活用三線合一定理證題

彭現(xiàn)省

等腰三角形底邊上的中線、頂角平分線、底邊上的高互相重合，亦稱為“三線合一”定理.若能靈活運用這一定理，可以巧妙而簡捷地證明等腰三角形中的許多問題，下面舉例說明，希望同學(xué)們能夠從中得到有益的啟示，提高證題技巧與應(yīng)用能力，開發(fā)創(chuàng)新思維.

1 證明線段相等

例1 已知△ABC中，AB=AC， BD=CD， DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F.求證：DE=DF.

證明 連接AD，

因為AB=AC，

BD=CD，

所以∠1 =∠2，

即AD為∠BAC的平分線.

因為DE⊥AB于點E，

DF⊥AC于點F.

所以DE=DF.

2 證明線段和差相等

例2 已知△ABC中，AB>AC， AD平分∠BAC，P為AD上的點.求證：AB-AC>PB-PC.

證明 在AB上截取AE=AC，連接PE，CE，CE交AD于點F.

因為AE=AC，

∠1=∠2，

所以AF⊥CE， EF=CF.

所以PE=PC.

因為PB-PE<BE，

BE=AB-AC，

所以AB-AC>PB-PC.

3 證角相等

例3 圖3

已知△ABC中，AB=AC， AD⊥BC于點D，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F.求證：∠DEF=∠DFE.

證明 因為AB=AC， AD⊥BC，

所以∠1=∠2.

因為DE⊥AB，

DF⊥AC，

所以DE=DF，

所以∠DEF=∠DFE.

4 證角的和差大小

例4 圖4

已知△ABC中，BE平分∠ABC，AD⊥BE于點D.求證：∠BAD=∠DAC+∠ACB.

證明 延長AD交BC于點F.

因為∠1 =∠2，

AD⊥BD，

所以BF=BA，

所以∠3=∠4.

因為∠4=∠FAC+∠C，

所以∠BAD=∠DAC+∠ACB.

5 證線段倍數(shù)關(guān)系

例5 圖5

已知△ABC中，AB=2AC，∠1=∠2.求證：BD=2CD.

證明 取AB中點E，連接CE交AD于點F.作BG⊥AD交AD的延長線于點G，則AE=AC，則△AEC為等腰三角形.

因為∠1 =∠2，

所以EF=FC，EF⊥AD，

故EC∥BG.

所以BG=2EF=2FC.

△BGD∽△CFD，

所以BDCD=BGFC=2，

所以BD=2CD.

6 證角的倍數(shù)關(guān)系

例6 圖6

已知△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于點D.求證：∠CBD=12∠BAC.

證明 過點A作AE⊥BC于點E.

因為AB=AC，

AE⊥BC，

所以∠1=∠2=12∠BAC.

因為BD⊥AC，

所以∠CBD+∠C=90°.

因為∠2+∠C=90°，

所以∠CBD=∠2，

所以∠CBD=12∠BAC.

7 證直線垂直

例7

已知△ABC中，AB=AC，D在BA的延長線上，E在AC上，且AD=AE.求證：DE⊥BC.

證明 過點A作AF⊥BC于點F.

因為AB=AC，

AF⊥BC，

所以∠1=∠2.

因為AD=AE，

所以∠3=12∠BAC.

所以∠2=∠3，

所以DE∥AF，

所以DE⊥BC.

8 證直線平行

例8 圖8

已知AB=AE，BC=ED，AC=AD.

求證：BE∥CD.

證明 作AG平分∠CAD交CD于點G，交BE于點F.

因為AC=AD，∠2=∠3，

所以AG⊥CD.

易證△ABC≌△AED，

所以∠1=∠4，

所以∠1+∠2=∠3+∠4，

即∠BAF =∠EAF.

所以AG平分∠BAE，

所以AF⊥BE，

所以BE∥CD.