賞析幾道概率問題

康風星

概率與我們日常的生產與生活聯系非常緊密.近年的中考試題中，有關概率問題的考查也在逐步增多.下面以2021年的部分中考試題為例，作簡單的分析.

1 事件的判定

例1 一個不透明的盒子中裝有2個黑球和4個白球，這些球除顏色外其他均相同，從中任意摸出3個球，下列事件為必然事件的是（）

（A）至少有1個白球. （B）至少有2個白球.

（C）至少有1個黑球.（D）至少有2個黑球.

解 事先能夠肯定一定會發生的事件稱為必然事件，事先能夠肯定一定不會發生的事件稱為不可能事件，必然是件和不可能事件都是確定事件;可能發生也可能不發生的事件稱為不確定事件.四個選項中，只有（A）是必然事件;（B），（C），（D）都為不確定事件.

2 求簡單事件發生的概率

表示一個事件發生的可能性大小的數叫做該事件的概率;概率的大小反映了隨機事件發生的可能性的大小，用P來表示.

例2 在桌面上放有四張背面完全一樣的卡片.卡片的正面分別標有數字-1，0，1，3.把四張卡片背面朝上，隨機抽取一張，記下數字且放回洗勻，再從中隨機抽取一張.則兩次抽取卡片上的數字之積為負數的概率是.

分析 畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結果與抽到的兩張卡片上標有的數字之積為負數的結果，再由概率公式即可求得答案.

解 畫樹狀圖如圖1.

共有16個等可能的結果，兩次抽取的卡片上的數字之積為負數的結果有4個，

所以兩次抽取的卡片上的數字之積為負數的概率=416=14.

3 結合典故背景，通過列舉法求概率

理解此類試題考查的是列舉法求概率的技巧，另外畫樹狀圖法（或列表法）適合于兩步或兩步以上完成的事件;解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

例3 “田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒.該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹馬A2，B2，C2，且這六匹馬在比賽中的勝負可用不等式表示如下：A1>A2>B1>B2>C1>C2（注：A>B表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝）.一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場比賽的勝利.面對劣勢，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序為上馬、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助對陣（C2A1，A2B1，B2C1）獲得了整場比賽的勝利，創造了以弱勝強的經典案例.

假設齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題：

（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利？并求其獲勝的概率;

（2）如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必敗無疑？若是，請說明理由;若不是，請列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況，并求其獲勝的概率.

分析 通過理解題意分析得出結論，通過列舉法求出獲勝的概率;

通過列舉齊王的出馬順序和田忌獲勝的對陣，求出概率.

解 （1）田忌首局應出“下馬”才可能在整場比賽中獲勝.

此時，比賽的所有可能對陣為：

（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2C1，A2B1），

（C2A1，B2B1，A2C1），（C2A1，A2C1，B2B1），

共四種.

其中田忌獲勝的對陣有

（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2C1，A2B1）

共兩種，

故此時田忌獲勝的概率為P1=12.

（2）不是.

齊王的出馬順序為A1，B1，C1時，

田忌獲勝的對陣是（C2A1，A2B1，B2C1）;

齊王的出馬順序為A1，C1，B1時，

田忌獲勝的對陣是（C2A1，B2C1，A2B1）;

齊王的出馬順序為B1，A1，C1時，

田忌獲勝的對陣是（A2B1，C2A1，B2C1）;

齊王的出馬順序為B1，C1，A1時，

田忌獲勝的對陣是（A2B1，B2C1，C2A1）;

齊王的出馬順序為C1，A1，B1時，

田忌獲勝的對陣是（B2C1，C2A1，A2B1）;

齊王的出馬順序為C1，B1，A1時，田忌獲勝的對陣是（B2C1，A2B1，C2A1）.

綜上所述，田忌獲勝的所有對陣是

（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2C1，A2B1），

（A1B1，C2A1，B2C1），（A2B1，B2C2，C2A1），

（B2C1，C2A1，A2B1），（B2C1，A2B1，C2A1）.

齊王的出馬順序為A1，B1，C1時，比賽的所有可能對陣是

（A2A1，B2B1，C2C1），（A2A1，C2B1，B2C1），

（B2A1，A2B1，C2C1），（B2A1，C2B1，A2C1），

（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2B1，A2C1），

共6種，同理，齊王的其他各種出馬順序，也都分別有相應的6種可能對陣，

所以，此時田忌獲勝的概率

P2=636=16.

4 公平游戲的判斷及規則的修改設計問題

例4 如圖2是兩個可以自由轉動的轉盤，甲轉盤被等分成3個扇形，乙轉盤被等分成4個扇形，每一個扇形上都標有相應的數字.小亮和小穎利用它們做游戲，游戲規則是：

同時轉動兩個轉盤，當轉盤停止后，指針所指區域內的數字之和小于10，小穎獲勝;指針所指區域內的數字之和等于10，為平局;指針所指區域內的數字之和大于10，小亮獲勝.如果指針恰好指在分割線上，那么重轉一次，直到指針指向一個數字為止.

（1）請你通過畫樹狀圖的方法求小穎獲勝的概率.

（2）你認為該游戲規則是否公平？若游戲規則公平，請說明理由;若游戲規則不公平，請你設計出一種公平的游戲規則.

解 畫樹狀圖如圖3.

可見，共有12種等可能的情況，其中和小于10的有6種.

所以小穎獲勝的概率為612=12.

（2）游戲的規則是否公平關鍵是看獲勝的概率，如果概率相等則公平，否則不公平.

由（1）可知，共有12種等可能的情況，其和大于10的情況有3種，

所以小亮獲勝的概率為312=14，顯然12≠14，故該游戲規則不公平.

游戲規則在修改后對于兩方獲勝的概率相等，故此可修改為：當兩個轉盤指針所指區域內的數字之和大于或等于10時，小亮獲勝;當兩個轉盤指針所指區域內的數字之和小于10時，小穎獲勝.當然修改游戲規則的方式很多，只要修改后的游戲規則符合題目要求即可，例如游戲規則也可修改為：當兩個轉盤指針所指區域內的數字之和為奇數時，小亮獲勝;為偶數時，小穎獲勝.

練習

1.已知粉筆盒內共有4支粉筆，其中有3支白色粉筆和1支紅色粉筆，每支粉筆除顏色外，其余均相同，先從中任取一支粉筆是紅色粉筆的概率是.

2.擲一枚質地均勻的正方體骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數，擲得面朝上的點數為偶數的概率是.

3.即將舉行的2022年杭州亞運會吉祥物為“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”，如圖4.

將三張正面分別印有以上3個吉祥物圖案的卡片（卡片的形狀、大小、質地都相同）背面朝上、洗勻.

（1）若從中任意抽取1張，抽得得卡片上的圖案恰好為“蓮蓮”的概率是.

（2）若先從中任意抽取1張，記錄后放回，洗勻，再從中任意抽取1張，求兩次抽取的卡片圖案相同的概率.（請用樹狀圖或列表的方法求解）

答案

1.14. 2.12.

3.（1）13.（2）13.