概念教學提升初中數(shù)學素養(yǎng)教學芻議
——以“算術平方根”教學為例

◎嚴克浩 謝福耿(廣東省廣州市廣園中學，廣東 廣州 510405)

東北師范大學前校長史寧中教授認為數(shù)學教學的最終目標可以用三句話來概括：“讓學習者會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界；讓學習者會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界；讓學習者會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.”也就是說，數(shù)學教育就是要培養(yǎng)有數(shù)學素養(yǎng)的人.其中概念教學在數(shù)學教育中占據(jù)著重要地位.但目前的初中數(shù)學概念教學實踐存在本質上以解題教學代替概念教學，概念教學方式方法單一，對概念形成過程體驗不夠等問題，導致課堂氣氛沉悶，學生對數(shù)學的印象是枯燥、乏味，想要提高學生的數(shù)學素養(yǎng)更是無從談起.造成這樣局面的根本原因是教師對“概念教學的各個階段分別應該要怎么做，應該采取怎樣的教學策略”沒有清晰的定位.

美國認知心理學家皮亞杰認為：認知發(fā)展是受同化、順應、平衡三個基本過程的影響，新知識被舊知識同化，舊知識順應新知識，新舊知識須在同化和順應之間得到某種均衡而實現(xiàn)平衡.

本文將概念教學過程分為概念形成、概念鞏固、概念精致這三個階段.筆者認為要想提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，在概念教學的各個階段可以采取以下策略：喚醒遷移促概念形成，類比辨析促認知平衡，融匯新舊促概念精致.本文以初中“算術平方根”的教學為例，將數(shù)學核心素養(yǎng)的教學理念融入概念教學中，以供一線教師借鑒和參考.

一、喚醒遷移促概念形成

在概念形成階段，教學的主要任務是實現(xiàn)概念同化，把新的概念同化到舊的知識和經(jīng)驗以及已有的認知體系中，教師在這個階段的主要工作是完成對學生舊知識和經(jīng)驗的喚醒和實現(xiàn)認識體系由舊到新的遷移，所有的學習都是從已有經(jīng)驗出發(fā)的.這個階段搭建起新舊知識之間溝通的橋梁，讓學生了解新概念是從何而來的，是如何遷移的，從而明確新概念在整個知識體系中的地位及作用.

根據(jù)蘇聯(lián)教育家維果茨基提出的“最近發(fā)展區(qū)理論”，新概念處在學生知識的“最近發(fā)展區(qū)”的教學效果最佳.所以，在數(shù)學概念教學過程當中，教師要厘清接近新概念的“已發(fā)展區(qū)”，注重利用學生已有的知識和經(jīng)驗來形成新的概念.學生從已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，通過概念引入使得新概念與舊知識之間搭建聯(lián)系，使得新概念的誕生“水到渠成”.這樣的教學方法更容易讓學生接受，同時更符合學生的認知規(guī)律和身心發(fā)展特點.因而，在概念形成階段，教師應喚醒學生舊的知識和經(jīng)驗，以便其使用數(shù)學的方法實現(xiàn)知識和經(jīng)驗的正遷移，這樣舊知識和經(jīng)驗這只“雞”才能孕育出新概念這個“蛋”.

以“算術平方根”教學實踐的引入為例.從數(shù)學史的角度來看，畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)，直角邊長為1的等腰直角三角形斜邊長的平方是2，但是斜邊具體有多長？這個時候已經(jīng)孕育著算術平方根這一概念了！今天我們知道，這條線段的長度本質上是2的算術平方根.所以要使學生形成“算術平方根”這一概念，教師可以考慮喚醒學生對直角三角形的認識，實現(xiàn)由直角三角形知識到算術平方根知識的遷移.但前提是要以勾股定理為基礎；從知識的層面來看，“算術平方根”是開平方運算的非負結果，也可以喚醒學生已有的經(jīng)驗“加法和乘法都是有逆運算的”，讓學生隱約覺得乘方(平方)作為一種運算，也是有可能逆運算的，實現(xiàn)乘方的逆運算到算術平方根的知識的遷移.“知邊長，求正方形的面積”是學生已有的知識和經(jīng)驗，屬于“已發(fā)展區(qū)”，按照數(shù)學探究的習慣，交換條件和結論往往可以獲得一個觀察問題的全新的角度，并且有意外的收獲，這也是學生已有的經(jīng)驗.喚醒了以上所提的這些知識和經(jīng)驗，知道“正方形的面積，求邊長”就成了學生“最近發(fā)展區(qū)”.教師帶學生將知識遷移至“正方形的邊長是正方形面積的算術平方根”，最終實現(xiàn)“正數(shù)a的算術平方根”與“面積為正數(shù)a的正方形邊長”的同化.

