應用解題技巧優化初中數學難題

呂明娟

【摘要】許多學生不知道如何運用數學知識分析和解決問題，一些學生混淆知識點，導致數學問題解決中出現錯誤，從而影響數學問題解決的效率和質量.鑒于此，數學教師有必要加強對學生問題解決的指導，使學生掌握問題解決的技能，提高問題解決的效率和質量.

【關鍵詞】初中數學;教學難題;解題技巧

為了不斷提高數學解題技能，熟練掌握各種常規方法和技能，解決好各類問題，有效提高解題能力，教師應教會學生善于根據問題中的不變量解題，靈活轉變解題思維，掌握簡化復雜度的問題解決能力.

1 分類討論在初中數學難題解題中的應用

在實際數學問題中，并非所有給定的三角形條件都是明確的，而且許多三角形的形狀是不確定的.因此，有必要對學生進行深入的分析，滲透分類討論的思想，以得到正確的答案.

例1 等腰三角形的兩腰之間的夾角為20°，請計算出頂角的度數.

在解決此類問題的過程中，由于無法明確定義三角形的具體形狀，應將其分類討論.

（1）如果頂角是銳角，則腰部高度在三角形內，如圖1所示.因為三角形的內角之和為180°，所以已知一個角的度數為90°，另一個角的度數為20°，因此頂角的度數為90°-20°=70°.

（2）如果頂角為鈍角，則腰高在三角形之外.如圖2所示，根據兩個不相鄰的內角（如三角形的外角）之和，頂角為90°+20°=110.

因此，三角形頂角的度數為70°或110°.

在解決這類問題的過程中，我們應該考慮三角形屬于什么樣的三角形，并根據主體所提供的所有條件進行分析和討論，并用該方法得到正確的答案.

在解決數學問題的過程中，常常需要設計所有的對象，按照相應的標準將它們分成若干個，然后逐步討論，以得到正確的答案，這就是分類討論的思想.在解決絕對值相關問題的過程中運用分類討論的思想，可以充分體現“數”與“形”的分類思想，從而更有效地解決絕對值問題.

例2 解方程x+2+3-x=5.

要解決絕對值問題，絕對值符號中的對象應分為正數、零數和負數三種情況.這個方程中有兩個絕對值，即x+2和3-x.對于x+2，應分為x=-2、x>2和x<-2;對于3-x，應分為x=3、x<3和x>3.通過對這些情況的分析和討論，可以得到三種情況：①x<-2;②-2≤x≤3;③x>3，由此可以得出結論

（1）當x<-2時，簡化可得到-x+2+3-x=5，得到x=-2，與x<-2矛盾，因此當x<-2時為無解方程;

（2）當-2≤x≤3時，原方程x+2+3-x=5x+2+3-x=5成立，所以滿足-2≤x≤3的實數x都是方程的解;

（3）當x>3時，簡化可以得到x+2-3-x=5和x=3，這與x>3是矛盾的，因此當x>3時方程沒有解.

由上可知，原方程的解是-2≤x≤3范圍內的任意實數.

該問題包含不等式，屬于一級分類討論問題.因此，通過正確的分類，可以更好地將更復雜、更繁瑣的問題提升為更嚴謹、更完整、更清晰的問題.在這個過程中，需要注意的是，應該對結果進行有效的總結和最后的總結.

2 數形結合在初中數學難題解題中的應用

與其他數學解題方法不同，數形結合可以從數和形兩方面鍛煉學生的數學解題思維，使學生能夠靈活運用數形關系解決實際數學問題，簡化數學問題.在指導學生運用數形結合的方法解決問題時，教師應首先說明數形結合的內涵，以及適合哪些數學問題，然后提出具體問題，使學生能夠獨立思考是否用數字和形狀解決數學問題，從而引導學生靈活運用數字和形狀之間的關系，快速解決數學問題.

例3 在如下數軸（見圖3）中，數軸上點A表示數a，請求解a的值是多少？

分析 當解決這道數學題時，學生可以使用數軸來分析數a.學生可以從圖中看到點A在數軸上的實際位置是-2.根據A點的位置，學生可以快速找到a的值.

解答 因為點A在-2，而數軸上點A代表的數a=-2，那么a=2.

3 代入法在初中數學難題解題中的應用

代入法是初中數學中常見的解題方法，可以幫助學生將數學問題中的未知數轉化為熟悉的內容，簡化原來復雜的數學問題，進而增強學生解決數學問題的信心和動機，提高學生解決問題的效率.

例4 已知4x2-2x+5=7，求解2x2-x+1的值.

分析 在這道數學題中，如果學生直接計算x的已知值，不僅會浪費解題的時間，還會導致問題的產生.根據已知條件4x2-2x+5=7，教師可以引導學生運用代入思維分析問題，并在解決問題中找到突破點.例如，學生可以將方程4x2-2x+5=7的項移位，然后將方程的兩邊同時除以2，得到2x2-x=1.由此，我們可以看到已知條件與問題評價之間的關系，學生可以將2x2-x整體代入，從而找出相關值.采用代入法解決相應的評價問題，可以有效地培養學生的問題解決思維，知道如何巧妙地利用題目當中的信息解決問題，提高數學問題解決的效率.

解答 依照已知的條件4x2-2x+5=7，能夠得出4x2-2x=2，從而能夠得出2x2-x=1，所以2x2-x+1=1+1=2.

4 化歸思想在初中數學難題解題中的應用

在初中數學問題解決中，化歸思想是一種常見的數學問題解決思維，它可以幫助學生簡化復雜的數學問題.例如，在回答混合運算和其他問題時，學生可以轉換思維，并將混合運算轉換為更簡單的表達式.

例5解方程2（x-1）2-5（x-1）+2=0

分析 這是一個一元的二次方程.學生通常直接回答，但很少使用一些簡單的問題解決技巧.雖然學生可以解決問題，但他們將失去更多的時間來解決其他數學問題.因此，教師應向學生講解一些解決問題的技巧，以盡可能提高學生的數學問題解決效率.在解這個方程時，學生可以運用約化的思想，可以將（x-1）設為y，通過這樣的方法就能夠將原來的方程轉化成為包含y的一元二次方程.

解答 設y=x-1，所以就可以將方程轉化成為2y2-5y+2=0，通過解題能夠得出y1=2或者y2=12，所以x-1=2或者x-1=12，所以原來的方程解是x=3或x=32.

4 結語

綜上所述，初中生需要掌握許多數學解題技巧，如代入法、數形結合、化歸思想等.只有學生能夠靈活運用所學的數學解題技能，學會掌握解題中的不變量，具有良好的閱讀和審題能力，閱讀問題后對各種情況做出準確判斷，具有簡化問題的思維，澄清問題的類型，理清問題的內在邏輯，有效提高數學解題量，才能快速、正確地回答數學問題.因此，數學教師應教授學生解決問題的技能，引導學生根據具體問題選擇合理的問題解決方法，從而提高問題解決的效率和質量.

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