初一數學中三角板旋轉求角度問題教學研究

◎廖永鳳 崔澤建(通訊作者)(西華師范大學數學與信息學院，四川 南充 637000)

一、引言

《義務教育數學課程標準(2011年版)》中指出：教師教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式和因材施教.在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想.為了適應時代發展對人才培養的需要，數學課程還要特別注重發展學生的應用意識和創新意識.其中，對于剛進入初中階段的初一學生而言，理解并掌握有關角度的算理是很重要的，這些知識的學習都是為后續的更加深入的探究打下基礎.

三角板是數學教學過程中一個重要的工具，在初一學習時，通過三角板組合求角度問題是教學中的一個重點問題，也是難點問題，同時為后續的學習奠定基礎.在此之前，學生已經簡單學習了角度的運算和等角的相關性質定理，對于角度的簡單應用有了初步的理解，但是在較復雜的求角度應用題中還存在較大的問題.探究簡單的角度問題能夠為后續繼續探究三角形、四邊形、圓及其函數中出現的角度問題奠定基礎.解答有關角度的問題時，主要用到了推理代換法和方程法，因此需要學生結合圖形，從圖形中提取解決問題所需的條件，這就需要學生具有較強的數感、邏輯思維和數學抽象思想.然而，初一學生的認知能力較弱，故在教學過程中需要教師根據學生現有的認知結構、知識基礎引導學生從多方面思考問題.

三角板旋轉問題是初一學習的重點，在初一學習中，教師主要應讓學生掌握當三角板組合之后繞著其中的一個頂點旋轉后角度之間的變化，目的是讓學生加強對角度問題的理解，進而為整個初中階段的幾何知識學習打下基礎.從生活中常見的數學工具出發，能引起學生的學習興趣，并在學習過程中培養學生的邏輯推理能力，提高學生的數據分析能力.本文將對初一學習過程中三角板組合旋轉求角度問題的相關題目進行分析，講解相應的解題技巧，希望能夠對學生解決本階段求角度問題有所幫助，并為后續學習幾何知識奠定基礎.

二、三角板旋轉求角度問題

波利亞曾說過從最簡單的做起.在數學學習中，無論解決什么問題都需要有相關的基礎知識與技能的支撐.三角板組合旋轉求角度問題對于學生的要求較高，要求學生具備一定的計算能力、看圖能力、條件轉化能力、邏輯推理能力等.在具體解題時，首先應該做到以下幾點：第一，要熟記知識點、明晰算理；能夠理解并運用三角板的特征及性質；熟記角的有關概念與性質；明晰解決相關問題的方法；知道在解決問題時應該如何進行等量代換及計算；能根據已知條件，找出解決問題所需的條件.第二，需要總結歸納題目的大概解題過程.對于三角板組合求角度問題，在經過分析、解決問題之后，需要總結解這一類題的大概步驟.三角形組合求角度問題可以作為初一階段學習的一個模型，同時，積累解決問題過程中的學習方法與做題技巧，可以為今后數學學習過程中解決問題奠定基礎.將解決問題的方法上升到思想層面，強調如果能運用好方程思想、目標和整體意識，就能優化解題過程.第三，鍛煉計算能力.在數學學習過程中，通過邏輯推理等明確解題步驟和方法后，還需要通過數學運算得出最終結果，若是計算結果出現紕漏，那么最終的評閱分數也不會很高.所以，在數學學習過程中，應該鍛煉計算能力以保證做題步驟的正確性.

在初一階段，三角板組合求角度問題是其中的難點，也是重點.對于后續探究其他平面圖形(三角形、四邊形、圓等)與函數(一次函數、反比例函數、二次函數等)的性質定理奠定基礎.三角板組合求角度問題在數學學習中會以很多種方式出題，正是因為題目的靈活多變，常使學生無從下手.但是如果仔細總結就會發現，解這類題的關鍵是問題轉換，將未知的問題轉換為已知的、能夠解決的問題.其中角度問題就是尋找其中的對應關系，然后根據對應關系列方程并求解，或者對已知和未知的角度進行推理代換，找出等量關系求解.所以，這類題目雖具有一定的靈活多變性，但也具有其固定套路.

1.三角板旋轉問題

初一階段已經學習了什么是角，一些特殊的角，角的比較和運算，以及角的一些性質定理.對于角的學習，只是簡單的認識，并不難，但是學生在運用角的相關性質定理解決實際問題時，則會出現較大的問題.對于角的應用，其中較為常見的題型就是圖形組合求角度、線條相交求角度.這類問題在求解中應該先明白哪些角度是已知的，哪些角度可以等量代換；然后，通過三角板的不同組合形式，從圖中找出已知角和未知角之間存在的等量關系；最后，通過推理代換法用已知角表示未知角，求出未知.

例1一副三角板OAB，OCD如圖1所示放置.(∠CDO=45°,∠OAB=30°)

圖1

(1)求∠DOB的度數.

(2)將三角板OCD從圖1位置繞O點順時針旋轉至如圖2所示位置，若OM，ON分別平分∠DOA,∠BOC,則在旋轉過程中∠MON如何變化？

圖2

(3)若三角板OCD從圖1繞點O逆時針旋轉至如圖3所示位置，若其他條件不變，則(2)中的結論是否成立？

圖3

(4)若三角板OCD從圖1位置繞點O順時針旋轉至如圖4所示位置，若其他條件不變，圖2中的結論是否成立？

圖4

解析：(1)由圖1可知∠DOB=∠DOA+∠AOB，題中已知∠DOA=90°,∠AOB=90°-∠OAB,所以∠DOB=150°.