基于以上考慮，筆者在教學實踐中先讓學生計算邊長為3的正方形面積，喚醒學生已有的知識經(jīng)驗，然后讓學生變換一下角度，嘗試一下計算“已知正方形的面積，求正方形邊長”的問題：

正方形的面積49160.253649邊長

教師通過喚醒學生“求正方形面積”的數(shù)學知識和數(shù)學研究學習，并將條件和結論進行互換，以轉換角度和視角積累數(shù)學經(jīng)驗，逐步完成從“知正方形邊長，求面積”到“知正方形面積，求邊長”的知識遷移.

為了更加接近概念本身的本質，教師還需要進行更加“形式”的抽象.筆者在教學實踐中會問學生類似“哪個正數(shù)的平方等于36?”這樣的問題.這樣問題的論述已經(jīng)非常接近概念的論述，從而逐步實現(xiàn)從“情景”到“形式”的遷移.接著，教師可以進一步提問“已知36是6的平方，那么6是36的________？(橫線填個什么合適的名詞)”這個時候概念就凸顯了出來.此時，教師再帶領學生回顧之前的教學過程，對算術平方根進行定義.定義的文字表述和符號表示都完全確定后，就可以看作概念真正形成了.在這個過程中，教師完成了概念從實際背景到形式的抽象，學生既經(jīng)歷了從數(shù)學的角度觀察實際背景，又體驗了用數(shù)學的方法抽象數(shù)學概念的過程，使得自身的數(shù)學素養(yǎng)得到極大的提升.

二、類比辨析促認知平衡

在概念鞏固階段，教師的主要任務是實現(xiàn)認知平衡，這個階段，學生在訓練的過程中，新的概念與原有知識和認知結構頻繁類比、辨析以便實現(xiàn)同化，新概念要納入舊的認知結構中，會對原有的認知結構造成影響，新舊知識必須經(jīng)過同化和順應之間得到某種均衡而實現(xiàn)平衡，建構一種全新的認知結構.在這個過程進行得最多的思維活動無疑是“類比辨析”.因而，教師應該在概念運用環(huán)節(jié)設置一些“類比辨析”的數(shù)學活動，促使學生對新概念的同化、順應，順利達成認知的平衡，從而形成新的、穩(wěn)定的認知結構.

以“算術平方根”為例，學生要理解算術平方根，就要理解數(shù)學符號(數(shù)學語言)的意義以及算術平方根本身的意義.要實現(xiàn)第一個理解，教師可以把算術平方根和符號關聯(lián)，就是a的算術平方根的表示，并以此作為規(guī)定.要實現(xiàn)第二個理解，教師可以通過活動促成類比辨析，使得學生感受到“正數(shù)的平方”和“求正數(shù)的算術平方根”是互逆過程，可以設置如下任務：

(1)( )2=2525=(2)( )2=49644964=(3)( )2=0.00010.0001=

這個任務設計的目的是增強學生視覺上的強烈的反差，讓正數(shù)的平方運算和求正數(shù)的算術平方根運算的關聯(lián)和差別都更加地明顯，從而促使概念同化.在情感上，學生對世界是相互聯(lián)系而又有區(qū)別的感受更加強烈，有利于學生數(shù)學素養(yǎng)的提升.

