遇等腰直角三角形這樣作輔助線

楊再發

在解答某些條件是等腰直角三角形的問題中，需要作輔助線才能得以解決.一般有以下幾種常見的作輔助線的方法，現舉例說明，供參考.

1 有斜邊中點，連接成斜邊上的中線

例1 圖1

如圖1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，在BC邊上任取一點P，作PQ∥AB交AC于點Q，作PR∥CA交BA于點R，D是BC的中點，求證：△RDQ是等腰直角三角形.

證明 連接AD，RQ.

在△ABC中，

∠A=90°，AB=AC，

所以∠DBR=45°，

因為D是BC的中點，

所以AD⊥BC，

∠DAQ=45°，

AD=BD=CD，

所以∠DBR=∠DAQ，

∠ADB=∠ADC=90°，

因為PQ∥AB，

PR∥CA，

所以四邊形ARPQ是矩形，

則PR=AQ，

∠ARP=∠PRB=90°，

即∠B=∠RPB=45°，

所以PR=BR，

則BR=AQ，

所以△DBR≌△DAQ（SAS），

即DR=DQ，

∠BDR=∠ADQ，

因為∠ADR+∠BDR=90°，

所以∠ADR+∠ADQ=∠QDR=90°，

則△RDQ是等腰直角三角形.

例2 如圖2，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點，

①寫出點O到△ABC的三個頂點A，B，C的距離的大小關系（不要求證明）;

②如果點M，N分別在線段AB，AC上移動，在移動中保持AN=BM，請判斷△OMN的形狀，并證明你的結論.

解 ①連接AO，有OA=OC=OB.

②△OMN是等腰直角三角形.

理由如下：

在Rt△ABC中，AB=AC，

∠BAC=90°，

所以∠C=∠B=45°，

因為點O是BC的中點，

所以AO⊥BC，

OA=OC=OB，

∠OAC=∠OAB=45°，

即∠AOC=∠AOB=90°，

∠OAC=∠B，

因為AN=BM，

所以△AON≌△BOM（SAS），

所以ON=OM，

∠AON=∠BOM，

因為∠BOM+∠AOM=90°，

所以∠AON+∠AOM=90°，

則∠MON=90°，

所以△OMN是等腰直角三角形.

例3 如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是BC的中點，E，F分別是AB，AC邊上的點，且DE⊥DF，BE=12，CF=5，求△DEF的面積.

解 連接AD.

因為∠BAC=90°，

AB=AC，

所以∠B=∠C=45°，

因為D是BC的中點，

所以∠EAD=∠FAD=45°，

AD=BD=CD，

∠ADB=∠ADC=90°，

則∠EAD=∠C，

∠CDF+∠ADF=90°，

因為DE⊥DF，

所以∠EDA+∠ADF=90°，

所以∠EDA=∠CDF，

即△EDA≌△FDC（AAS），

則AE=CF，DE=DF，

因為BE=12，CF=5，

所以AE=5，

即AC=AB=BE+AE=12+5=17，

所以AF=12，

則EF=AE2+AF2=52+122=13，

因為DE2+DF2=EF2=169，

所以2DE2=169，

DE2=1692，

因為S△DEF=12DE×DF=12DE2，

所以S△DEF=1694.

2 作斜邊上的垂線

例4

如圖4，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是AC的中點，AE⊥BD于點E，延長AE交BC于點F，求證：∠ADB=∠FDC.

證明 過點A作AG⊥BC于點G，交BD于點H，

在△ABC中，

∠BAC=90°，AB=AC，

所以∠C=45°，

因為AG⊥BC于點G，

所以∠BAH=∠DAH=45°，

∠AGE=90°，

即∠BAH=∠C=∠DAH，

因為AE⊥BD于點E，

所以∠HEF=90°，

即∠EHG+∠EFG=180°，

因為∠AFC+∠EFG=180°，

所以∠AFC=∠EHG，

因為∠BHA=∠EHG，

所以∠BHA=∠AFC，

則△BHA≌△AFC（AAS），

所以AH=CF，

因為D是AC的中點，

所以AD=CD，

所以△ADH≌△CDF（SAS），

所以∠ADH=∠CDF，

則∠ADB=∠FDC.

3 構造成正方形

例5 圖5

如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是AC的中點，點P是斜邊AB上的動點，求PM+PC的最小值.

解 作△ABC關于AB為對稱軸的△ABD，連接CD，PD.

因為∠ACB=90°，

AC=BC=4，

所以四邊形ACBD是正方形，

即AD=AC=4，

PC=PD，

當點P在線段DM上時，PM+PC的值最小.

因為M是AC的中點，

所以AM=2，

則DM=AM2+AD2

=22+42

=25.

因為PM+PC=PM+PD=DM，

所以PM+PC的最小值是25.

例6 如圖6，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC上一點，DE∥AC，DF∥AB，且BE=4，CF=3，求S矩形DFAE.

解 作△ACB關于BC的軸對稱△GCB，延長ED交CG于點M，延長FD交BG于點N，

因為∠A=90°，AB=AC，

所以四邊形ABGC是正方形，

因為DE∥AC，DF∥AB，

所以四邊形CFNG，ABNF，DNGM，AEDF是矩形，四邊形DEBN，DFCM是正方形，

因為BE=4，CF=3，

即CF=DF=3，

則S矩形DFAE=DF×DE=12.

4.構造等邊三角形法

例7 圖7

如圖7，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是△ABC內的一點，且滿足∠DAC=∠DCA=15°，求證：BD=BA.

證明 以AB為邊作等邊△ABE，

則AB=AE，∠ABE=60°，

因為∠DAC=∠DCA=15°，

∠BAC=90°，

所以∠EAD=∠CAD=15°，

∠BAD=75°，

DA=DC，

因為AB=AC，

所以AE=AC，

因為AD=AD，

則△AED≌△ACD（SAS），

所以DE=DC.

因為BD=BD，

所以△ABD≌△EBD（SSS），

即∠ABD=∠EBD，

所以∠ABD=∠EBD=30°，

則∠BDA=180°-∠BAD-∠ABD

=180°-75°-30°

=75°.

所以∠BAD=∠BDA=75°，

則BD=BA.

5.延長補形法

例8 圖8

如圖8，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一點，AE⊥BD交BD的延長線于點E，且AE=12BD，求證：BD是∠ABC的角平分線.

證明 分別延長AE，BC交于點F，

因為∠ACB=90°，

所以∠ACF=90°，

因為AE⊥BD交BD的延長線于點E，

所以∠AEB=∠FEB=90°，

因為∠ADE=∠BDC，

所以∠FAC=∠DBC，

因為AC=BC，

所以△AFC≌△BDC（AAS），

所以AF=BD，

因為AE=12BD，

所以AE=12AF，

即E是AF的中點，

所以BA=BF，

則BE是∠ABF的角平分線，

即BD是∠ABC的角平分線.