一類圓錐曲線定點定值問題的解法賞析

湯鑫嶸

【摘 要】 直線與圓錐曲線的位置關系是高考數學的考察重點， 其中定點與定值問題不僅是高頻考點， 同時也是難點. 解決此類問題對學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養要求較高. 本文將對一類與斜率之和或積有關的定點定值問題的解法進行賞析， 通過一題多解，開拓學生解題思路， 提高學生解題效率.

【關鍵詞】 圓錐曲線;定值問題;解法賞析

3 反思歸納

3.1 適用范圍

特點是兩條直線有公共點，且與圓錐曲線都相交，已知兩直線的斜率之和或積為常數， 求證經過兩個交點的直線l斜率為定值或直線l恒過定點的這類問題不僅可以用常規聯立法還可以用平移齊次化法.

3.2 相較于常規解法， 平移齊次化的優勢在于

（1）大大減少了計算量，減少學生計算出錯的概率，提高學生得分率;（2）避免了討論直線斜率是否存在的情況， 充分反映了高考命題的方向“多思少算”，完美體現了邏輯推理的數學素養. （3）是一種通法， 具有模式化的特點，易于操作的同時緩解了學生的計算焦慮情緒，提高學習解析幾何的興趣.

3.3 具體步驟

（1）平移坐標系使原點與兩直線的公共點重合; （2）設平移后的直線為l：mx+ny=1; （3）將“1”代入橢圓方程構造出齊次方程; （4=4＼*roman） 轉化成Ak2+Bk+C=0（A，B，C為常數）的形式;（5）根據韋達定理并結合已知寫出直線l的方程; （6）將直線l恒過定點還原回原直線恒過定點.

解析幾何定點定值問題思維難度大，計算量大，重點考察的是學生的邏輯思維能力，運算求解能力和數形結合思想.要想解決這一類問題應該“多思精算”，注重歸納適合一類問題的通性通法.平移齊次化這種方法針對文中"斜率的積或和"的題型適用，除2020年山東新高考數學卷第22題以外，2017年全國新高考數學Ⅰ卷理科第20題也是十分適用.通過文中的這則實例，我們可以感受到常規方法雖然容易想到，但計算量大.學生操作起來難度很大，即便有思路，得分率也很低.而平移齊次化這種方法就可以大大地簡化計算也可避免討論，只需要同學能識別這類題型，便可迎刃而解。這對教師的教學有一定的啟示，提醒我們要注意總結題型以及解題方法.與此同時，也提示我們數學學習需要創新，學生應該養成勇于突破，打破陳規的精神.有關斜率的圓錐曲線定點、定值問題還存在許多推論，感興趣的讀者可進行進一步的推導.

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