不均勻氣隙表貼式永磁同步電機磁場解析計算

趙士豪 陳進華 張 馳 李 爭 孟玉龍

不均勻氣隙表貼式永磁同步電機磁場解析計算

趙士豪1,2陳進華2張 馳2李 爭1孟玉龍1,2

（1. 河北科技大學電氣工程學院 石家莊 050018 2. 中國科學院寧波材料技術與工程研究所 浙江省機器人與智能制造裝備技術重點實驗室 寧波 315201）

工業機器人與數控機床用永磁同步電機設計過程中為追求反電動勢的正弦性和低轉矩脈動，常采用面包型或偏心削極的不均勻氣隙結構，該文基于微分原理對不均勻氣隙結構轉子磁極進行徑向等極弧分段，在二維極坐標下將電機結構劃分為永磁體、氣隙、槽開口和定子槽四個精確子域的解析模型，并建立泊松方程和拉普拉斯方程，通過分離變量法與傅里葉級數法求解偏微分方程，通過邊界條件對各子域諧波系數求解以得到各分段磁極磁場分布，然后基于積分原理對其等效疊加得到電機二維磁場分布結果。該解析方法同時考慮到瓦片型、偏心式與面包型磁極轉子結構，可以計算任意單元數電機的空載、電樞及負載的磁場特性，并在此基礎上計算轉矩和空載反電動勢特性。通過樣機測試結果和有限元仿真結果與解析結果進行比較，驗證解析方法的準確性，能夠快速指導電機設計。

永磁同步電機 子域解析法 不均勻氣隙 等極弧分段 磁場性能

0 引言

永磁電機憑借其高轉矩密度、高效率等優勢逐漸在工業機器人與數控機床場合廣泛應用，其氣隙磁通密度及反電動勢（Electromagnetic Force, EMF）波形對電機性能和效率的影響很大，因此正確而快速有效地分析電機磁場性能是電機設計的基礎。精確子域解析法作為準確高效分析電機電磁場的方法近年來被國內外學者廣泛運用，其中Zhu Ziqiang和Wu Lijian等分別提出了表貼式精確子域模型[1]和改進模型[2]解析方法，A. Rahideh等提出無槽和開槽內外轉子的磁鋼表面插入式，以及交替極結構的二維磁場解析方法[3-6]，T. Lubin等提出表貼式和表面插入式半閉口槽結構精確子域解析法[7-8]，國內亦有眾多學者以精確子域法對不同結構電機進行磁場計算分析[9-12]。但上述文獻都是以氣隙均勻的瓦片型磁鋼結構進行子域解析計算。

工業機器人與數控機床驅動電機對反電動勢正弦度和低轉矩波動性能要求較高，面包型或偏心削極結構等特殊磁鋼形狀引起不均勻氣隙的表貼式永磁同步電機成為研究的熱點[13-19]。文獻[13]提出多邊形轉子軛結構的空載磁場解析模型，對空載磁通密度與磁通密度諧波進行分析；文獻[14]利用卡特系數考慮定子開槽影響，推導出負載下偏心磁極徑向磁通密度解析模型，以偏心距和極弧系數對磁通密度波形進行優化設計，并通過樣機測試結果對解析和有限元結果驗證；文獻[15]提出兩種凸極不等厚磁極形狀的直口槽結構精確子域解析模型，并分析磁極尺寸變化對電機性能的影響；文獻[16-17]都以等效面電流法對偏心磁極結構進行數學建模，分析空載氣隙磁通密度情況；文獻[18-19]將磁極分段等效，分別對無槽結構磁場和電機空載磁通密度的優化設計進行分析。上述文獻以不同磁場解析方法對單一特殊磁鋼形狀永磁電機進行建模和磁場解析計算，未能統一考慮面包型和偏心削極結構等特殊磁鋼形狀引起不均勻氣隙的表貼式永磁同步電機準確磁場解析計算。

本文以完全子域解析法對不均勻氣隙結構表貼式永磁同步電機進行建模，通過引入矢量磁位，建立永磁體、氣隙、槽開口、定子槽四個子域解析模型，根據微分原理對不均勻氣隙結構的永磁體等效劃分為極弧均等但半徑不同的若干段磁極，利用傅里葉級數法、分離變量法求解分段磁極磁場分布，依據積分原理對各段磁極磁場等效疊加得到電機二維磁場結果，本文解析方法能同時考慮到瓦片型、偏心式和面包型磁極形狀，可計算任意單元數結構電機的空載和負載下電機磁場特性，以研制的一臺24極36槽樣機進行實驗，根據實驗測試和有限元仿真結果驗證解析法計算結果的準確性。

1 解析模型

本文對表貼式內轉子不均勻氣隙結構永磁同步電機進行建模，電機的二維簡化模型如圖1所示，基于精確子域模型分析原理，將電機模型劃分為永磁體、氣隙、定子槽開口和定子槽四個子域。為便于對模型分析，作出如下基本假設：