三、融匯新舊促概念精致

概念精致是指學習某個概念后，學生對所學概念有所拓展，甚至做出某種推論，這個過程被認知心理學家稱為“精致加工”.在數(shù)學學習中，“精致加工”的實質是指對數(shù)學概念的內涵和外延進行詳盡地“深加工”.概念精致階段，教師的主要任務是對概念進行拓展，甚至形成某種推論.這個階段是提高學生數(shù)學素養(yǎng)必不可少的階段，屬于“畫龍點睛”的階段，需要融匯已有的所有的知識和方法嘗試多角度解讀概念，甚至可以滲透其他學科的思想方法對新概念知識進行升華，達成提升自身數(shù)學素養(yǎng)的目標.

以“算術平方根”為例，經(jīng)過前面的設計，學生對于新的概念雖然已形成基本認識，但不深刻，更不精致.在概念精致階段，我們可以回到概念的實質背景，明確算術平方根這個概念以后，可以這樣定義“正方形的邊長是面積的算術平方根”.這一過程使得算術平方根獲得了幾何意義，實現(xiàn)了算術平方根的定義從抽象到相對具體，加深了學生對概念的理解.

算術平方根的大小與被開方數(shù)相關，但具體怎樣相關，學生十分茫然.“被開方數(shù)越大，對應的算術平方根就越大”這一結論能夠加深學生對概念的理解，促成概念精致.對于這一認識，教師可以利用幾何知識形象化，把被開方數(shù)與“正方形面積”比較，將算術平方根和“正方形邊長”進行類比；正方形的面積越大邊長就大是學生形象的生活經(jīng)驗.教師也可以利用方程思想加深理解，在等式“x2=a”中指出正數(shù)x是a的算術平方根，a是被開方數(shù)，從方程的角度來看“x2=a”是一個一元二次方程，是一個等式，自然滿足等式性質，這樣“被開方數(shù)越大，對應的算術平方根就越大”的結論就顯而易見了.這樣多角度、全方位地融匯已有的知識和數(shù)學思想方法來檢驗新的概念，有利于學生達成對新概念的認識越來越精致的目標.通過概念精致完善對概念的認識以及對概念的內涵外延進行挖掘，學生的思想方法得到了有益的補充，學生的思維得到了發(fā)展，也學會了用數(shù)學的方法分析世界.這種方式不僅發(fā)展了學生的數(shù)學眼光，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，還為學生搭建了提升之階.

四、總結和反思

1.概念教學要引導學生建構良好的概念結構

美國心理學家、教育學家布魯納認為學習就是建立一種認知結構.章建躍教授提倡整體教學，主張以構建學生的認知結構為核心目標，在教學中將數(shù)學知識、研究方法等對象置于整個數(shù)學知識體系中，用聯(lián)系的結構化觀點教學，讓學生形成整體的認知結構，力求達成知識與方法能力的有機統(tǒng)一.由此可見，概念教學應該引導學生建構良好的概念結構.以“算數(shù)平方根”教學為例，算術平方根概念的起源與幾何中的正方形有關，如果一個正方形的面積為A，那么這個正方形的邊長就是A的算術平均根.算術平方根概念是平方根概念的基礎.算術平方根的概念去掉要求正數(shù)的束縛，就可以得到平方根的概念.接下來，依據(jù)平方根的概念，學生可以仿寫出立方根的概念.因而從認知結構上看，算術平方根是后續(xù)學習平方根和立方根的重要基礎.因此，教師在進行算術平方根的教學時，要給學生理順這樣的關系，有助于引導學生建構一個良好的認知結構.

2.概念教學要引導學生積累概念學習的經(jīng)驗

數(shù)學活動經(jīng)驗是學生個人經(jīng)驗的重要組成部分，是學生學習數(shù)學、提高數(shù)學素養(yǎng)的重要基礎之一.好的教育應該是從學習者的經(jīng)驗和已有的知識背景出發(fā)的.教師在概念教學中幫助學生積累概念學習的經(jīng)驗是非常重要的.算術平方根的學習實際上是為學生學習平方根、立方根乃至n次方根積累學習經(jīng)驗.因而，在教學的時候，教師應該經(jīng)常歸納總結學習此類概念的經(jīng)驗和方法.