(2)由題可知∠DOC=90°,∠AOB=60°①

方法一：由圖2可知∠MON=∠MOA+∠AOC+∠CON

②

③

方法二：由圖2可知

∠MON=∠DOC+∠AOB-∠AOC-∠DOM-∠NOB

=∠DOC+∠AOB-(∠AOC+∠MON-∠AOC)

=∠DOC+∠AOB-∠MON

所以，2∠MON=∠DOC+∠AOB,∠MON=75°.

所以，在旋轉過程中∠MON大小不變.

(3)由圖3可知∠MON=∠MOC+∠AOC+∠AON

④

可推出

⑤

⑥

解法三：由圖3可知：

所以，2∠MON=∠DOC+∠AOB,∠MON=75°.

所以，(2)的結論成立.

(4)由圖4所示：∠MON=∠MOA+∠BON+∠AOB,由題意可知

變式訓練：將三角板如圖5所示繞O點順時針旋轉至如圖6所示位置，若OM，ON分別平分∠DOA,∠BOC,則在旋轉過程中∠MON如何變化？旋轉至圖7所示位置，結論是否成立？

圖5

圖6

圖7

小結：三角板旋轉問題是求角度問題中一個特殊的問題，這類題對于學生的看圖能力、推理能力要求較高，學生要知道在旋轉過程中旋轉的物體形狀、大小、對應的角度都不會改變，角平分線分得的兩個角大小不變.當兩個三角板一邊完全重合時，繞著重合邊上的頂點旋轉，無論旋轉之后兩個三角板是重合還是分開，如圖6和圖7中∠DOA,∠BOC被平分之后，兩角平分線所組成的角∠MON的度數都是∠DOA,∠BOC度數和的一半.分析此類問題時主要是通過讀圖形，從圖中找出已知角與未知角之間的關系，然后通過等量代換、角度運算求出未知.在此過程中，教師應先讓學生通過自主探究、合作探究試著分析、解決問題，然后再從不同的方向思考問題并學會總結，以此學生數形結合與邏輯推理的能力，為學生繼續探究幾何知識奠定基礎.

2.一般的求角度問題

三角板組合求角度問題是初中階段求角度問題的一種類型，是為了一般的求解角度問題奠定基礎.這類問題我們一般使用推理代換法和方程法.

例2(1)已知∠BOC=120°，∠AOB=70°,求∠AOC的大小.

解析：(1)由題意繪制的大致圖像如下：

如圖8所示：∠AOC=∠BOC-∠AOB=50°.

圖8

如圖9所示：∠AOC=360°-∠BOC-∠AOB=170°.所以∠AOC=50°或170°.

圖9

(2)由題作圖如下：

圖10

圖11

例3已知∠AOB=80°，另作射線OC，且0°<∠AOC<180°，OD,OE分別平分∠AOC,∠BOC.

(1)如圖12所示，若OC在∠AOB內部，求∠DOE的度數.

圖12

(2)如圖13所示，若OC在∠AOB外部，(1)中結論還成立嗎？請說明理由.

圖13

解析：由題可知

(1)由圖12知：∠DOE=∠EOC+∠COD，∠AOB=∠AOC+∠BOC，所以，∠DOE=40°.

(2)結論成立.由圖13知：

小結：在分析相應數學問題時，若題中沒有繪出圖像，就需要教師引導學生根據題意作出圖像，將可能存在的每一種情況都表示出來，并對不同情況進行分析，找到角度之間的相互關系，進而解決問題.在解題過程中，要注意題中已知的條件，如例2中強調了題中所說的角都是小于平角的角，因此在解決例2時要注意計算出的角度是否滿足此要求.利用方程法解決問題時還要注意所設的角度與要求的角度之間的關系，以及計算的正確率.有時候，一道題的解題方法有很多種，在教學過程中，教師要通過課堂中的一題多解和一題多變培養學生的思維能力，讓學生從不同的方向思考問題，用不同的方法解決問題.傳授知識的目的是讓學生利用舊知接收新知，開闊知識面，所以教師應在已經講解了特殊角度問題的前提下，讓學生自主探究，通過類比學習來解決問題.

三、結 語

總之，求角度問題是初一年級教學中的重點，也是難點，同時為以后學習幾何知識打下基礎.

近幾年的中考題常常借助三角板來考查學生對幾何知識的掌握情況.將三角板作為一種操作性工具，與三角形、特殊四邊形、圓等內容按某種方式巧妙地融合到一起，再結合圖形的變換——旋轉、平移或軸對稱，讓其中的一個三角板的位置不斷變化引起圖形的變化的題目靈活多變，需要學生能夠靈活地將數和形互換，將代數知識與圖形的特點融合在一起進行分析，此類題目主要是為了培養學生的數形結合、邏輯推理、數據分析的能力，并能在掌握分析問題和解決問題的基礎上，學會運用類比轉化等方式將解題過程中使用的思想方法靈活運用于其他知識的學習中.

以學生最熟悉的三角板為道具，以學生常見、熟悉的幾何圖形為載體，并輔之以運動變換等手段對三角板的運用進行探究學習，能夠讓學生在觀察中發現解題規律，進一步提高學生對問題的分析能力、數形結合能力和邏輯推理能力，并在教學過程中體會數學學習的抽象美、簡潔美，最終將習得的思想方法運用于其他知識的學習中.