關(guān)于“幾何概型”教學(xué)的思考

◎張 銀(江蘇省華羅庚中學(xué)，江蘇 常州 213000)

“幾何概型”的知識(shí)點(diǎn)是新增的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，目前的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生能夠初步理解幾何概型的概念，并利用概念和公式進(jìn)行基礎(chǔ)的幾何概率計(jì)算，這一要求對(duì)學(xué)生來說相對(duì)不高，但是這并不代表教師的教學(xué)可以簡(jiǎn)化，不代表教師可以減少對(duì)它的重視程度.事實(shí)上，目前關(guān)于幾何概型的教學(xué)存在著一些問題，筆者將在下文中著重分析三個(gè)問題，并提出應(yīng)對(duì)策略.

一、情景引入，動(dòng)態(tài)生成，讓學(xué)生體會(huì)到公式的合理性與正確性

為了更方便地進(jìn)行計(jì)算等應(yīng)用，概率論在大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，得出了許多公式及推導(dǎo)公式的方法.概率模型中的古典概型處理的是離散的問題，其公式的推導(dǎo)與計(jì)算較易理解，而在幾何概型中，每個(gè)基本事件發(fā)生的概率雖然也是相等的，但是由于其基本事件的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的，我們無(wú)法像對(duì)古典概型那樣，利用簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)的手段得出對(duì)應(yīng)的概率，也因此難以推導(dǎo)出其公式.所以我們?cè)谟?jì)算幾何概率的時(shí)候引入了替代計(jì)算的思想方法.數(shù)學(xué)教材通過若干典型例題引入了常用的測(cè)度，并根據(jù)這些測(cè)度給出了計(jì)算幾何概率的公式，但沒有對(duì)這些測(cè)度替代計(jì)算的合理性給出清晰詳細(xì)的說明，這個(gè)時(shí)候如果教師沒有給予足夠的重視，對(duì)于這部分內(nèi)容只是一筆帶過的話，部分學(xué)生可能無(wú)法深入理解相關(guān)知識(shí)，進(jìn)而陷入一種懷疑迷惑和半知半解的狀態(tài)中，導(dǎo)致在遇到相關(guān)應(yīng)用題時(shí)往往不能靈活轉(zhuǎn)化計(jì)算，只會(huì)根據(jù)公式生搬硬套.因此，筆者認(rèn)為，教師應(yīng)幫助學(xué)生分析和梳理教材中的示例情境，并適當(dāng)?shù)匾胄碌慕?jīng)典情景，讓學(xué)生感受公式生成的過程，從而真正理解它的合理性，也能夠根據(jù)具體情境靈活選擇公式進(jìn)行計(jì)算或推導(dǎo).

教材中給出了如下兩個(gè)引入情境：

例1 現(xiàn)有一根3 m長(zhǎng)的繩子，如果我們?cè)诶K子上的任意一處切一刀，將繩子分成兩部分，試問兩部分繩子的長(zhǎng)度都不小于1 m的概率為多少？

例2 射箭是奧運(yùn)會(huì)中一個(gè)非常精彩的比賽項(xiàng)目，比賽用的箭靶一共有5個(gè)得分環(huán)，其中包含靶心，由于其顏色為金色，它又被人們稱為黃心.現(xiàn)已知箭靶的直徑為 122 cm，靶心為12.2 cm，若一個(gè)運(yùn)動(dòng)員在距離箭靶70 m的地方射出一支箭且一定會(huì)中靶，試問該運(yùn)動(dòng)員射中靶心的概率是多少？

