數(shù)學(xué)思想在函數(shù)解題中的應(yīng)用

張飛飛

【摘 要】 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的必考知識(shí)點(diǎn)，習(xí)題情境靈活多變.為更好地提高函數(shù)習(xí)題解題效率，應(yīng)在牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上做好解題思想的應(yīng)用總結(jié)，更好地找到相關(guān)習(xí)題的解題思路.本文探討函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想在函數(shù)解題中的應(yīng)用，以供參考.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)思想;高中數(shù)學(xué);函數(shù)解題

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過(guò)概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí).解答函數(shù)習(xí)題時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)思想的應(yīng)用，可少走彎路，盡快找到解題的突破口，實(shí)現(xiàn)解題效率的提升，因此應(yīng)提高數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用意識(shí)，并做好數(shù)學(xué)思想應(yīng)用的總結(jié)，把握相關(guān)的應(yīng)用細(xì)節(jié)，積累相關(guān)的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn).

1 函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程聯(lián)系緊密.解答相關(guān)方程問(wèn)題時(shí)運(yùn)用函數(shù)與方程思想，將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，借助函數(shù)性質(zhì)可達(dá)到事半功倍的良好效果.應(yīng)用時(shí)應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，有時(shí)將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，有時(shí)將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題.部分函數(shù)習(xí)題還需要根據(jù)給出的方程構(gòu)造新的函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)這一工具，研究構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)，以達(dá)到順利解題的目的.

例如 已知x0是方程x3ex-4+2lnx-4=0的一個(gè)根，則e4-x02+2lnx0的值為（? ）

A.3?? B.4?? C.5?? D.6

解答該題需要認(rèn)真觀察，仔細(xì)分析已知條件與要求問(wèn)題之間的內(nèi)在聯(lián)系.運(yùn)用指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系對(duì)方程進(jìn)行巧妙的變形，通過(guò)構(gòu)造新的函數(shù)加以解答.

因?yàn)閤3=e3lnx，所以x3ex-4+2lnx-4=e3lnx+x-4+2lnx-4=0，等式兩邊均加上lnx+x，所以e3lnx+x-4+3lnx+x-4=lnx+x=elnx+lnx.構(gòu)造函數(shù)f（x）=ex+x，f′（x）=ex+1>0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，又因?yàn)閒（3lnx+x-4）=f（lnx），所以3lnx+x-4=lnx，所以x+2lnx=4，x=e4-x2，所以e4-x02+2lnx0=x0+2lnx0=4，選擇B項(xiàng).

2 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位，在函數(shù)解題中應(yīng)用廣泛.利用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí)應(yīng)明確“數(shù)”與“形”結(jié)合的思路，尤其應(yīng)注重掌握畫(huà)陌生函數(shù)圖象的方法，可通過(guò)聯(lián)系基本函數(shù)圖象，通過(guò)對(duì)其進(jìn)行平移、翻折、對(duì)稱(chēng)等，完成整個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖象.另外，導(dǎo)數(shù)以及極限這兩個(gè)重要的工具，把握陌生函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)，確保所畫(huà)圖形的正確性，為正確解題做好鋪墊.

例如 函數(shù)f（x）=ex|ex-2|+2，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]（m

A.[ln2，ln（2+22）]

B.（-∞，ln（2+22））

C.（-∞，ln（2+22）]

D.（-∞，ln（1+22）]

分析可知需要先取得函數(shù)中的絕對(duì)值，借助導(dǎo)數(shù)畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，在此基礎(chǔ)上找到函數(shù)值為2和3對(duì)應(yīng)的自變量，分析m和n的取值范圍，問(wèn)題也就迎刃而解.

