提高解題能力 落實核心素養
——淺談一節高三復習課的教學感悟

◎李成坤(嘉興市第三中學，浙江 嘉興 314051)

一、課堂呈現

筆者在一節高三數學復習“絕對值不等式的解法”教學過程中，引導學生對下列例題進行了解法探究：

2020年高考全國2卷(理科數學)第23題第(1)問：

已知函數f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.當a=2時，求不等式f(x)≥4的解集.

筆者先讓學生獨立思考這個問題，很快就有一名同學給出一種解答方法.

二、解法探究

當a=2時，f(x)=|x-4|+|x-3|，即求不等式|x-4|+|x-3|≥4的解集.

生1：(方法一)利用函數y=|x-4|+|x-3|的零點3和4，分段討論去絕對值.

(1)當x≤3時，

(2)當3

(3)當x≥4時，

教師點評：方法一利用函數y=|x-4|+|x-3|的零點3和4，將數軸分為三個區間，進行分段討論去絕對值，體現了分類討論的思想.

生2：(方法二)不等式f(x)≥4的解集等價于求解不等式f(x)-4≥0.

設函數

教師點評：方法二是通過構造函數，利用函數的圖像直觀求解，體現了函數與方程的思想.

生3：前兩種解法都需要先分類去絕對值再進行求解，其實第一問可以不用分類討論進行求解，解法如下：

方法三：如圖所示

此時，教室響起了掌聲！

教師點評：方法三利用絕對值的幾何意義進行求解，體現了數形結合的思想，方法巧妙，思維深刻.

這時，筆者問學生：“同學們，此題還有其他的解法嗎？”等了片刻，班級還是沒有學生舉手回答，筆者開始講解另外兩種解法.

教師：由絕對值不等式|a±b|≤|a|+|b|(a,b∈R)可知，

|x-4|+|x-3|≥4?|(x-4)+(x-3)|≥4或|(x-4)-(x-3)|≥4.

方法四：由|x-4|+|x-3|≥4可得，

|(x-4)+(x-3)|≥4或|(x-4)-(x-3)|≥4.

解得，|2x-7|≥4或|-1|≥4，

教師點評：方法四利用絕對值不等式|a±b|≤|a|+|b|(a,b∈R)對所求問題進行等價轉化，很巧妙地把兩個絕對值問題轉化成一個絕對值問題進行求解，極大地簡化了運算，避免了煩瑣的分類討論，此方法體現了等價轉化思想的重要性.

接著教師再次引導學生對方法四進行歸納總結，得到一般性結論：

|f(x)|+|g(x)|≥h(x)?|f(x)+g(x)|≥h(x)或|f(x)-g(x)|≥h(x).

教師：根據絕對值的定義可知，該不等式的含義是數軸上的點x到兩定點(3,0)和(4,0)的距離之和大于等于4.這也恰好符合橢圓的定義，故可用橢圓的知識來解釋該不等式.

方法五：設橢圓的長軸在x軸上，兩個焦點分別為(3,0)和(4,0)，定長為4，橢圓與長軸的交點的橫坐標為x1與x2.由橢圓的定義可知，x1,x2恰好是x軸上分別到3和4的距離等于定長4的點(如圖所示)，

因此，x軸上到(3,0)和(4,0)的距離大于定長4的點必定落在這兩根之外，

教師點評：方法五是構造橢圓模型，利用橢圓的概念進行求解，避免了分類討論的煩瑣.

三、解法運用

為鞏固上述解絕對值不等式的方法，課堂上筆者讓學生做了以下練習題目：

練習1：求解不等式|x-1|+|x-2|≥3.

練習3：求解不等式|x+1|-|2x-3|>1.

筆者讓三名學生到黑板上完成這三道練習題，并讓他們講述解法……

教師點評：這三道題，大多數學生用到了方法一、二或者三中的某一種，并且答案正確，大多數學生做得很好.全班只有三名學生選用了方法四進行求解，沒有一名學生用方法五求解，還有兩名學生沒有做出此題，個別學生有答案計算錯的.

