《勾股定理》課后作業的設計與分析

孫亞燕

【摘要】作業是課堂教學的補充和延伸，是實現課程目標的基本環節.有效的數學作業可以讓學生在輕負擔的狀態下，獲得數學知識，認識科學的思想和方法，形成分析問題、解決問題的能力，從而提高教學效果.以《勾股定理》為例，講述在作業設計中的一些想法與意圖.

【關鍵詞】數學知識;勾股定理;教學效果

1 作業內容——針對性

有效作業設計必須緊扣和服務于教學的目的，必須與教學內容相關.在作業設計前，首先要對本節課的教學目標和教學重難點了然于心.《勾股定理》是蘇科版八年級上冊第三章第一節內容，學生已經初步形成幾何圖形的分析能力，已具備一定的合情推理和演繹推理能力.勾股定理是幾何中的一個重要定理，它揭示了直角三角形的三邊關系，將“形”和“數”充分地結合在一起，為解直角三角形提供了重要依據，在教材中起著承上啟下的作用，在生產、生活中的應用也較為廣泛，同時勾股定理對于展示數學文化具有重要價值.

2 作業設計分析

2.1 掌握知識與技能作業設計

例1 如圖1，直角三角形中未知的邊長x= ，如圖2直角三角形中未知的邊長y= .

例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A、∠B、∠C所對的邊.

（1）已知a=6，b=8，則c= ;

（2）已知a=40，c=41，則b= ;

（3）已知∠A=45°，c=4，則a2= ;

（4）若a∶b=3∶4，c=10，則a=，b=.

例3 在△ABC中，∠C=90°，若兩邊長分別為3和4，則第三邊的平方等于 .

設計意圖 以上3個題目是勾股定理的簡單應用，強調作業的基礎性、典型性，重點是培養學生掌握基礎知識和基本技能.第1題以圖形的方式呈現直角三角形三邊關系更形象、直觀.第2題要求學生畫圖然后利用勾股定理解決問題.第3題涉及了分類思想.以上3個題目，對學生的能力要求和思維水平逐步提高.基礎弱的學生都能入手解決，但是可能會出現思考不夠全面等情況.

2.2 優化認知結構作業設計

例4 如圖3，在△ABC中，∠ABC=90°，以△ABC的各邊在△ABC外作正方形，S1，S2，S3分別表示三個正方形的面積，S1=144，S3=169，則S2= .

例5如圖4，在Rt△ABC，∠ACB=90°，以各邊為直徑向外作個半圓，圖中陰影部分在數學史上稱為“希波克拉底月牙”，當AC=4，BC=2時，陰影部分的面積為 .

例6（1）如下圖5 ，以銳角△ABC三邊分別向外作正方形，則三邊會有怎樣的數量關系？

（2）如上圖6，以鈍角△DEF三邊分別向外作正方形，則三邊會有怎樣的數量關系？

設計意圖 以上三個題目是回顧探索勾股定理的過程，從而強化理解知識的來龍去脈，要求學生體會并領悟數學的思想.第4題是復習勾股定理的來源，第5題既回顧勾股定理的探索過程，又要分析陰影部分圖形的特征.第6題，同時類比勾股定理的探索過程，找到銳角三角形和直角三角形三邊間的關系，培養學生的知識遷移和探索問題的能力.

2.3 提升遷移能力作業設計

例7 如圖7，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D.求CD的長.

例8 如圖8，小紅用一張長方形紙片ABCD進行折紙，已知該紙片寬AB為8，長BC為10.當小紅折疊時，頂點D落在BC邊上的點F處（折痕為AE.想一想，此時EC有多長？

例9 如圖9，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13， 求△ABC的面積.

某學習小組經過合作交流，給出了下面的解題思路（如圖10），請你按照他們的解題思路完成解答過程.

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設計意圖 以上三個題目是勾股定理的綜合運用.第7題是勾股定理與等積法相結合.第8題是知識的連續和延伸性，利用所學知識解決上一章軸對稱性的問題，感受數形結合和方程的思想.第9題對學生的能力要求層次較高，以閱讀的形式點撥學生的難點，又為學生提供解決此類問題的方法和手段.

2.4 培養探究精神作業設計

例10 勾股定理是數學上的一顆璀璨的明珠，是“幾何學的基石”，幾乎擁有古代文化的民族和國家都對它進行了大量的研究，找到了許多驗證的方法.請你搜索一些勾股定理的驗證方法，以自己喜歡的方式呈現出來.

設計意圖 通過搜索勾股定理的驗證方法，可以讓學生感受國內外數學愛好者孜孜不倦地驗證勾股定理的精神，也可以尋找到的勾股定理驗證方法，感受數學神秘的色彩.

總之，有效作業研究始終是教學研究的重點，通過作業有效性研究探求減負提質的教學路徑，讓學生的知識在練習中升華，技能在練習中掌握，能力在練習中形成，思維在練習中發展，學生的情感、意志、興趣、習慣、方法在練習中得到培養.