+CD>AD，

即5+10+13>62.

總之，數學以縝密的思維向人們展示它的美麗.培根曾說過：“數學是思維的體操”.“代數題目幾何化”就是展示數學美麗的一種方式，本質上是將抽象的、難懂的代數題目和形象、直觀的幾何圖形緊密地結合起來，進行數學思維的連接和轉化.幾何圖形的特點是能夠直觀形象的地展示圖形，用幾何圖形將代數題目的關鍵點表達出來，即把抽象的問題具體化，把復雜的問題簡單化，通過對幾何圖形的處理，能夠充分發揮出直觀幾何圖形對抽象代數問題的支撐作用，培養學生分析問題能力，提升解決問題的能力，激發學生對數學的興趣，從而開闊的學生的思路、拓寬的學生的思維、增強的學生的動手能力，使學生能愛上數學，為學好數學奠定堅實的基礎.