高中數學解題教學中函數思想的應用

邵春燕

【摘 要】 在高中數學解題教學中，教師需指導學生有效應用函數思想來解題，提升他們的解題能力.本文據此展開深入分析與探討，并列舉一些函數思想的應用實例.

【關鍵詞】 高中數學;解題教學;函數思想

1 有效應用函數思想解答集合問題

集合是高中數學課程中最為基礎的一部分，也是深入學習函數的前提，函數可以看作是兩個實數集合之間的映射，即為自變量集合和函數值集合，但這兩個集合之間的元素不是任意對應關系，而是每個自變量值只能對應到一個函數值.這表明集合問題的處理通常離不開函數思想的輔助，教師可指引學生恰當使用函數思想解答集合問題，提高他們的解題效率.

例1 已知集合A={x丨x2-4x+3<0}，集合B={x丨x2-2x+m≤0，且x2-2nx+5≤0}，如果AB，那么實數m，n的取值范圍分別是什么？

圖1

解析 由于題目中出現的有不等式，還涉及到集合關系，如果學生采用常規思路解題過程較為復雜，容易出現錯誤，教師可提示他們運用函數思想.具體解答過程如下：先把集合A化簡，得到A={x丨1<x<3}，設f（x）=x2-2x+m，g（x）=x2-2nx+5，B1={x丨x2-2x+m≤0}，B2={x丨x2-2nx+5≤0}，則B=B1∩B2，根據AB，得到AB1且AB2，即為區間（1，3）應該分別被集合B1，B2對應的區間所包含，據此畫出函數f（x）與g（x）的圖像，如圖1所示，則有f（1）≤0，f（3）≤0，且g（1）≤0，g（3）≤0，將相應的值代入到題干所提供的式子中，通過解不等式組即可求出m與n的范圍，由此降低解題的難度.

2 有效應用函數思想求解方程問題

函數和方程本身就有著一定的聯系，雖然初中數學教材中涉及到的這方面內容較少，但是步入高中后，比較關注函數與方程之間的關系，甚至課本中專門設置有相關章節的內容，以“二次函數與一元二次方程”為代表.因此，高中數學教師在日常解題教學中，應引導學生有效應用函數思想來求解方程問題，讓他們學會借助函數的圖像與性質實現輕松解題.

例2 （1）求方程x6-6x4-x3+12x2-8=0實數根;（2）已知方程丨x丨=ax+1有一個負根，且沒有正根，那么a的取值范圍是什么？

解析 （1）中是高次方程，（2）中則是要一個含有絕對值的方程，這兩個方程均比較特殊，尤其是高次方程，學生看到以后往往會不知所措，不知道該如何解答，不由自主地產生畏難情緒，他們也不知道如何下手，而含絕對值的方程要進行分類討論，同樣難度較大，不過，應用函數思想這些難題就能夠迎刃而解.

解 （1）將原方程轉化成x6-6x4+12x2-8=x3，即為（x2-2）3=x3，設f（x）=x3，則方程是f（x2-2）=f（x），由于f（x）在R上是單調遞增函數，所以x2-2=x，即為x2-2-x=0，解之得x1=-1，得x2=2，即為原方程的實數根是-1與2;（2）將看作是函數中的一個變量，根據已知方程可得a=丨x丨-1x=1—1x（x〉0）—1—1x（x〈0），畫出它的圖像如圖2所示，根據圖像能夠直接求出a≥1.

圖2

3 有效應用函數思想解不等式問題

雖然函數和不等式是兩個性質完全不一樣的知識結構，但是在高中數學課程教學中，函數與不等式卻有著十分密切的關系，其中不等式的性質是對函數單調性的反映.高中數學教師在解題教學中，可以引領學生有效運用函數思想的觀點來分析不等式問題，主推他們掌握不等式的本質特征，使其結合函數思想順利解決不等式的恒成立問題，以及最值問題.

例3 對任意x∈[-1，1]，f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值大于0恒成立，那么a的取值范圍是什么？

解析 教師要求學生直接基于函數思想來審題，發現本題目的本質能夠概括成“在某一閉區間上有參數的二次函數大于0恒成立的問題”，然后讓他們利用分類討論思想把x∈[-1，1]根據對稱軸x=4-a2展開分類，分成1<4-a2，-1≤4-a2≤1，4-a2<-1，三大段，討論它在函數的遞增、遞減區間上f（x）值的情況，分別計算出a的取值范圍，綜合得出a的最終取值范圍a<1.由此以來，通過函數思想的有效應用，學生在解題時不需要再討論Δ<0的情況，不僅能夠確保每種情況均不被遺漏掉，還能夠提高他們解題的精確度.

4 有效應用函數思想處理數列問題

數列作為高中數學和高考中的一個核心內容，課本中主要涉及到等差數列與等比數列兩類，從本質上來看，數列屬于函數中的特殊產物，即當函數的定義域是正整數集時，函數就變成數列.在高中數學解題教學中，當處理部分數列問題時，特別是求數列的最值問題，教師可以提醒學生有效運用函數思想，輔助他們形成最佳解題思路，從而輕松處理試題.

例4 已知函數f（x）=3x2+bx+1是偶函數，g（x）=5x+c是奇函數，正向數列an=（23）n-1，n∈N*，如果bn=2f（an）-g（an+1），那么數列bn中項的最大值與最小值分別是什么？

解析 根據題目中提供的已知信息可以得知f（x）=3x2+1，g（x）=5x，則bn=6an2-5an+1，n∈N*，即為bn=6（an-518）2+8354，由于an=（23）n-1是減函數，所以當n=1，2，3，4時，an>518;當n≥5，n∈N時，an<518，當n=4時，bn=274243;當n=5時，bn≈1.576，這表明b4<b5.又因為an=（23）n-1∈（0，1]，所以an=1，即為當n=1時，bn的最大值是b1=143.綜上所述，數列bn中項的最小值是b4=274243，最大值是b1=143.反思：“數列是一類特殊的函數”在本道題目中體現的淋漓盡致，“特殊”是指自變量的取值范圍是自然數，數列bn能夠看成二次函數y=6（x-518）2+8354，所以數列bn的最大值和最小值能夠參考二次函數求最值的方法來獲得.

參考文獻：

[1]湯琴.函數思想在高中數學解題中的應用[J].數學學習與研究，2021（01）：148-149.

[2]王長彬.如何用函數思想指導高中數學解題[J].中學課程輔導（教師通訊），2020（22）：124-125.

[3]王躍霞.運用函數思想，打造高中數學解題中的萬能鑰匙[J].高考，2020（25）：14-15.