在上述兩個(gè)例題的教學(xué)中，教師要注意幫助學(xué)生在空間幾何關(guān)系和數(shù)量關(guān)系之間建立思維聯(lián)系，幫助學(xué)生以“點(diǎn)”“面”甚至“體積”的形式理解基本事件，再歸納抽象回?cái)?shù)量的概念.比如對(duì)于第一個(gè)例題，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生把繩子想象成一個(gè)線段，剪刀在繩子上每剪一次就對(duì)應(yīng)了線段上的一個(gè)點(diǎn)，在學(xué)生接受了這一等效替換的方法之后，教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，線段就是點(diǎn)的集合，將線段上的所有點(diǎn)結(jié)合起來就可以構(gòu)成線段本身，從而將題設(shè)中的“無(wú)數(shù)次隨機(jī)裁剪”與“線段上所有的點(diǎn)”對(duì)應(yīng)起來，同時(shí)教師還應(yīng)該強(qiáng)調(diào)這些點(diǎn)在線段上是均勻連續(xù)分布的，最后綜合上述討論，幫助學(xué)生理解“剪的次數(shù)和線段長(zhǎng)度之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系”.對(duì)于第二道例題，教師需要一步步引導(dǎo)學(xué)生理解“射中次數(shù)”和“圓的面積”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這一過程實(shí)質(zhì)上可以概括為“由數(shù)到形再回歸數(shù)”.只有讓學(xué)生親身經(jīng)歷形象感知、概括歸納和抽象建模的思想過程，學(xué)生才能真正地理解書本上公式的正確性和合理性，真正理解公式和概念背后的原理，這樣他們才能在遇到具體問題時(shí)學(xué)會(huì)自己分析和轉(zhuǎn)化問題.學(xué)生在這一過程中不僅可以學(xué)習(xí)到幾何概型的有關(guān)知識(shí)，還能鍛煉抽象與轉(zhuǎn)化問題的思維能力，為將來的學(xué)習(xí)和研究打好基礎(chǔ).

二、橫向?qū)Ρ龋睋舯举|(zhì)

數(shù)學(xué)概念是開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)著力幫助學(xué)生理解概念.一般來說教師在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)是縱向展開的，即從概念的推導(dǎo)開始，到概念的實(shí)際應(yīng)用，這樣的方法要能幫助學(xué)生梳理某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)，但對(duì)其內(nèi)在的理解還不夠深刻，導(dǎo)致在某些情況下學(xué)生仍會(huì)將它和其他知識(shí)點(diǎn)的相關(guān)部分混淆，因此教師還應(yīng)該重視對(duì)概念本質(zhì)的講解，在必要的情況下還可以在關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)時(shí)做一個(gè)橫向?qū)Ρ?下面筆者從幾何概型的特征和概念理解兩個(gè)方面談一談如何在教學(xué)中突出重點(diǎn).

(1)橫向?qū)Ρ龋怀鰩缀胃判偷母咎卣?/p>

在教材中，有幾個(gè)概型的知識(shí)被安排在古典概型的后面，導(dǎo)致部分教師還沒有把握幾何概型的本質(zhì)特征，就將它與古典概型對(duì)立了起來，認(rèn)為二者的區(qū)別在于基本事件是有窮的還是無(wú)窮的，但其實(shí)這樣的想法是不正確的.舉例說明：若要在全體實(shí)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，求這個(gè)數(shù)字為有理數(shù)的概率.在這一例題中，基本事件是無(wú)窮的并且發(fā)生的概率也是彼此相等的，但是這道題并不適合用幾何概型來解決.

其實(shí)，幾何概型相較于古典概型來說最大的特征就是我們可以非常自然地在隨機(jī)試驗(yàn)與簡(jiǎn)單的可以度量的幾何圖形之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過空間幾何關(guān)系考查事件發(fā)生的概率.教師要注意把握好知識(shí)的特點(diǎn)，進(jìn)行正確適當(dāng)?shù)臋M向?qū)Ρ龋怀鲋R(shí)最本質(zhì)的特點(diǎn)，以點(diǎn)帶面地深化學(xué)生對(duì)整體概念的認(rèn)知.

(2)培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，幫助學(xué)生真正理解幾何概型

要真正理解幾何概型，學(xué)生必須要有建立數(shù)學(xué)模型的意識(shí)和能力.幾何概型中的建模主要分為三個(gè)方面：第一個(gè)方面是對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的對(duì)象進(jìn)行抽象建模.隨機(jī)試驗(yàn)的對(duì)象是我們研究概率問題的范圍所在，要利用幾何概型研究問題，首先就要將這個(gè)范圍也抽象成合適的幾何對(duì)象，比如上文中我們將繩子抽象成線段這一模型.第二個(gè)方面是對(duì)基本事件建模.基本事件是概率空間里的元單位，是構(gòu)建隨機(jī)事件的基礎(chǔ)，我們要研究某隨機(jī)事件發(fā)生的概率，就必須先研究其中包含的基本事件，一般來說基本事件的模型要與隨機(jī)試驗(yàn)的研究對(duì)象相關(guān)，如果把隨機(jī)試驗(yàn)的對(duì)象抽象為一個(gè)可度量的幾何區(qū)域D，那么我們就可以把基本事件抽象為區(qū)域D中的一個(gè)點(diǎn)，如果進(jìn)行隨機(jī)抽取，那么每一個(gè)這樣的點(diǎn)被抽中的概率都是相等的.第三個(gè)方面是對(duì)隨機(jī)事件抽象建模.實(shí)際上，隨機(jī)事件可以看作基本事件的集合，是區(qū)域D的一個(gè)子集.