圖1 磁極偏心式永磁同步電機簡化模型

（1）永磁體的電導率為0，磁導率為實際相對磁導率，其退磁曲線為直線，且磁極之間空氣的磁導率與永磁體磁導率相同。

（2）定、轉子鐵心的磁導率為無窮大。

（3）忽略電機端部影響。

（4）定子槽形狀為如圖1所示的理想的半開口槽。

1.1 轉子結構解析模型

轉子結構采用如圖2所示的不均勻氣隙結構時，由于永磁體與氣隙子域之間的邊界條件較為復雜，以及磁化強度也難以用簡單的表達式表示，基于方程求解更加困難，所以針對永磁體形狀的改變采用新的方法等效計算。

圖2 不均勻氣隙轉子簡化模型

本文基于微積分思想，將永磁體極弧域進行圓周區域分割，偏心式磁極等效結構如圖3所示，面包型磁極等效結構如圖4所示。R為偏心半徑，為偏心距，為第段磁極與磁極中線的夾角，m為永磁體最大厚度；當分割段數足夠多時，每小段永磁體形狀就可看作為徑向瓦片型結構。

圖3 偏心式磁極等效結構

為永磁體分段數，p為永磁體極弧系數，為電機極對數，則第段磁極與永磁體中線夾角可表示為

圖4 面包型磁極等效結構

根據三角形余弦定理求得第段磁極的外半徑mj為

對于不同形狀的兩種永磁體，第段磁極內半徑rj可表示為

式中，r為轉子角速度。

當=0時刻，磁極中心位置角和每小段磁極的極弧系數pj可表示為

永磁體的磁化強度見附錄式（A1）和式（A2）。

1.2 定子結構解析模型

由圖1所示簡化模型結構，槽數為的第號槽以及槽開口的中心位置角可表示為

對多相繞組條件下，第相線圈電流可表示為

對于36槽24極結構，繞組排布方式如圖5所示。

式中，1和-1為電流流入流出的方向。槽電流密度表示為

式中，c為導線填充系數；c為導線橫截面積。

第槽左、右線圈電流密度Jl、Jr可以表示為

在永磁體域和定子槽域的有源區域內，及氣隙域和槽開口域的無源域內，通過引入矢量磁位rj，sli，air和soi，建立對應的泊松方程和拉普拉斯方程[1,2,8]，各子域的偏微分方程為

2 邊界條件

根據相鄰兩介質邊界上矢量磁位的法向分量連續、切向分量相等的分布規則，在永磁體區域，其邊界條件可表示為

氣隙區域邊界條件為

其中

槽開口區域邊界條件為

定子槽區域其邊界條件為

其中

3 各子域方程的解

為了簡化方程解的表達式，本文定義一組內置函數[8]為

針對永磁體子域建立的泊松方程，其rj的解[8]為

其中

在氣隙子域中建立的拉普拉斯方程，其air的解[8]為

在槽開口區域建立的拉普拉斯方程，其soi的解[9]為

對于在定子槽區域建立的泊松方程，其sli的解[9]為

其中

4 合成磁通密度求解

通過相鄰邊界上邊界條件求解的方程聯立，建立各子域解中的諧波系數矩陣為

諧波系數有關方程參見附錄，聯立方程可得關于諧波系數的矩陣方程為

其中

合成氣隙磁通密度由各分段磁極氣隙磁通密度疊加，其結果如圖6所示，取磁極分段數為10段進行等效的結果。在各子域諧波階數一定的情況下，磁極分段數越多，等效程度就越高，計算結果越精確。

5 有限元驗證

為驗證解析法的適用性與正確性，基于本文對不均勻氣隙轉子建模過程，表1給出了36槽24極偏心式和面包型磁極轉子電機結構參數。

表1 電機結構主要參數

Tab.1 Main parameters of motor structure

5.1 氣隙磁通密度分布

根據微積分原理對永磁體進行等極弧分段，最后電機二維氣隙磁場可等效為每段磁極產生的磁場疊加效果總和，取氣隙中間位置e處=e= (ms)/2的磁場結果。

圖7～圖9分別給出兩種結構的空載、電樞反應以及負載工況下一對極結構的氣隙磁通密度徑向和切向分量計算結果，可以看出，解析法計算結果和有限元仿真結果雖存在誤差，但整體吻合性較好。根據圖8結果可知，由于此電機結構最小氣隙長度為5mm，電樞反應下氣隙磁通密度幅值小于0.02T，所以負載和空載下磁通密度波形結果較為接近；由于面包型結果是在偏心式基礎上只改變槽開口寬、極弧系數和充磁方式后作為對比，兩者結果波形相近，但實際面包型磁鋼略厚以及槽開口更寬，所以其磁通密度幅值略高，開槽影響也較大。