接著，筆者針對這三道題又給學生做了解法上的引導和講解……

四、課堂總結

教師：請同學們自我總結一下，這節課你都有哪些收獲？

學生1：學會了求解含兩個絕對值不等式的前三種解法，后面兩種解法還不是很清楚，不太會用.

學生2：學會了求解含兩個絕對值不等式的前四種解法，后面一種解法聽懂了，但是還不太熟悉，不會用來求解.同時體會了函數與方程、數形結合、分類討論、等價轉化等重要的數學思想方法，收獲頗豐.

學生3：學會了多種求解絕對值不等式的方法，方法五令我很驚奇，沒想到絕對值不等式還能和解析幾何中的橢圓建立聯系，讓我深深地感受到代數和幾何是緊密聯系在一起的，以后思考問題時要學會從多角度進行思考.

教師：同學們回答得很好.我們一起再總結一下：這節課我們復習了“絕對值不等式的解法”，教學過程主要是圍繞|x-4|+|x-3|≥4解法的探究展開的，其中方法一利用函數“零點分段法”求解，體現了分類討論的思想；方法二是通過構造函數，利用函數圖像直觀求解，體現了函數與方程的思想；方法三利用絕對值的幾何意義進行求解，體現了數形結合的思想.這三種方法都是求解形如|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c(a,b,c∈R)類型不等式的通用方法.方法四利用絕對值不等式|a±b|≤|a|+|b|(a,b∈R)進行等價轉化，體現了等價轉化的思想，同時得到一般性的結論：|f(x)|+|g(x)|≥h(x)?|f(x)+g(x)|≥h(x)或|f(x)-g(x)|≥h(x)；方法五是構造橢圓模型，利用橢圓的概念進行求解，屬于巧解，拓寬了大家的解題思路和思考問題的視角.希望同學們仔細體會這些解題方法，更重要的是細細品味蘊含其中的數學思想，并學以致用.

五、教學啟示

(一)一題多解，滿足不同學生的需求

俗話說：“一只手五個手指各有長短.”一個班級的學生，由于知識基礎、學習能力及學生自身的智力因素等不盡相同，學生的學習客觀上存在著個體差異，導致班級學生學習水平不等、成績有差異.因此，教師在教學過程中要關注學生的個體差異，滿足不同學生的學習需求，盡量使每一名學生都能獲得成功的喜悅，促進每一名學生全面而富有個性的發展.充分發揮一題多解在建立知識聯系、靈活應用知識、實現不同表現形式的相互轉化等方面的作用，通過多角度、全方位解題，開闊學生的視野，拓展學生的思維，幫助不同程度的學生運用適合自己的解題方法去解題，能很好的滿足不同層次學生的需求.

(二)提煉總結，提升學生的解題能力

新課程理念強調學生是學習和發展的主體，要重視培養學生主動探究、團結合作、勇于創新的精神.高三數學復習課堂教學中，教師既要傳授學生獲取知識的方法，又要給學生提供自主探究的時間和空間，鼓勵學生積極自主地探究數學問題.這也就要求教師在教學中要精選題目，使得每一道題目都要有它的訓練目標，并使這些題目能夠組合成一個有機體，從而實現這節課的總的教學目標.教師還要引導學生對一題多解的題目進行解法的提煉和對比，“授人以魚，不如授人以漁”.一題多解的引用主要是要讓學生細細體會每一種解題方法、技巧及蘊含其中的數學思想，對比各種解法的優劣，根據自身的基礎和理解能力，選擇適合自己的解法，從而達到提升學生解題能力的最終目的.

(三)滲透思想，落實學生的核心素養

“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是靈魂.教師要對學生的解題過程進行引導與指導，在探究解決問題的方法過程中要進一步滲透數學思想，使學生體會到解題方法中所蘊含的重要數學思想方法(如函數與方程、數形結合、分類討論、等價轉化等)，真正感受數學思想貫穿整個解題過程，是解題的靈魂.在教學過程中，教師要只有提高學生對數學思想方法的認識和運用，才能真正有效地落實學生的核心素養.