三、引導(dǎo)學(xué)生從概念的角度深入思考問題

書本上關(guān)于幾何概型給出了豐富的公式，它們是數(shù)學(xué)家們寶貴的經(jīng)驗(yàn)結(jié)晶，能幫助我們迅速解決問題，但是這并不代表解題的過程等同于應(yīng)用公式的過程.有些學(xué)生為了省力簡(jiǎn)化了自己的思考過程，遇到問題的時(shí)候也沒有經(jīng)過深入分析，就草草地套用公式進(jìn)行計(jì)算，這樣做會(huì)在一定程度上限制思維的發(fā)展，如果問題并不常規(guī)，需要經(jīng)過轉(zhuǎn)化，那么這樣的方法還容易導(dǎo)致得出錯(cuò)誤的結(jié)果.實(shí)際上公式只是輔助，思考才是關(guān)鍵，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極從概念的角度深入分析問題，先根據(jù)題目特征判斷可能用到的知識(shí)概念，再根據(jù)概念的要素分析題目，最后整合要點(diǎn)回歸概念本身.筆者在教學(xué)中主要從以下三個(gè)層面引導(dǎo)學(xué)生分析問題：(1)題目中隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率是相等的嗎？(2)什么樣的幾何圖形適合該題中的隨機(jī)試驗(yàn)？(3)D和d應(yīng)該對(duì)應(yīng)什么測(cè)度？

四、利用變式引導(dǎo)學(xué)生把握問題本質(zhì)

對(duì)于大部分的學(xué)生來說，提高其做題的正確率在于能否完成轉(zhuǎn)化，能否將隨機(jī)事件當(dāng)中的幾何區(qū)域準(zhǔn)確地標(biāo)定出來，并且明確其中的幾何度量.但是這對(duì)于學(xué)生來說屬于學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，因此即便學(xué)生對(duì)于概率有了一定的認(rèn)知，但是在進(jìn)行幾何概型的解題過程中，仍然無(wú)法做到充分拿捏.究其原因在于，學(xué)生本身對(duì)于幾何概型的本質(zhì)并沒有正確的理解，因此為了更好地加深學(xué)生的理解，教師可以利用變式教學(xué)來加深學(xué)生的學(xué)習(xí)深度，雖然從題目本身來看只是個(gè)別文字上有區(qū)別，但是這其中的細(xì)節(jié)變化，導(dǎo)致其對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域發(fā)生變化，結(jié)合的度量也隨之變化，因此借由這一對(duì)照教學(xué)能夠加深學(xué)生對(duì)于幾何概念的理解，進(jìn)而提升其學(xué)習(xí)質(zhì)量.

例1：在區(qū)間[0，10]上任意取一個(gè)整數(shù)x，則x不大于3的概率為________.

變式：在區(qū)間[0，10]上任意取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則x不大于3的概率為________.

目的：區(qū)分古典概型與幾何概型.二者有聯(lián)系，均是等可能的，亦有區(qū)別，前者結(jié)果是有限個(gè)，后者是無(wú)限個(gè).教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生明確幾何概型是古典概型的擴(kuò)展與延續(xù).

例2：等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在直角邊BC上任取一點(diǎn)M，求∠CAM<30°的概率.

變式：等腰△ABC中，∠C=90°，在∠CAB內(nèi)作射線交線段BC于點(diǎn)M，求∠CAM<30°的概率.

這一系列的題目對(duì)于學(xué)生來說屬于學(xué)習(xí)難點(diǎn)，由于學(xué)生對(duì)于各信息之間的把握不夠準(zhǔn)確，因此在計(jì)算后容易出現(xiàn)兩個(gè)不同的結(jié)果，原因在于學(xué)生對(duì)于隨機(jī)事件發(fā)生的幾何區(qū)域的選擇并不準(zhǔn)確，因此為了讓學(xué)生找到自己的學(xué)習(xí)漏洞，明確錯(cuò)誤的原因，更好地理解問題的本質(zhì)，厘清其解題思路，教師應(yīng)在不公布正確答案的前提下，讓學(xué)生思考第2題.在這一過程中，教師還可以組織學(xué)生針對(duì)這兩題進(jìn)行討論，進(jìn)一步區(qū)分二者之間的差別，加深印象，讓學(xué)生在討論過程中感受到學(xué)習(xí)的樂趣，收獲成就感.教師此時(shí)還可以利用多媒體技術(shù)向?qū)W生直接展示問題的本質(zhì)，進(jìn)而加深學(xué)生的理解深度，讓學(xué)生能夠更加準(zhǔn)確地把握問題的本質(zhì)，深化其思想.

