考慮次同步分量下時間周期問題的三維定點有限元法及變壓器電磁特性分析

孫佳安 李 琳

考慮次同步分量下時間周期問題的三維定點有限元法及變壓器電磁特性分析

孫佳安 李 琳

（新能源電力系統國家重點實驗室（華北電力大學） 北京 102206）

次同步頻率分量注入導致變壓器鐵心產生周期性非對稱偏置磁化。該文以矢量磁位和繞組電流為待求量，考慮場路耦合關系并結合固定點法處理磁阻率非線性，建立計算變壓器鐵心靜磁場的三維時間周期有限元模型并編寫了計算程序，對含次同步頻率分量下變壓器鐵心的穩態磁特性進行研究。在前處理階段對繞組區域的各單元建立電流密度方向矢量矩陣。在迭代階段，對非線性各向異性鐵心區域需選擇合適的局部收斂定點磁阻率。利用二維時間周期有限元法計算得到的繞組電流穩態解作為三維場路耦合計算的電流初值以減少迭代時間。通過計算和實驗結果驗證了該文算法的有效性，并分析了不同幅值、頻率、相序以及三相分布的次同步頻率分量對鐵心電磁特性的影響。

次同步頻率分量 非對稱偏置磁化 三維時間周期有限元法 場路耦合 固定點法

0 引言

以風電為代表的新能源接入含串補裝置的輸電線路會引發電力系統次同步振蕩，且為抑制該現象而采用各類次同步振蕩抑制器，導致電力系統中注入了次同步頻率分量，并因此導致變壓器產生周期性非對稱磁飽和問題[1-3]。對此非對稱磁飽和現象的研究包括基于實驗對變壓器電流、飽和[4]、損耗[5]、溫升[6]、振動、噪聲[7-9]等特性的建模研究，以及基于數值分析對變壓器在電路、磁場[10-11]、機械-噪聲場[12]等參數變化的預測分析。然而以上研究通常是在直流偏磁的條件下，次同步分量注入變壓器產生的影響與傳統直流偏磁問題仍有不同：①直流偏磁所考慮的是直流電流注入變壓器，而次同步頻率分量既有可能是次同步電流，也有可能是次同步電 壓[13-14]；②若次同步頻率分量是以次同步電壓形式注入變壓器，該電壓分量會產生次同步頻率磁通，對變壓器的影響更為直接且顯著；③直流偏磁的抑制裝置可以消除變壓器中的直流分量，而對次同步振蕩抑制器則需通過換流變壓器或串聯變壓器注入反向次同步分量，導致相應變壓器并不能擺脫次同步分量的影響[15-17]；④實驗和仿真研究方面，傳統直流偏磁只需關注其注入的幅值以及三相分布狀況，次同步分量還需關注其頻率和相序的問題。

在我國實際電網運行中，華北沽源、東北通榆和新疆哈密等地都曾出現過不同程度的次同步振蕩現象[14, 18-19]；為抑制次同步振蕩現象引入的串聯靜止無功發生器（Static Var Generator, SVG）型次同步振蕩抑制器，也需經串聯變壓器在閥側主動施加相應頻率和幅值的次同步分量[20]。隨著系統次同步振蕩現象的增加以及所接入次同步振蕩抑制器的增多，對含次同步頻率分量下變壓器電磁特性問題的研究有重要意義。

針對次同步分量對變壓器影響的研究，有學者提出通過建立電路模型或磁路模型進行求解[1-2, 21]，用以分析磁通和勵磁電流的變化情況，但并不能揭示次同步分量引起的磁場變化。還有學者建立2D有限元模型進行計算[3, 22-23]，但只能對中間平面的磁場進行計算，僅可對局部場域近似處理[24-25]，且不能考慮材料各向異性的影響。對于3D場路耦合有限元，分別有學者提出基于變壓器互感電路模型的間接耦合方法和基于電磁感應定律的直接耦合方法進行變壓器直流偏磁研究[26-27]，尚未有人將3D場路耦合模型應用在含次同步分量下的變壓器電磁特性的研究中。

