巧用賓主換位法解賽題

劉漢奇

在解決一些含有參數（常量）與變元的競賽題時，若直接求解運算和推理過程都較冗繁，可轉換一下思維視角，進行“賓主換位”，即視參數（常量）等為 “主元”，而將變量視為參數（常量），從使問題得到巧妙、簡捷地解決.以下舉例說明賓主換位法在求解競賽試題中的應用.

1 求代數式的值

例1 如果a=122+18-182，求a2+a4+a+1的值.

解 由a=122+18-182，得

a+182=122+18，

所以a+1822=142+18，

所以a2+24a=24，

所以22a2+14a-14=0，

所以12-22a2-14（a+1）=0，

所以222-22a2-14（a+1）=0.

這里，視22為“主元”，則22是關于t的方程

t2-a2t-14（a+1）=0的正實根.

因此 22=a2+a4-4×1×[-14（a+1）]2

=a2+a4+a+12，

故有a2+a4+a+1=2.

注 該解法巧妙地利用常量與變量的相互轉化，把222-22a2-14（a+1）=0中的22看成“主元”，a看成常量，則得到關于的一元二次方程t2-a2t-14（a+1）=0，其中t是變量，a是常量，從而利用求根公式得解.

2 求解方程問題

例2 求出所有這樣的正整數a，使得二次方程ax2+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一個整數根.

解 視正整數a為“主元”，

由ax2+2（2a-1）x+4（a-3）=0，得

（x2+4x+4）a=2x+12，

所以（x+2）2a=2x+12，

所以a=2x+12（x+2）2.

因為a是正整數，

所以a≥1，

所以2x+12（x+2）2≥1，

所以2x+12≥（x+2）2，

所以x2+2x-8≤0，

所以（x+4）（x-2）≤0，

解得-4≤x≤2，

且x≠-2.

因為x是整數根，

因此x只能取-4，-3，-1，0，1，2.

將以上x的值分別代入a=2x+12（x+2）2，求得滿足要求的所有正整數a的值為1，3，6，10.

注 本題視正整數a為“主元”，進行賓主換位，分離出a后，根據a是正整數，轉化為x的不等式求解.

3 求定點

例3 若對于p的任意值，拋物線y=2x2-px+3p+1都過一個定點，則這個定點的坐標是.

解 因為定點與“參數”p無關，所以可視p為“主元”，將二次函數的解析式化為關于p的一次方程，由各個“系數”均為0求解.

由y=2x2-px+3p+1，變形得

（-x+3）p+（2x2+1-y）=0，

令-x+3=0，2x2+1-y=0，解得x=3，y=19.

故定點的坐標是（3，19）.

注 求圖象恒過定點的方法：圖象過定點，即與參數無關，可視參數為“主元”，將解析式變形整理為含參數和不含參數的兩部分，然后令參數的“系數”和不含參數部分均為0，從而求出定點.

4 求解不等式恒成立問題

例4 當-1≤a≤1時，不等式x2+（a-4）x+4-2a≥0恒成立，則x的取值范圍是.

解 視參數a為“主元”，將原不等式化為

（x-2）a+（x2-4x+4）≥0.

令關于a的 “一次”函數

y=（x-2）a+（x2-4x+4），

（1）當x=2時，不等式顯然恒成立;

（2）當x≠2時，由一次函數圖象的性質，得當a=-1時，y≥0，且當a=1時，y≥0，

由此得到關于x的不等式組

x2-5x+6≥0，x2-3x+2≥0.

對于x2-5x+6≥0，

因為由x2-5x+6=0，

解得x=2，或x=3，

結合函數y=x2-5x+6的圖象可得x≤2，或x≥3;

對于x2-3x+2≥0，因為由x2-3x+2=0，解得x=1，或x=2，結合函數y=x2-3x+2的圖象可得x≤1，或x≥2.

故結合數軸得x≤1，或x≥3.

綜合（1）（2）可知，x的取值范圍是x≤1，或x=2，或x≥3.

注 本題中x是變量，a是常量，但直接求解難度較大;這里變換了一下視角，視a為變量（主元），x為常量，并將關于x的“二次”不等式轉化為關于a的“一次”不等式求解，則思路簡潔.在各類考試題中，這是常出現的一類問題：系數中含有參數的關于變量x（或x的式子）的一元二次不等式，其參數在某給定的區間上且最高次數為1，求當不等式恒成立時，變量x的取值范圍.此類問題如果直接考慮關于x的一元二次不等式則難以處理.如果視參數為 “主元”，將關于x（或x的式子）的“二次”不等式轉化為關于參數的“一次”不等式，再利用一次函數的下列性質，構建出一個關于變量x的不等式（組），進而求出x的取值范圍，則是一條簡明而有效的途徑.

一次函數y=kx+b（k≠0）的性質：

①y>0（或≥0）在s≤x≤t上恒成立當x=s時，y>0且當x=t時，y>0（或當x=s時，y≥0且當x=t時，y≥0）;

②y>0在s<x<t上恒成立當x=s時，且當x=t時，y≥0）.

注：y<0（或y≤0）的情況類同.