基于交互式多模型濾波算法機(jī)車車速估計(jì)

鄧雯琪， 黃景春， 康 燦, 李 強(qiáng)

(西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 611756)

0 引 言

在機(jī)車粘著控制系統(tǒng)中，精確的車速是關(guān)鍵的狀態(tài)參數(shù)，該值很大程度會影響控制效果，所以精確的機(jī)車速度估計(jì)尤為重要。一般情況下，在重載機(jī)車平穩(wěn)運(yùn)行過程中，一般取最小輪速作為機(jī)車的車速。但是車輪在機(jī)車運(yùn)行中會受到外界因素的影響，例如軌面狀況會直接影響車輪的運(yùn)行情況，嚴(yán)重時可能引起車輪急劇空轉(zhuǎn)，這時，輪速和車速呈現(xiàn)出嚴(yán)重的非線性關(guān)系，此時不能用輪速作為車速。因此，很多研究者對于機(jī)車車速提出了很多間接估計(jì)車速的方法，其中對于狀態(tài)估計(jì)來說，以卡爾曼濾波為基礎(chǔ)進(jìn)行的車速估計(jì)很多。文獻(xiàn)[1]提出了擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filtering,EKF)對車速進(jìn)行了估計(jì)，減少了加速度誤差和部分參數(shù)擬合誤差對估計(jì)結(jié)果的影響。文獻(xiàn)[2]利用自適應(yīng)卡爾曼濾波器對車輛橫向和縱向車速進(jìn)行了估計(jì)，文獻(xiàn)[3]用未知輸入的卡爾曼濾波估計(jì)剎車時的車速，該方法不需要加速度測量器估計(jì)瞬間的車輪加速度及剎車轉(zhuǎn)矩。文獻(xiàn)[4]利用非線性自適應(yīng)濾波器對車速進(jìn)行了估計(jì)，通過擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)維數(shù)，考慮路面附著情況和車輛響應(yīng)之間的關(guān)系。上述提到的文獻(xiàn)都能對車速進(jìn)行良好的估計(jì)，但是考慮的都是單一運(yùn)行軌面，沒有考慮機(jī)車進(jìn)行軌面變化時，粘著系數(shù)突變，車輪會產(chǎn)生不同程度空轉(zhuǎn)。實(shí)際機(jī)車運(yùn)行過程中，運(yùn)行軌面是未知的，不同軌面下的粘著系數(shù)不同，機(jī)車獲得的粘著力不同，所對應(yīng)機(jī)車運(yùn)行狀態(tài)不同。基于此，有學(xué)者提出了交互式多模型(interactive multi-model,IMM)算法，適應(yīng)運(yùn)行狀態(tài)的變化，提高系統(tǒng)對外部環(huán)境變化的適應(yīng)性，進(jìn)而提高估計(jì)精度。文獻(xiàn)[5]提出了基于IMM的不敏卡爾曼概率假設(shè)密度濾波算法，引入了狀態(tài)模型軟判決機(jī)制，實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)機(jī)動過程模式不確定處理。文獻(xiàn)[6]提出了兩階段卡爾曼濾波自適應(yīng)IMM算法，通過減少濾波器的數(shù)量，避免模型過多產(chǎn)生的計(jì)算復(fù)雜度且保持精度不變。交互式濾波器里面的馬爾可夫矩陣保證了模型最佳匹配，文獻(xiàn)[7]提出了馬爾可夫參數(shù)自適應(yīng)IMM算法，通過誤差壓縮比自適應(yīng)調(diào)整馬爾可夫概率轉(zhuǎn)移矩陣，降低因?yàn)楣潭R爾可夫概率產(chǎn)生的誤差。

本文提出了改進(jìn)IMM濾波方法，當(dāng)機(jī)車運(yùn)行軌面變化時，不需要對軌面進(jìn)行判斷就能快速精確地實(shí)現(xiàn)車速的估計(jì)。

1 機(jī)車牽引動力學(xué)模型

輪軌間的粘著力是機(jī)車運(yùn)行的關(guān)鍵，也決定了機(jī)車運(yùn)行速度及牽引效率。如圖1所示，與粘著力直接相關(guān)的是粘著系數(shù)，而粘著系數(shù)與蠕滑速度相關(guān)，蠕滑速度取決于輪速與車速。在輪軸上一般有輪速傳感器，通過輪對轉(zhuǎn)速與車速的狀態(tài)方程，以及輪對轉(zhuǎn)速的量測方程能夠?qū)C(jī)車運(yùn)行速度進(jìn)行估計(jì)。