含次同步分量下的變壓器偏置磁化計算屬于非線性時不變問題，對于有理次的次同步間諧波分量，變壓器的勵磁電流以及磁場場量仍滿足周期性條件，因此本文建立三維場路耦合時間周期有限元模型，引入定點磁阻率并開發了計算程序對該問題進行研究。針對前處理過程中繞組矢量矩陣的建立、迭代過程中各向異性材料的定點磁阻率選取以及3D場路耦合模型的初值方案進行討論分析。最后通過一臺三相變壓器的實驗和計算驗證了本文算法的有效性和計算效率，并對該變壓器在不同次同步電壓分量激勵下的電磁特性進行研究。

1 三維時間周期有限元法

1.1 基于定點磁阻率的有限元方程

三維變壓器鐵心磁場求解域如圖1所示。1和2分別為兩類計算邊界，給定1上矢量磁位的切向分量為0（對應磁感應強度的法向分量為0），給定2上矢量磁位旋度的切向方向為0（對應磁場強度的切向分量為0），1和2包圍整個求解域。

圖1 變壓器鐵心磁場求解域

以矢量磁位為變量建立磁場微分方程邊值問題為

式中，為電流密度矢量，在繞組區域為流過繞組的電流密度，其他區域為0；為材料的磁阻率，鐵心區域根據非線性磁化曲線計算非線性磁阻率，鐵心外為空氣磁阻率；為場域邊界法向量。

考慮到磁性材料的非線性特性，引入定點磁阻率，可以避免迭代中的磁阻率不連續問題，并得到相較牛頓-拉夫遜法更好的收斂效率[29]。此時，磁場強度矢量表示為

將式（3）代入式（2），將場域方程寫為

采用四面體網格劃分求解區域，并利用線性基函數對矢量磁位進行插值，可將矢量磁位表示為

式中，A,i、A,i和A,i分別為網格節點上矢量磁位在、和三個坐標軸方向上的分量；N（,,）為節點對應的分塊線性插值基函數；p為節點數。

根據伽遼金加權余量法，矢量基函數與方程余量在求解區域內的標量積為0，建立場域微分方程的弱形式為

式中，為各節點標量基函數與方向矢量相乘建立的矢量基函數。

根據矢量恒等變換和高斯散度定理，對式（6）進行降階轉換，邊界條件作為曲面積分形式考慮在方程中，變換后的方程為

將式（2）中的邊界條件代入對應的曲面積分項，可將式（7）化簡為

采用伽遼金法，矢量權函數的空間分布同插值基函數，且任意方向的矢量權函數與方程余量的標量積均滿足式（8）。對于單元中的節點有

其中

1.2 耦合方程建立

電力變壓器運行時，需向繞組上施加勵磁電壓源或負載，對變壓器各繞組電流建立方程為

式中，R和L分別為外電路等效串聯電阻和串聯電感；U為施加在繞組上的電壓，對無源負載支路U=0；E為繞組的感應電動勢，根據電磁感應定律，E滿足

1.3 場路耦合方程求解

對整個求解域及各繞組電流進行聯立求解，根據式（9）和式（11）建立方程為

其中

2 算法求解設置

次同步頻率分量的注入會導致變壓器表現出更加顯著的非線性，且進行3D場域計算時存在各向異性問題，由此導致在迭代過程中矩陣需不斷更新且具有不對稱性；另外考慮計算精度以及迭代效率方面的問題，本文對模型的求解作以下處理。

