應用放縮代換解題

章啟平

放縮代換是初中數學競賽中常用的解題技巧，所謂放縮代換，就是將代數式中的某些部分用適當放大或縮小后的代數式進行替換的過程，它與等量代換如出一轍，放縮代換是一種不等量代換，代換后應注意原式子中等號或不等號的變化.本文舉幾例介紹放縮代換的運用，供大家參考.

1 借助條件

例1 設a，b是正整數，且滿足56≤a+b≤59，0.9<ab≤0.91，則b2-a2等于（）

（A）171. （B）177. （C）180. （D）182.

分析 56≤a+b≤59，0.9<ab≤0.91實際是關于a，b的二元不等式組，因此消元是常規思路，借助0.9<ab≤0.91可進行放縮代換消元.

由0.9<ab≤0.91，

得0.9b<a≤0.91b，

當0.9b<a時，不等式56≤a+b≤59中的a可用縮小后的0.9b代換，得

0.9b+b<59，

解得b<31119.

當a≤0.91b時，不等式6≤a+b≤59中的a可用放大后的0.91b代換，得

56≤0.91b+b，

解得b>2961191，

所以2961191<b<31119，

因為b為正整數，

所以b=30或b=31，

當b=30時，由0.9b<a≤0.91b，得

27<a≤27.3，

此時無正整數a，

當b=31時，由0.9b<a≤0.91b，得

27.9<a≤28.21，

所以a=28，

所以b2-a2=312-282=177，

選（B）.

注 根據問題條件，確定正整數a，b的值就是求二元不等式組的正整數解，可先解不等式組.解二元或是多元不等式組，消元是基本思想，代入消元是常見的操作方法，利用不等式類比等式的代入消元，進行放縮代換消元，很容易求得未知數的取值范圍，根據范圍確定正整數a，b的值就容易了.

2 利用均值不等式

例2 設a，b，c均為正實數，求證：

12a+12b+12c≥1b+c+1c+a+1a+b.

分析 將式子12a+12b+12c縮小至1b+c+1c+a+1a+b的形式，可借助均值不等式：對于正實數a，b有：a+b≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立.

利用上面的不等式即可進行放縮代換.

12a+12b≥212a·12b=1ab≥1a+b2=2a+b.

將12a+12b和的形式利用上述不等式縮小至212a·12b=1ab的形式，再次利用上述不等式將分母ab放大至a+b2的形式，經過兩次縮小，得

12a+12b≥2a+b，①

同理12b+12c≥2b+c，②

12c+12a≥2c+a，③

三式相加得

212a+12b+12c≥2a+b+2b+c+2c+a，

所以 12a+12b+12c≥1a+b+1b+c+1c+a.

注 借助均值不等式a+b≥2ab，可以把兩個正數的和縮小，也可以把兩個正數的積放大，這是利用均值不等式進行不等式證明的常用方法，進行不等式的證明，通常就是把不等式的不等號的一邊放大或縮小至另一邊的形式，均值不等式a+b≥2ab是個不錯的工具.

3 構造模型

例3 設S=1+122+132+…+120172，則S+12=.（注：[x]表示不超過實數x的最大整數）

分析 需要知道S+12的值，就必須知道S的值，但根據條件很難求出S的值，因此需要對S進行稍微精確的估計，故對S=1+122+132+…+120172進行適當放縮.S是1n2代數和的形式，構造不等式：

1n（n+1）<1n2<1（n-1）n，

即可將1n2放大至1（n-1）n，也可將1n2縮小至1n（n+1）.

因此，設A=132+142+…+120172，

所以13×4+14×5+…+12017×2018<A<

12×3+13×4+…+12016×2017，

所以有13-12018<A<12-12017，

即S+12=1+14+A+12=134+A，

所以134+13-12018<S+12<134+12-12017

2+112-12018<S+12<2+14-12017，

而0<112-12018<1，

0<14-12017<1，

所以S+12=2.

注 對S=1+122+132+…+120172式子的值進行稍微精確的估計，就需要對S中的某些部分進行適當的放縮，利用兩頭夾逼的思想方法，估計出S的取值范圍，由于S是1n2代數和的形式，所以對1n2進行放縮就是對S的通式進行放縮，通過放大與縮小兩頭夾逼，S的取值范圍就容易確定了.

4.設置不等關系

例4 求滿足方程1x+1y+1z=34的正整數組（x，y，z）的數組.

分析 根據方程可知，x，y，z具有輪換對稱的性質，且x，y，z的值越大，1x+1y+1z越小，因此可以設置x，y，z的大小關系，即x≤y≤z，對1x+1y+1z進行放大處理求取值.

不妨設x≤y≤z.

則1x+1y+1z≤1x+1x+1x=3x，

所以有3x≥34，

解得x≤4，

所以x=1，2，3，4.

（1）當x=1時，顯然不符合題意.

（2）當x=2時，有1y+1z=14，

顯然y>4，z>4.

同樣放大1y+1z≤1y+1y=2y，

即2y≥14，

解得y≤8，

所以y=5，6，7，8.

①當y=5時，z=20;

②當y=6時，z=12;

③當y=7時，z無正整數解;

④當y=8時，z=8.

此時有x=2，y=5，z=20，x=2，y=6，z=12，x=2，y=8，z=8，

（3）當x=3時，有1y+1z=512，

顯然y>2，z>2，

同理1y+1z≤1y+1y=2y，

即2y≥512，

解得y≤245，

所以y=3，4，

①當y=3時，z=12;

②當y=4時，z=6.

此時有x=3，y=3，z=12，x=3，y=4，z=6.

（4）當x=4時，有1y+1z=12，

顯然y>3，z>3.

同理1y+1z≤1y+1y=2y，

即2y≥12，

解得y≤4，

所以y=4，

當y=4時，z=4.

此時有x=4，y=4，z=4.

綜上所述，正整數組（x，y，z）的數組有：

（2，5，20），（2，20，5），（5，2，20），（5，20，2），

（20，2，5），（20，5，2），（2，6，12），（2，12，6），

（6，2，12），（6，12，2），（12，2，6），（12，6，2），

（2，8，8），（8，2，8），（8，8，2），（3，3，12），

（3，12，3），（12，3，3），（3，4，6），（3，6，4），

（4，3，6），（4，6，3），（6，3，4）（6，4，3），（4，4，4）.

注 利用不等式估計是求不定方程正整數解的常用解法，把原有的等式變成不等式，就需要對原式中的部分代數式進行不等關系的條件設置.本例中的式子輪換對稱，因此設置x≤y≤z條件后進行放縮，等式就變成了不等式，同時，三元方程也變換成了一元不等式，通過解不等式可確定未知數的正整數解.

放縮代換在求整數值、不等式證明、計算、不定方程等各種類型問題中有著非常廣泛的應用，解題實踐中，根據問題情景，選擇不同方式進行放縮代換，靈活運用、放縮有度就是解決問題思路的突破口.