巧用構造法 解答數學難題

費孝文

【摘 要】 本文通過具體例題的方式，探討通過巧用構造法，解答高中數學難題，幫助學生提高解題能力和思維水平.

【關鍵詞】 構造法;數學難題;高中數學

1 科學采用構造法解答方程難題

學生對方程接觸得較早，從小學時期就開始學習，不過高中數學教學中的方程知識難度較大，還經常同函數、數列、不等式等知識聯系在一起，成為綜合性題目，對學生的解題水平要求較高，他們也容易陷入到困境之中.這時高中數學教師可以指導學生科學采用構造法解答方程類難題，找準題目中的等量關系，讓他們順利建立出等式，由此順利解決難題.

例1 ?在等式m-n2-4n-xx-m=0 的基礎上，求證m、n、x是等差數列.

解析 從本道題目來看，如果學生采用正常的方式來解題，將會使得題目難度進一步提升，他們需要通過大量的計算以后，才可以獲得最終的結論，求證題設.其實在處理這道題目時，教師就可以讓學生運用構造方程的方法法來處理，使其直接將題目中給出的結論當作已知條件使用，重新分析題目內容，使之同題干中給出的等式有機結合，將問題變得簡單化，由此獲得最終結論.

解 構造方程式n-xt2+m-nt+x-m=0，

且令ft=n-xt2+m-nt+x-m，

從題目中可以得出f1=0，

由此確定n-xt2+m-nt+x-m=0的實數根相等，

求得t=1，所以方程的實數根均為1，跟進韋達定理可以得到m+n=2x，這表明m、n、x為等差數列.

2 靈活應用構造法解答函數難題

學生是從初中階段開始接觸函數知識的，而高中數學教材中的函數知識無論是深度、廣度，還是難度均有所提升，在整個數學知識體系中都占據著比較關鍵的地位，不少試題中都蘊含著一定的函數知識.在高中數學解題教學中，教師可以引領學生靈活應用構造法解答函數方面的難題，結合構造法將復雜問題變得簡單化，使其解決能力與自信心均慢慢提升.

例2 已知函數fx=x3+ax2+bx+c，如果f2018=2018，f2019=2019，f2020=2020，那么f2021的值是什么？

解析 假如采用常規的待定系數法直接計算本題，不僅計算量比較大，而且還不一定正確，然而本題看起來是一個三次函數的求值問題，實際上通過仔細觀察題干中提出的已知條件，特別是自變量與函數值之間的數據關系，就很容易聯想到二項式定理的展開式也能夠表示成關于x的三次多項式，利用賦值法代入二項式定理的左邊求值的解題思路，據此構造出一個新的函數fx=x-20193+2019，一方面該函數能夠依據二項式定理展開后得到fx=x3+ax2+bx+c，另一方面又滿足題干中的已知信息，即為f2018=2018-20193+2019=2018，f2019=2019-20193+2019=2027，f2020=2020-20193+2019=2020，所以f2021=2021-20193+2019=2027，由此巧妙得出答案，減少計算的繁瑣，降低出現錯誤的幾率.

3 合理運用構造法解答數列難題

在高中數學課程教學中，數列是學生在高中時期才接觸到的知識，以學習等差和等比數列為主，也是高考中的必考知識點.數列往往具有一定的規律性，高中數學教師在解題教學環節中，應當引導學生結合題目信息運用構造法，對遞進公式展開變形，使其根據數列的定義判定出具體類型，或者將題目內容構造成等差或等比數列，讓他們采用數列性質解答難題.

例3 已知數列an中，a1=5，a2=3，an=2an-1+3an-2，n≥3求該數列的通項公式.

解析 如果學生采用直接求解法，極易出現錯誤，教師可以提示他們運用構造法，使其對題干中提供的信息與條件展開適當的變換和構造，最終形成準確、清晰的解題思路.

解 依據an=2an-1+3an-2

得到an+an-1=an-1+an-2，

由于a1+a2=5+2=7，

an+an-1n≥2就形成首項為7，公比為3的等比數列，

則an+an-1=7×3n-2①，

又因為an-3an-1=-an-1-3an-2 ，a2-3a1=2-3×5=2-15=-13，

an-3an-1就形成一個首項為-13，公比為-1的等比數列，

an-3an-1=（-13）（-1）n-1②，

①×3+②得到4an=7×3n-1+13×-1n，an=74×3n-1+134×-1n，

經驗證上式對n=1也成立，

綜上所述：an=74×3n-1+134×-1n n∈N*.

4 巧妙利用構造法解答向量難題

基于數學視角來看，向量指的是同時具有方向與大小的量，能形象化地表示成帶箭頭的線段，箭頭所指代表著向量的方向，線段長度則代表著向量的大小.在高中數學解題教學過程中，向量的運用也相當廣泛，當遇到一些難度較大的題目時，教師可以指導學生認真分析題目中的信息，巧妙利用構造向量的方法解題，讓他們形成更為簡單且清晰的解題思路.

例4 求解函數fx=3 2-x+3 x+2的最大值.

解析 假如學生直接對該函數進行求解，需要利用導數等計算量較大的運算方法，他們在計算過程中極易出現錯誤、失去耐心或是在考試時浪費時間.此時教師可以提示學生利用構造法構造出平面向量，對原函數fx進行表示，再利用平面向量的相關知識和性質對該問題進行簡化計算，不僅可以有效降低計算難度，還能大大減少完成題目所需要的時間，使他們在考試過程中占得先機，加快解題的速度.

解 構造平面向量a（3，3），b（2—x，x+2），運用向量的數量積公式求a和b的數量積，獲得的結果剛好是待求函數f（x），再利用向量的基本性質進行比較運算，則有a·b≤ab=6 2.這樣就以向量形式實現對函數最大值的求解，其中構造平面向量a，b是解決該題目的關鍵所在，同時也是構造法的具體體現.

5 借助構造法解答幾何方面難題

在高中數學解題教學中，不僅可以運用構造法處理代數難題，同樣也能夠用來解決幾何難題，無論是平面幾何，還是解析幾何、立體幾何方面的難題均可應用構造法.高中數學教師帶領學生進行幾何方面的習題訓練時，可讓他們依據實際情況借助構造法的優勢，且有機整合數形結合思想，使其利用直觀化的圖形分析幾何難題，最終快速、準確的解答難題.

例5 已知三個銳角α、β和γ滿足cosα2+cosβ2+cosγ2=1，求證tanα？tanβ·tanγ≥2 2.

圖1

解析 學生通過對題目內容的閱讀，發現這是一道有關銳角三角函數的題目，僅僅利用題干中提供的已知信息，很難直接、快速地證明出這一結論，容易影響他們的解題信心.這時教師可以指導學生采用構造法分析題目中給出的式子cosα2+cosβ2+cosγ2=1，使其根據長方體對角線的方式連接起來，就構造出以下圖形，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，把∠α、∠β、∠γ看作成長方體對角線BD1與三條側棱所形成的夾角，其中三條側棱AB、BC與BB1的長分別是a、b、c，當且僅當a=b=c時，不等式取得最小值2 2，原問題中的結論就能夠得到證明.如此，學生通過構造法的運用將抽象的數學問題變得直觀化與具體化，他們可以快速找到準確的解題思路與方法，從而輕松處理難題.