圖1 粘著特性曲線

機(jī)車牽引及輪軌系統(tǒng)非線性程度很高，所以對實(shí)際系統(tǒng)需要進(jìn)行簡化分析。如圖2所示。

圖2 機(jī)車牽引力傳遞模型

(1)

vs=ωd×r-vt

(2)

Fa=μ(vs)×W×g

(3)

式中μ(vs)為輪軌間的粘著系數(shù)，F(xiàn)a為粘著力，W為等效軸重，g為重力加速度。vs為蠕滑速度，ωd為輪角速度，r為輪徑。

根據(jù)牽引動力學(xué)可以得到以下離散機(jī)車狀態(tài)方程及量測方程

(4)

(5)

z(k+1)=ωd(k+1)

(6)

式中B為轉(zhuǎn)動摩擦力矩系數(shù)，Rg為齒輪箱傳動，a,b,c為空氣阻力系數(shù)。Tm和Jm為電機(jī)輸出軸間力矩與轉(zhuǎn)動慣量，dTime和J為采樣間隔及其轉(zhuǎn)動慣量，M為機(jī)車質(zhì)量。

式(4)～式(6)可以簡化寫成下式

(7)

式中wk與vk為互不相關(guān)的白噪聲。

2 基于IMM濾波算法

IMM算法根據(jù)馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣，融合所有子模型濾波輸出值，最終使得輸出結(jié)果跟蹤誤差最小。IMM算法包括4個步驟：輸入交互，預(yù)測濾波，概率更新，數(shù)據(jù)融合[8]。考慮機(jī)車運(yùn)行過程中軌面情況未知，本文考慮三種機(jī)車運(yùn)行軌面設(shè)計(jì)三個子模型，分別是干燥軌面、潮濕軌面以及有雪軌面。根據(jù)如下經(jīng)驗(yàn)公式

μ(vs)=c×e-a×vs-d×e-b×vs

(8)

其中，參數(shù)a,b,c,d的大小根據(jù)機(jī)車運(yùn)行軌面選取，若軌面為干燥情況下,a=0.54,b=1.2,c=1.0,d=1.0;若軌面為潮濕情況下，a=0.54,b=2.4,c=1.6,d=1.6;若軌面為有雪情況下,a=0.54,b=1.2,c=0.1,d=0.1。如圖3所示模型一、模型二、模型三。定義M={m1,m2,m3}，其中，M為子模型集合，k時刻模型出現(xiàn)的條件概率為μi,k，k時刻過渡到k+1時刻，模型mi轉(zhuǎn)移到mj的轉(zhuǎn)移概率為pij。

圖3 IMM濾波模型

IMM濾波算法：

1)輸入交互

(9)

(10)

(11)

式中ui/j,k為模型mi與mj的混合概率，uj,k+1|k為模型mj的預(yù)測概率,oj,k|k為第j個子模型k時刻的輸入值，Poj,k|k為第j個子模型k時刻協(xié)方差,i,k-1|k-1為第i個子模型k-1時刻的估計(jì)值。

2)濾波預(yù)測

粘著系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)，尤其在機(jī)車車輪發(fā)生空轉(zhuǎn)時，輪速與車速呈現(xiàn)高度非線性關(guān)系。本文采用4種常見的非線性濾波器進(jìn)行濾波預(yù)測，分別是EKF、二階EKF、容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filtering,CKF)、無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filtering,UKF)。

3)模型概率更新

模型似然

[Zj,k+1-h(j,k+1|k)]×(-12)}/2π|Sj,k|

(12)

模型更新概率

(13)

4)輸出融合

(14)

3 改進(jìn)馬爾可夫矩陣

IMM濾波算法中，馬爾可夫矩陣代表各子模型之間的轉(zhuǎn)移概率，也決定各個子模型的輸出結(jié)果所占比例，同時也作用于下一次的濾波輸入環(huán)節(jié)中。傳統(tǒng)IMM算法根據(jù)先驗(yàn)信息設(shè)定的馬爾可夫矩陣是固定不變的，但在運(yùn)行軌面未知情況下機(jī)車運(yùn)行狀況也未知，因此,修正馬爾可夫矩陣使其自適應(yīng)機(jī)車機(jī)動狀況很有必要。本文采用文獻(xiàn)[9]提出的馬爾可夫矩陣修正方法。該方法通過各子模型相鄰時刻概率變化表示該模型與真實(shí)模型之間的差別。因?yàn)槟Ｐ娃D(zhuǎn)移概率不能為負(fù)數(shù)，因此可以用以下式表示

ai,k=exp(ui,k-ui,k-1),i=1,2,…,M

(15)