2.1 時間周期確定

對于非線性時不變電路，在含有基波和有理次次同步頻率分量的激勵時，磁場量及繞組電流的穩態解仍滿足周期條件，只是計算周期不再是基波周期，而需擴大數倍，有

式中，為計算周期；s、ssr為一對互質整數；s、ssr分別為基波電壓和次同步電壓分量的周期。

對式（12）施加周期性條件即可通過時間周 期并行求解的方式獲得場路耦合問題的穩態計算 結果。

2.2 繞組方向矩陣建立

在2D場路耦合模型中，電流密度僅有流入和流出紙面方向，因此可作為標量處理；在3D磁場計算的有限元模型中，其電流密度矢量的空間分布是預先給定的；對3D場路耦合有限元模型，繞組電流在電路中是以標量形式計算，電流密度在場域中則以矢量形式處理，因此為實現兩種分量在不同求解空間的矢量轉化，需在前處理階段根據繞組的分布和繞向建立方向矩陣，忽略導體電流的趨膚效應，建立關于電流的耦合方程為

式中，N和S分別為繞組匝數和截面積；為場域中繞組中的電流密度。

2.3 鐵心定點磁阻率及類磁化強度矢量計算

變壓器鐵心是由具有非線性及各向異性的材料制作而成，采用定點法對矢量磁位的雙旋度方程進行處理時需選擇適當的定點磁阻率以保證迭代的穩定性及收斂效率。J. Saitz采用真空磁阻率作為定點磁阻率即可實現收斂，但需結合牛頓拉夫遜法才能得到較好的收斂效果[30]；Li Wei通過各向異性微分磁阻率矩陣進行計算[31]，而E. Dlala指出，以各向最大和最小微分磁導率的平均值即可實現較好的局部收斂性，以避免采用各向異性矩陣引起的計算代價[32]；Ansys公司的Zhou Ping建立了對每個時間步長內采用矢量加權差分磁導率的迭代計算公式[33]，以處理磁導率在時步迭代中的誤差，但該方案會導致系數矩陣在迭代中不斷變化。在時間周期的問題中，其目的是計算滿足周期性條件的穩態解，因此本文直接利用各時間節點的微分磁導率計算，并根據E. Dlala的局部收斂性要求[32]，在定點磁阻率選取時兼顧軋制方向和垂直軋制方向微分磁阻率，因此對定點磁阻率的處理方法如下。

在前處理階段對變壓器空間結構建模時令各心柱和鐵軛區域硅鋼片的軋制方向均在平面，方向為疊片堆疊方向，則對于變壓器鐵心，疊片堆疊方向的磁感應強度遠小于平面的磁感應強度，其定點磁阻率選取為

由式（15），需要根據鐵心結構確定各單元對應的軋制方向，再根據軋制和垂直軋制方向的磁化曲線計算得到定點磁阻率。根據所得磁阻率及磁化曲線可計算出和方向上的類磁化強度矢量，對疊片堆疊方向上的磁化特性的計算按照硅鋼片與疊片間絕緣層磁路串聯方式得出[34]。以軋制方向為方向為例，計算類磁化強度矢量為

