隨機變量累積分布函數(shù)的教學設(shè)計與實踐

王軍威，李光潔，袁 媛，曾 麗

（廣東外語外貿(mào)大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東 廣州 510006）

0 引言

概率論是高校理工類、經(jīng)管類專業(yè)的必修課程，是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一個數(shù)學分支。為更方便有力地研究隨機現(xiàn)象，需將隨機事件數(shù)量化，從而促使了隨機變量概念的建立。用隨機變量描述隨機現(xiàn)象是近代概率論中最重要的方法。隨機變量的累積分布函數(shù)的引入把對隨機變量的概率計算轉(zhuǎn)化為對累積分布函數(shù)的數(shù)值運算。因此，研究隨機變量及其分布是概率論的主要任務(wù)，也是學習概率論必須掌握的重要知識點。

隨機變量及其分布等概念的建立使概率論發(fā)展成為一個更高的理論體系，正是如此，我們可以用微積分作為工具來研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律。然而，我們發(fā)現(xiàn)學生開始學習隨機變量及其分布時，對累積分布函數(shù)的直觀理解掌握較好，但缺乏對其深層次的理解。究其原因在于學生不能真正理解累積分布函數(shù)的分析性質(zhì)，從而影響學生對累積分布函數(shù)的應(yīng)用，成為學習概率論向分析化過渡階段的攔路虎。為此，我們嘗試基于翻轉(zhuǎn)課堂的混合模式設(shè)計教學過程，遵循“以學生為主體”的教學理念，把累積分布函數(shù)的預(yù)備知識和基礎(chǔ)知識設(shè)計為課前任務(wù)單，發(fā)揮學生的自主學習探究能力，為課堂教學做足做好知識儲備；在課堂教學時，庖丁解牛式講授累積分布函數(shù)的分析性質(zhì)，聚焦于累積分布函數(shù)的全面深入理解，培養(yǎng)學生用微積分技術(shù)研究累積分布函數(shù)的習慣。

1 隨機變量累積分布函數(shù)的教學設(shè)計

為突出我們的教學設(shè)計思路，教學過程僅展示“課前準備”和“課堂教學”兩個階段，如圖1所示。我們把累積分布函數(shù)的預(yù)備知識和教材基礎(chǔ)知識放在“課前準備”階段，要求學生課前自主學習，并完成自主診斷，這是高質(zhì)量“課堂教學”階段的重要保障，也是學生自主學習獲取知識的重要環(huán)節(jié)。

圖1 累積分布函數(shù)的教學設(shè)計思維導圖

2 課前任務(wù)單設(shè)計

2.1 函數(shù)極限相關(guān)任務(wù)單

2.2 函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系相關(guān)任務(wù)單

3 課堂講授設(shè)計

通過回顧隨機變量概念入手介紹累積分布函數(shù)的定義，主要從“概率屬性”和“函數(shù)屬性”兩個維度引導學生全面深入理解累積分布函數(shù)。在講解累積分布函數(shù)的性質(zhì)時，主要以微積分作為工具庖丁解牛式地推演性質(zhì)的證明過程，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。

3.1 累積分布函數(shù)的定義

3.2 累積分布函數(shù)的性質(zhì)

在（4）規(guī)范性的證明中，我們使用了自變量趨于無窮大時函數(shù)極限的歸結(jié)原則，而該知識點我們并沒有布置在課前任務(wù)單中，此時我們通常把（4）規(guī)范性的證明布置為課堂實踐或小組討論，讓學生在自主實踐或合作實踐過程中鍛煉定量思維、邏輯表達等能力。

在學習累積分布函數(shù)的概念和性質(zhì)后，學生對該模塊內(nèi)容有了深層次的理解，課堂實踐也增加了知識學習過程的體驗。為全面學習累積分布函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，我們拋出問題“滿足定理3中四條基本性質(zhì)的函數(shù)是否必是某個隨機變量的累積分布函數(shù)？”引發(fā)學生思考，并給出相關(guān)結(jié)論供學生課外探究。

由于定理4的證明要用到測度論的方法，已超出本課程范圍，在此不予討論，感興趣學生可參考參考文獻[2][4]。

4 結(jié)論

遵循“以學生為主體”的教學理念，我們設(shè)計的課前任務(wù)單充分發(fā)揮學生的自主學習能力，通過自我診斷獲得累積分布函數(shù)的預(yù)備知識；課堂講授聚焦累積分布函數(shù)的分析性質(zhì)，在環(huán)環(huán)相扣的證明推演過程中使學生獲得邏輯思維的鍛煉。教學實踐表明，我們的教學設(shè)計使學生更深入地理解累積分布函數(shù)的“概率屬性”和“函數(shù)屬性”。我們的教學設(shè)計有利于學生全面掌握累積分布函數(shù)的知識，為后續(xù)概率論的高階學習打下基礎(chǔ)，同時也有利于學生在概率論學習中養(yǎng)成分析、抽象、推理等數(shù)學思維方式，提高學生利用微積分技術(shù)解決概率問題的能力。