隱含的直角

張玉清

初中數(shù)學(xué)競賽題中，有不少對解題很有用的條件都隱含在題中，需要學(xué)生用慧眼去發(fā)現(xiàn)，從而解題，下面舉例加以分析，供讀者參考.

例1 如圖1，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC.點P在△ABC內(nèi)，且PA=3，PB=5，PC=2.求△ABC的面積.

分析 △ABC是否有特殊性？分散的條件怎樣集中？

已有的經(jīng)驗是∠ACB=90°時利用旋轉(zhuǎn)的方法解.沿著這條思路，我們發(fā)現(xiàn)，題中有兩個90°的隱含條件.

其一，由“∠BAC=60°，AB=2AC”可知∠ACB=90°.

其二，由“PA=3，PB=5，PC=2”想到基本勾股數(shù)3，5，4，將此三條線段變換后集中在一個三角形是常見的解題方法.

解 如圖2，作△ABQ，使得

∠QAB=∠PAC，

∠ABQ=∠ACP.

則△ABQ∽△ACP，

從而可得△ACB∽△APQ.

因為AB=2AC，

所以AQ=2AP=23，

BQ=2CP=4.

因為∠ACB=∠APQ=90°，

所以PQ=3AP=3，

所以BP2=25=BQ2+PQ2.

從而∠BQP=90°.

過點A作AD⊥BQ于點D，在矩形APQD中，

AD=PQ=3，

DQ=AP=3，

所以BD=4+3.

所以AB2=（4+3）2+32=28+83.

所以S△ABC=12AB·AC·sin60°

=38AB2=6+732.

例2 如圖3，已知D為銳角△ABC內(nèi)部的一個點，使得∠ADB=∠ACB+90°.且AC·BD=AD·BC，求AB·CDAC·BD的值.

解 由“∠ADB=∠ACB+90°”易知

∠CAD+∠CBD=90°.

作AE⊥AD且EA=AD，則

∠EAC=∠DBC.

因為AC·BD=AD·BC，

所以ACBC=ADBD=AEBD，

可得△EAC∽△DBC.

進(jìn)而可得△ECD∽△ACB.

所以DEAB=CDBC=CEAC，

所以AB·CD=BC·DE.

又因為DE=2AD，

所以AB·CDAC·BD=2.

以上兩題發(fā)現(xiàn)題中隱含90°角是解題關(guān)鍵.所作輔助線實質(zhì)是旋轉(zhuǎn)相似變換，是解題的方法.作為練習(xí)，例2的條件下，還可求AB·CDBC·AD的值.（答案為：2）