善思考，巧解題

黃成虎

【摘 要】 平面向量是近年高考數學必考知識點，不僅考查平面向量的幾何意義、坐標運算、數量積以及與其他相關知識（往往涉及三角函數、解三角形等）在解題中的靈活、綜合運用能力，而且也考查“數形結合數學”、“轉化思想”等數學思想方法.基于此，本文著重對一道典型的數量積最大值問題進行多角度探究，旨在幫助同學們理清常用解題思維，強化對相關數學思想方法、知識的靈活運用能力，進一步提升數學核心素養.

【關鍵詞】 數量積;幾何意義;數形結合

本文給出一道平面向量問題的多解探究，旨在幫助同學們拓寬解題思路，溝通對相關數學思想方法、知識在解題中的靈活運用能力，提高分析、解決數量積最大值問題的技能技巧.

好題采擷 已知圓O的半徑為1，P是圓O上一定點，A，B是圓O上的兩個動點，且AB=1，求PA·PB的最大值.

試題分析 本題以學生熟悉的“圓”為載體，涉及一個“定點”和兩個“動點”，難度中等.從數學知識點看，側重考查平面向量中數量積的最大值，而且涉及平面向量與三角函數、解三角形等知識的綜合運用;從數學思想方法看，側重考查“數形結合思想”、“轉化思想”等數學思想方法在解題中的靈活運用;從數學核心素養看，能夠較好地培養學生的直觀想象素養、數學運算素養以及邏輯推理素養.

多解探究 思路1 由于本題以“圓”為載體，所以借助平面向量的幾何意義對數量積PA·PB變形時，可充分利用圓心“O”這一特殊點，有利于保證變形到位，從而便于借助圖形的直觀、明了性，準確分析最值情景.