一次函數的圖像與三角形面積的綜合應用

王照芳

【摘要】由于一次函數的圖像（b≠0）是一條不過原點的直線，它與橫、縱坐標各有一個交點，那么直線和坐標軸之間就會形成一個三角形.在一次函數的圖像和三角形面積一同出現時，要學會將線段長用點與點之間的距離刻畫出來.

【關鍵詞】一次函數;綜合應用;初中教學

例1 已知直線y=kx+6與兩個坐標軸圍成的三角形的面積是24，求常數k的值.

解 設直線y=kx+6與兩個坐標軸的交點分別為A、B，

令x=0，y=6;令y=0，x=-6k，

所以，得到A、B的坐標分別為（0，6）、（-6k，0），

所以，O與A點之間的距離是：OA=|6|=6，

O與B點之間的距離是：OB=|-6k|.

所以，三角形的面積是：

12OA·OB=12·6·|-6k|=24，

于是，3·|-6k|=24，|-6k|=8， |-6|k=8

6k=8，|k|=34，

所以，k=±34.

例2 已知直線y=-12x+52，求直線與兩個坐標軸圍成的圖形的面積.

解 設直線y=-12x+ 52與x、y軸的交點分別為M、N，

令x=0，y=52;令y=0，x=5，

所以，得到M、N的坐標分別

為（5，0）、（0，52），

畫直線y=-12x+ 52，

函數圖像，如圖1所示.

所以，O與M點之間的距離是：

OM=|5|=5.

O與N點之間的距離是：

ON=|52| = 52.

所以，△MON的面積是：

12OM·ON=12×5×52 =254.

例3 已知一次函數y=kx-4（k<0）的圖像與兩坐標軸所圍成的三角形的面積等于8，求該一次函數的表達式.

解 設直線y=kx-4與兩個坐標軸的交點分別為E、F，

令x=0，y=-4;令y=0，x=4k，

所以，得到E、F的坐標分別為（0，-4）、（4k，0），

所以，O與E點之間的距離是：OE=|-4|=4，

O與F點之間的距離是：OF=|4k|，

所以，三角形的面積是：12OE·OF=12·4·|4k|=8.

于是，2·|4k|=8，|4k|=4， |4k|=4.

4k=4，|k|=1.

所以，k=±1，

因為k<0，

所以，k=-1，

所以，該一次函數的表達式是y=-x-4.

例4 已知直線y=x+3與兩坐標軸分別交于A、B兩點，直線L經過原點，與線段AB交于點C，把△AOB分成面積比為2∶1的兩部分，求直線L的表達式.

解 如圖2所示，當直線L把△AOB分為△AOC和△BOC且它們的比為2∶1時，過點C分別作x、y軸的垂線，垂足分別為F、E.

設直線L的表達式為y=kx，

令x=0，y=3;令y=0，x=-3;

所以，得到A、B的坐標分別為（-3，0）、（0，3），

所以，O與A點之間的距離是：OA=|-3|=3，

O與B點之間的距離是：OB=|3|=3，

所以，△AOB的面積是：12OA·OB=12×3×3=92.

因為直線L把△AOB分為△AOC和△BOC且它們的比為2∶1，

所以，△AOC的面積是：92×23=3，

△BOC的面積是：92×13=32，

因為△AOC的面積=12OA·CF=12×3×CF=3，所以CF=2，

同理可得：CE=1.

因為F點在x軸的負半軸，而E在y軸的正半軸，

所以，C點的坐標是（-1，2），

所以，直線L的表達式是y=-2x，

如圖3所示，當直線L把△AOB分為△AOC和△BOC且它們的比為1：2時，過點C分別作x、y軸的垂線，垂足分別為F、E.

于是，△AOC的面積是：92×13=32，△BOC的面積是：92×23=3，

因為△AOC的面積=12OA·CF=12×3×CF=32，所以CF=1.

同理可得：CE=2.

因為F點在x軸的負半軸，而E在y軸的正半軸，

所以，C點的坐標是（-2，1），

所以，直線L的表達式是y=- 12 x，

綜上所述，直線L的表達式是y=-2x或y=- 12 x.