圖8 電樞反應氣隙磁通密度

圖9 負載氣隙磁通密度

5.2 轉矩計算

轉矩結果如圖10所示。由于面包型電機結構槽開口寬度增加為偏心式的2倍，極弧系數降低為0.8，齒槽轉矩明顯增大，其峰值為0.81N·m，偏心式為0.1N·m，其電磁轉矩均值都在15N·m左右，解析結果和有限元結果對比下，兩種結構波形變化趨勢基本一致，面包型齒槽轉矩有限元結果略高于解析結果。

圖10 轉矩結果

5.3 空載反電動勢

電機空載下，各相磁鏈和反電動勢可由每槽線圈邊的磁位差計算得出，即

圖11給出了偏心式磁極電機其中一相的空載反電動勢波形，峰值在140V，解析結果與有限元吻合較好。

圖11 空載相反電動勢

6 樣機實驗

研制了一臺24極36槽平行充磁偏心式磁極轉子的樣機，以實驗驗證本文解析方法的準確性。通過示波器（每格100V）測得額定空載轉速下線反電動勢波形如圖12所示，實驗測得線反電動勢峰值為242V，根據圖13取一個電周期空載線反電動勢對比，由于實測結果采樣點較高以及可能存在其他影響因素，波形存在畸變，但整體上有限元、解析和實驗結果數值和波形趨勢高度吻合。

圖12 實測空載線反電動勢

圖13 空載線反電動勢對比

7 結論

本文基于精確子域模型建立了面包型和偏心削極等特殊磁鋼形狀引起不均勻氣隙的表貼式永磁同步電機空載磁場、電樞磁場和負載磁場分布的通用解析方法，同時考慮了徑向/平行充磁，半閉口槽的任意單元電機模型以及傳統均勻氣隙表貼式結構。通過計算電機空載磁場、電樞磁場和負載磁場下的氣隙磁通密度分布，驗證了通用解析方法的準確性。在此基礎上，計算了電機的齒槽轉矩、電磁轉矩及反向感應電動勢，與有限元法的結果均吻合較好，研制的24極36槽偏心式磁極永磁同步電機實測反電動勢波形與仿真結果吻合很好，驗證了本文解析方法的正確性，為進一步優化該類電機的電磁性能奠定了良好的基礎。

附 錄

第段磁極的磁化強度分量表示為

1）徑向磁化

2）平行磁化

永磁體的磁化強度可表示為

根據各子域偏微分方程基礎解式（20）～式（27），通過各子域間邊界條件式（14）～式（19），得到下面求解方程，通過將方程聯立求得各子域諧波系數矩陣，然后進行電機性能參數求解。

其中

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Analytical Calculation of Magnetic Field of Permanent Magnet Synchronous Motor with Uneven Air Gap Structure

1,22211,2

（1. School of Electrical Engineering Hebei University of Science and Technique Shijiazhuang 050018 China 2. Laboratory of Robotics and Intelligent Manufacturing Equipment Technology of Zhejiang Province Ningbo Institute of Materials Technology and Engineering Chinese Academy of Sciences Ningbo 315201 China）

In order to achieve sinusoidal back EMF and low torque ripple in the design process of permanent magnet motor for industrial robot and numerical control machine, the uneven air gap structure of bread-shaped or eccentric pole cutting is often used. Based on the differential principle, the rotor pole of the non-uniform air gap structure was divided into four subdomains: permanent magnet, air gap, slot opening and stator slot, and the Poisson equation and Laplace equation were established. The partial differential equation was solved by the variable separation method and the Fourier series method. The harmonic coefficients of each subdomain were solved by the boundary conditions to obtain the magnetic field distribution of each segmented pole, and then the two-dimensional magnetic field distribution of the electric machine was obtained by the equivalent superposition based on the integral principle. The analytical method also takes into account the pole rotor structure of tile type, eccentric type and bread type, and can calculate the no-load, armature and load magnetic field characteristics of the motor with any number of units. Accordingly, the torque and no-load back EMF characteristics can be calculated. The analytical method is verified by the comparison of the prototype test results, the finite element simulation results and the analytical results, which can quickly guide the motor design.

Permanent magnet synchronous motor, subdomain analysis method, uneven air gap, isopolar arc segmentation, magnetic field performance

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.210299

TM315

國家自然科學基金青年科學基金（51807194）和寧波市科技創新2025重大專項（2019B10077, 2021Z125, 2018B10026）資助項目。

2021-03-11

2021-05-13

趙士豪 男，1996年生，碩士，研究方向為多相永磁電機設計與分析。E-mail: zhaoshihao@nimte.ac.cn

陳進華 男，1985年生，博士，正高級工程師，博士生導師，研究方向為特種永磁電機及其控制。E-mail: chenjinhua@nimte.ac.cn（通信作者）

（編輯 崔文靜）