圖1

因?yàn)閒（x）=ex|ex-2|+2，所以當(dāng)x0，當(dāng)00，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，由題意可知f（x）在該區(qū)間的最大值為3，即，ex（ex-2）+2=3，解得x=ln（1+2）.又因?yàn)楫?dāng)x→-∞時(shí)，ex→0，f（x）→2，所以當(dāng)x<0時(shí)，f（x）∈（2，3），畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象如圖1所示：

由圖可知，ln2≤n≤ln（1+2），當(dāng)n=ln（1+2）時(shí)，m≤ln2，m+n≤ln2+ln（1+2）=ln（2+22），當(dāng)ln2≤n

3 分類(lèi)討論思想

分類(lèi)討論思想是高中數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn).運(yùn)用分類(lèi)討論思想解答函數(shù)具體的關(guān)鍵在于全面的考慮問(wèn)題，正確找到討論的分界點(diǎn)，做到討論的不重不漏，而后針對(duì)具體情形進(jìn)行作答.尋找討論分界點(diǎn)的思路多種多樣，尤其當(dāng)相關(guān)參數(shù)不確定、函數(shù)圖象不確定，函數(shù)根的大小關(guān)系不確定時(shí)，均應(yīng)進(jìn)行分類(lèi)討論.

例如 若對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈（-∞，1），x2-2ax+1ex≥1恒成立，則a的值為（? ）

A.-12? B.0? C.12? D.e

該題題干較為簡(jiǎn)潔.解答時(shí)需要對(duì)給出的不等式進(jìn)行變形，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.當(dāng)求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)根的大小不確定時(shí)需要進(jìn)行分類(lèi)討論.

令f（x）=x2-2ax+1ex，f′（x）

=（1-x）[x-（2a+1）]ex（x≤1）.當(dāng)2a+1≥1時(shí)，此時(shí)a≥0，f′（x）<0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，f（x）≥f（1）=2-2ae≥1，解得a≤1-e2<0，不符合題意.當(dāng)2a+1<1時(shí)，此時(shí)a<0，在（-∞，2a+1）上，f′（x）<0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減.在（2a+1，1]上，f′（x）>0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，f（x）min=f（2a+1）=2a+2e2a+1，由題意知2a+2e2a+1≥1，令t=2a+1<1，不等式轉(zhuǎn)化為et-t-1≤0恒成立.令g（t）=et-t-1，則g′（t）=et-1.當(dāng)t<0時(shí)，g′（t）<0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞減.當(dāng)00，函數(shù)g（t）單調(diào)遞增，所以g（t）≥g（0）=0，又因?yàn)間（t）≤0，所以g（t）=0，此時(shí)2a+1=0，a=-12，選擇A項(xiàng).

4 轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是解決函數(shù)習(xí)題的重要思想.轉(zhuǎn)化與化歸的方法較多，主要有：等價(jià)轉(zhuǎn)化法、換元法、構(gòu)造法等，不同的方法有著不同的適用題型.但無(wú)論使用哪一種方法進(jìn)行解題，應(yīng)做到轉(zhuǎn)化與化歸前后相關(guān)參數(shù)的取值范圍是相對(duì)應(yīng)的，保證推理的科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性.

例如 已知函數(shù)f（x）=x2-2x-mlnx（m∈R）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1

A.-1e2? B.-1e

C.1e2? D.1e

解答該題需要采用等價(jià)轉(zhuǎn)化法，在確定m取值范圍的基礎(chǔ)上進(jìn)行換元，將兩個(gè)變量轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量，化難為易，借助函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解答.

因?yàn)閒（x）=x2-2x-mlnx（m∈R），x>0，f′（x）=2x-2-mx=2x2-2x-mx.因?yàn)楹瘮?shù)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)，所以當(dāng)2x2-2x-m=0時(shí)應(yīng)滿足：Δ=4+8m>0x1+x2=1>0x1x2=-m2>0，解得-120，函數(shù)g（t）單調(diào)遞增，所以g（t）min=g（-12）=-1e，選擇B項(xiàng).

5 結(jié)語(yǔ)

要想成功地解答相關(guān)的函數(shù)題，不僅需要牢固掌握函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，而且需要學(xué)習(xí)解題中常用的數(shù)學(xué)思想，把握相關(guān)數(shù)學(xué)思想的特點(diǎn)以及適用題型，尤其應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)思想開(kāi)展專(zhuān)題訓(xùn)練活動(dòng).訓(xùn)練時(shí)認(rèn)真體會(huì)數(shù)學(xué)思想應(yīng)用過(guò)程，不斷總結(jié)相關(guān)應(yīng)用細(xì)節(jié)以及注意事項(xiàng)，真正做到融會(huì)貫通，靈活應(yīng)用.

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