這三道題從原本的平面問題拓展到了空間問題，因此其幾何度量從長(zhǎng)度變?yōu)槊娣e，從面積變到體積，這也是幾何概型中比較常見的題型，其本質(zhì)是隨機(jī)事件發(fā)生時(shí)，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)所構(gòu)成的區(qū)域分別為線段、梯形、棱錐，只要找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，就能夠準(zhǔn)確地確定集合度量.

變式1：在半徑為1的圓的一條直徑上任取一點(diǎn)，過該點(diǎn)作垂直于直徑的弦，則其長(zhǎng)度超過該圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率是多少？

變式2：在半徑為1的圓內(nèi)任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為中點(diǎn)作弦，則其長(zhǎng)度超過該圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率是多少？

借由這三題能夠更好地加深學(xué)生對(duì)于幾何概型的認(rèn)知和理解，其中變式2這一道題作為學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，能夠幫助學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)和鞏固，借由上面幾道例題和變式題的練習(xí)，學(xué)生有了一定的知識(shí)基礎(chǔ)，并且在思考的前提下進(jìn)行計(jì)算，增加了得出正確答案的概率.

解決幾何概型問題的關(guān)鍵之處在于幾何度量的確定，而幾何度量的本質(zhì)是隨機(jī)事件發(fā)生時(shí)，確定其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的幾何區(qū)域.從整體看待幾何概型問題，能夠發(fā)現(xiàn)引起隨機(jī)事件發(fā)生的幾何圖形分別為點(diǎn)、線、面、射線、扇形區(qū)域等，這些線段的源頭分別為點(diǎn)和角，連點(diǎn)成線，連線成面，連面成體，因此所有的幾何概型問題都能夠歸結(jié)于點(diǎn)和角上，只要抓住了這一主線，在任何問題中都能夠?qū)ふ业诫S機(jī)事件所發(fā)生的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，借由點(diǎn)來確定區(qū)域，從而解決概率問題.教師要加強(qiáng)對(duì)教材的研讀，站在整體的角度，對(duì)知識(shí)的形成進(jìn)行整體把握，積累一定的知識(shí)基礎(chǔ)，并加強(qiáng)理解，從而更好地去認(rèn)知知識(shí)之間的關(guān)系，總結(jié)其規(guī)律，周而復(fù)始，繼而完成思想上的升華.教師還應(yīng)從思想的角度去完成教學(xué)設(shè)計(jì)，進(jìn)行課堂指導(dǎo)，以提高教學(xué)的精準(zhǔn)性，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能夠更加深入，從而避免學(xué)生的生搬硬套.

學(xué)生只要掌握了問題的本質(zhì)，無(wú)論題目如何變化，都能夠舉一反三準(zhǔn)確地找到其要點(diǎn)和規(guī)律，進(jìn)而順利解題.這樣學(xué)生學(xué)得輕松，教師教的也輕松，學(xué)生能夠在輕松愉悅的氛圍中體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，進(jìn)而提高其學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)良好的探究能力.

在教學(xué)中，教師要重視對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，在其能力的提升下提高解題水平，使學(xué)生能夠精準(zhǔn)地提煉出問題的本質(zhì)，往更高層次的學(xué)習(xí)進(jìn)階.教師要根據(jù)學(xué)生的能力將知識(shí)練習(xí)進(jìn)行合理的分類，利用少而精的題目來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思想和能力.為此，教師自身要具備良好的教學(xué)水平和教學(xué)素養(yǎng)，不僅要有扎實(shí)的教學(xué)基礎(chǔ)，還要有良好的思維整合能力.教師要做好平時(shí)的教學(xué)工作，在工作中逐漸積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，逐漸沉淀進(jìn)而形成深厚的教學(xué)水平.

綜上所述，幾何概型本身比較抽象，對(duì)于學(xué)生來說有著諸多的理解難度，因此在課堂中教師可以利用多媒體技術(shù)來輔助教學(xué)，進(jìn)而發(fā)揮出其直觀的優(yōu)勢(shì)，給予學(xué)生簡(jiǎn)單明了的展示，降低學(xué)習(xí)難度，以提高學(xué)生的理解能力，達(dá)到更好地提升教學(xué)效果的目的.