式中，G、G和G分別為類磁化強度矢量在、和三個坐標軸方向上的分量；為鐵心的疊片系數；0為空氣磁阻率。

2.4 初值選取

由于采用2.2節所示的鐵心磁阻率設置，導致式（12）是一個變系數微分方程。為求解該方程，需要通過一個完整周期的計算結果形成各時間節點對應的系數矩陣和輸入矩陣的初值。在電力系統時域仿真中的常規方法是通過將初始時刻未知變量的值均設為0，但變壓器會有勵磁涌流現象，若電路等效串聯電阻很小會導致時間常數（=L/R）很大，造成迭代周期數很多，從而產生較大的計算代價。因此，為減少迭代次數，需要給定一個近似穩態的解作為初值，一般可按如下方式計算：①以頻域穩態解作為時域的初值；但在含次同步頻率分量的條件下，各基波周期內的飽和情況有較大差異，因此頻域法不再適用。②以較大串聯電阻的情況作為初始算例，并不斷將串聯電阻減小到實際電阻；但該方法涉及串聯電阻的選擇問題，且當變壓器含有負載或飽和現象嚴重時，較大串聯電阻會導致加在繞組上的勵磁電壓較實際電壓有偏移（勵磁電壓基波分量變小，而諧波分量增大），因此處理實際問題的效果可能受限。③以2D場路耦合模型對勵磁電流計算的穩態解作為3D場域計算初值，通過3D場域有限元的磁場計算結果和2D場路耦合模型得到的繞組電流作為3D場路耦合模型的計算初值；由于2D模型的電路特性與3D模型相同，因此其繞組電流和勵磁電壓更接近最終穩態解，且同網格尺寸下2D模型的節點數量和矩陣維度更小，相較于3D模型，應用2D模型的計算代價很小。本文利用方案③作為初值計算方案，其中2D模型已在文獻[3]中給出，對于3D磁場有限元計算，繞組電流是已知的，可利用式（9）采用時步法進行一個周期的迭代以計算矢量磁位初值；但在每個時間步的迭代中，類磁化強度及其形成的矩陣需作為時變分量處理[33]，因此在每個時間步長的計算中，對進行多次修正，以減小在非線性磁化曲線處理中引起的誤差。

3 實驗驗證

本文以一臺380V三相一體殼式鐵心變壓器的空載實驗驗證本文算法有效性，通過CSW5550可編程電源為實驗提供基波勵磁電壓和次同步電壓分量，并利用其內置波形采集裝置測量并導出電流結果，由于變壓器空載，因此該電流即為變壓器的勵磁電流。變壓器結構及鐵心磁化曲線如圖2和圖3所示，變壓器結構參數見表1。

圖2 變壓器模型及其鐵心結構

文獻[35]結合有限元計算和實驗結果表明，在沒有發生內部故障時，非對稱偏磁導致變壓器總平均漏感變化不超過1.1%，單側漏感的變化不超過5%，且在空載條件下勵磁電感遠大于漏感，因此忽略變壓器的漏感變化。經短路實驗測得基波下電源內阻為1+j0.02W，變壓器一次側等效總漏抗為j0.64W（一次側單側電抗取j0.32W），故設置外部電路參數為=1W，=1.08mH。變壓器空載實驗電路如圖4所示，次同步分量可通過CSW5550可編程電源的波形編輯器提供，并在該電路模型中以串聯電壓源形式接在各相電路中，在僅額定基波的算例中令該分量為0。

圖3 鐵心所用硅鋼片的B-H曲線

表1 實驗變壓器結構參數

Tab.1 Parameters of transformer

3.1 算例驗證

1）2D與3D模型精度對比

設置相同的網格質量對2D和3D空間模型進行網格劃分（即令同一區域的2D三角形網格邊長和D四面體棱長近似相等），分別設置額定系統電壓為額定基波電壓以及含10V/5Hz的三相正序次同步電壓分量，對勵磁電流的計算結果如圖5所示。

圖4 變壓器空載實驗電路

圖5 2D和3D場路耦合模型勵磁電流計算結果

由圖5可知，在基波條件下2D和3D模型對A、C相勵磁電流峰值的計算誤差均較小，但2D模型對于處于中間的B相繞組勵磁電流計算誤差較大。施加次同步頻率分量后，鐵心飽和情況加劇，鐵心磁導率降低（磁阻率增大），漏磁通增加，導致在原等效鐵心厚度下的磁場能量偏小[36]，因此2D模型計算得到的勵磁電流較實際值更小；3D模型直接根據完整鐵心結構描述其磁場能量，因此在鐵心過飽和時依然能得到較2D模型更準確的結果。

2）算法計算效率分析

對變壓器分別施加額定電壓激勵以及疊加不同次同步頻率分量，對比采用傳統牛頓拉夫遜法、定點時步法[33]、定點時間周期法及以2D模型電流計算結果作為3D模型初值的改進初值時間周期法，各算法效率對比見表2。

表2 不同次同步分量條件下算法效率對比

Tab.2 Comparison of calculation time with different subsynchronous components

注：①為傳統牛頓拉夫遜法；②為定點時步法；③為定點時間周期法；④為以2D電流穩態解作3D初值的定點時間周期法。

由表2可知，在不同飽和條件下定點時間周期法均能得到很好的計算效率，并且在采用2D模型的電流穩態解為3D模型賦初值的情況下，總計算時間進一步減少60%以上。雖然計算2D模型需要花費一定的時間，但為3D模型提供了一個接近穩態的初值，因此極大地提高了總體的計算效率。

3）磁場計算

對于1）中的兩種算例，選取鐵心磁通在不同區域達到峰值的時刻，繪制鐵心主磁通的磁感線分布（中心平面等A線）如圖6所示。

由圖6可知，施加次同步分量導致變壓器出現非對稱飽和時，會對鐵心磁通分布造成較大影響：①對比圖6a、圖6b可知，在鐵心的A相（邊相）心柱磁通達到峰值的時刻，施加次同步分量后導致鐵心柱和公共鐵軛處出現了局部磁感線閉合，會導致鐵心漏磁通增大；②對比圖6c、圖6d可知，在鐵心B相（中間相）心柱磁通達到峰值的時刻，額定基波激勵下鐵心磁感線呈左右對稱分布，但施加次同步分量后鐵心磁感線明顯不對稱（右側大于左側）；③對比圖6e、圖6f可知，在A-B相間公共鐵軛中磁通達到峰值時刻，額定基波激勵下A相（左側）區域幾無磁感線通過，但施加次同步分量后磁感線在A相（左側）區域也形成了閉合回路。

圖6 不同時刻鐵心磁感線分布情況

圖7為鐵心不同區域中的節點在主磁通方向及漏磁方向（垂直主磁通方向）上磁通密度變化情況。

圖7 鐵心不同區域中磁通密度波形

由圖7可知，施加次同步頻率分量后，鐵心主磁通方向磁通密度在每一個基波周期內會出現非對稱偏置磁化問題，在漏磁通方向上還會出現更為明顯的諧波畸變，影響變壓器的正常工作。

3.2 次同步頻率分量對變壓器影響分析

在電力系統實際運行中，次同步振蕩的頻率范圍涵蓋4～35Hz內的多種頻率[14, 18-19]，檢測到主變壓器上感應的次同步電壓分量可達基波分量的0.9%～5.5%[37-38]。設置有效值為5～15V（相對額定基波分量的2.3%～6.8%），并考慮不同頻率及相序的次同步頻率分量，分析其對變壓器電磁特性的影響。

1）三相次同步頻率分量分析

對變壓器三相繞組施加不同頻率、幅值及相序的次同步電壓分量，對比勵磁電流峰值以及鐵心最大磁通密度情況如圖8所示。

圖8 三相次同步分量下變壓器電磁特性計算

由圖8可知，頻率越低、幅值越大的次同步頻率分量，對變壓器勵磁電流峰值和鐵心最大磁通密度影響越為顯著。且三相一體式變壓器還會受次同步頻率分量的相序影響，正序分量在不同頻率下勵磁電流峰值和鐵心最大磁通密度的曲線較為平滑；負序分量對變壓器的影響情況與正序分量相近，但在施加10Hz以下的負序分量后，變壓器鐵心最大磁通密度隨頻率變化曲線較正序分量更陡；零序分量對變壓器影響最為嚴重，施加15V 5Hz的零序次同步頻率分量后，鐵心局部最大磁通密度將達到2.22T。

2）單相次同步頻率分量分析

文獻[39]提出可通過單相形式的不對稱串補結構抑制系統次同步振蕩，以減小容量需求，此時次同步分量將僅出現在單一繞組中。

因此，選取變壓器A相（邊相）和B相（中間相）繞組分別施加有效值為15V、頻率不同的次同步分量，對比三相勵磁電流峰值結果如圖9所示。

圖9 單相次同步分量下變壓器勵磁電流計算

由圖9可知，對于三相一體式變壓器，施加單相次同步分量時，不僅會增加本相勵磁電流，還將增加臨近相的勵磁電流；邊相（A相）含次同步分量時，該相產生的磁動勢經過另一邊相（C相）形成的磁路較長，因此對較遠邊相的影響程度很小。

4 結論

1）提出考慮次同步頻率分量和鐵心各向異性的變壓器三維場路耦合時間周期有限元模型，以分析變壓器在非對稱偏置磁化條件下的穩態磁特性。首先應用定點技術建立三維磁場計算模型；在前處理過程中建立繞組方向矢量矩陣以形成電流密度空間矢量參數與繞組電流標量參數之間的完整場路耦合關系；對迭代過程中的各向異性磁阻率問題進行分析，以獲取疊片鐵心的完整電磁特性；選擇2D模型的穩態結果作為3D模型初值，提高了模型的總收斂效率。

2）結合物理變壓器的算例和實驗表明，3D場路耦合模型不需要對變壓器在厚度方向進行簡化，因此相較2D模型對勵磁電流有更高的計算精度；但2D模型計算代價低，且為3D模型提供了一個接近穩態的初值，因此混合迭代方案在不同飽和情況均可提升總體迭代效率。

3）次同步頻率分量會導致鐵心磁感線分布的變化，包括漏磁增加、分布不對稱及主磁通磁路改變；還會導致鐵軛區域在漏磁方向的諧波畸變更為嚴重。次同步分量對變壓器的影響與幅值、頻率、相序和三相分布情況有關。頻率低、幅值大、零序的次同步分量對變壓器影響更為顯著；若次同步分量出現在單一繞組中，不僅影響本繞組的勵磁電流，還會增加臨近繞組的勵磁電流。

附 錄

式（9）和式（11）中各系數矩陣及輸入向量的形態及形成方式如下。

（A1）

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3D Fixed-Point Finite Element Method for Time Periodic Problems with Subsynchronous Components and Analysis of Transformer Electromagnetic Characteristics

’

（State Key Laboratory of Alternate Electrical Power System with Renewable Energy Sources North China Electric Power University Beijing 102206 China）

The injection of subsynchronous frequency components causes periodic asymmetric bias of the transformer core. Taking the 3D magnetic vector potentialand the winding currentas the unknown variables, combining the fixed-point method and the field-circuit coupled relationship, a 3D time-periodic finite element model for calculating the magnetic field of the transformer core was established to study the steady-state magnetic properties of transformer core with subsynchronous frequency components. In the pre-processing, the current density direction vector was established for each element in the winding area. During the iteration, it is necessary to select a suitable local convergence fixed-point magnetoresistance for the non-linear anisotropic core region. The steady-state current calculated by the 2D time-periodic finite element method is used as the initial value of the 3D field-circuit coupled calculation to reduce the total iteration time. The calculation and experimental results were used to verify the effectiveness of the algorithm, and the effects of different amplitudes, frequencies, phase sequences and subsynchronous frequency components of three-phase distribution on the electromagnetic characteristics of transformer were analyzed.

Subsynchronous frequency component, asymmetric bias, 3D time-periodic finite element method, field-circuit coupled, fixed-point method

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211496

TM41

2021-09-23

2021-10-26

孫佳安 男，1994年生，博士研究生，研究方向為電磁場數值計算與變壓器暫態建模。E-mail: 1182101023@ncepu.edu.cn

李 琳 男，1962年生，教授，博士生導師，研究方向為電磁場理論及應用與電力系統電磁兼容。E-mail: lilin@ncepu.edu.cn（通信作者）

（編輯 崔文靜）