1)當(dāng)ui,k-ui,k-1>0,則有ai,k>1；

2)當(dāng)ui,k-ui,k-1<0,則有ai,k<1。

其中，ai,k代表前后兩時刻第i個子模型條件概率變化情況。若該子模型隨著時間逐漸增大，則說明應(yīng)該增大其他模型對其轉(zhuǎn)移概率，使得增大該子模型與真實(shí)模型匹配度。若該子模型隨著時間逐漸減小，說明應(yīng)該減少其他模型對其轉(zhuǎn)移概率，使得降低該子模型與真實(shí)模型匹配度，以此實(shí)現(xiàn)最佳模型匹配。將ai,k作為修正系數(shù)代入轉(zhuǎn)移概率，對馬爾可夫矩陣?yán)锏拿總€轉(zhuǎn)移率進(jìn)行修正，如下

p′j,i=ai,kpj,i

(16)

因?yàn)轳R爾可夫矩陣每行概率之和為1，故需要對上式進(jìn)行歸一化

(17)

其中，i=1,2,…,M,j=1,2,…,M。從修正后的馬爾可夫矩陣可以看出，該算法根據(jù)后驗(yàn)信息，即每個子模型的條件概率變化情況，自適應(yīng)地修正了馬爾可夫矩陣，使匹配概率大的子模型輸出結(jié)果占比大。

4 試驗(yàn)與分析

機(jī)車牽引參數(shù)設(shè)置,如表1。

表1 機(jī)車參數(shù)設(shè)置

在仿真實(shí)驗(yàn)中，采樣周期T=0.01 s，設(shè)置運(yùn)行時間為60 s。為了驗(yàn)證對軌面的自適應(yīng)性，假設(shè)機(jī)車從20 s干燥軌面過渡到潮濕40 s再過渡到冰雪軌面。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果通過EKF、二階EKF、UKF及CKF這四種常見的濾波器做對比。為了避免數(shù)據(jù)偶然性，并且加強(qiáng)其可靠性，蒙特卡洛仿真了150次。

不同軌面下粘著系數(shù)大小不同，若此時施加給車輪轉(zhuǎn)矩過大，很可能發(fā)生空轉(zhuǎn)。如圖4所示，機(jī)車在20 s左右從干燥軌面過渡到潮濕軌面，以及機(jī)車在40 s左右從潮濕軌面過渡到冰雪軌面時，輪速突然增加又下降，說明此時粘著系數(shù)較前一時刻猛然下降，輪子發(fā)生了一定程度空轉(zhuǎn)。

圖4 不同軌面下輪速估計(jì)

如圖4所示，IMM濾波算法因?yàn)槠淇紤]多種軌面情況，在車輪處于空轉(zhuǎn)與非空轉(zhuǎn)情況下，都能夠精確快速地跟蹤運(yùn)行在不同軌面下的輪速。四種不同濾波器車速估計(jì)情況如圖5所示。

從圖5(a)中可以看出，當(dāng)機(jī)車輪子處于非空轉(zhuǎn)時，機(jī)車運(yùn)行前40 s時，濾波誤差均在0.01 m/s左右。當(dāng)機(jī)車從潮濕軌面過渡到冰雪軌面時，因?yàn)榇藭r冰雪軌面粘著系數(shù)過低，跟蹤誤差增加至0.03 m/s左右。基于單個濾波器以及改進(jìn)IMM濾波器的估計(jì)誤差接近，跟蹤精度很高。但是當(dāng)機(jī)車處于空轉(zhuǎn)的情況下，即機(jī)車軌面發(fā)生變化導(dǎo)致粘著系數(shù)驟降時，基于單個濾波器的濾波算法出現(xiàn)了很大的誤差，而改進(jìn)式IMM濾波算法能夠很好適應(yīng)軌面的變化且估計(jì)精度很高。

圖5 四種不同濾波器下的車速估計(jì)誤差

為了驗(yàn)證馬爾可夫修正前后的效果，如表2所示，基于馬爾可夫矩陣改進(jìn)前后四種濾波器跟蹤誤差對比結(jié)果。

從表2中可以看出，IMM-EKF 跟蹤效果最差，交互式多模型二階EKF(IMM-EKFII)、IMM-UKF、IMM-CKF跟蹤效果明顯好于IMM-EKF。從比較結(jié)果中可以看出，IMM-EKF及改進(jìn)IMM-EKF算法跟蹤效果最差。二階EKF對非線性方程展開到了泰勒展開式的第二項(xiàng)，更加接近非線性系統(tǒng)，精確性高于一階EKF。UKF與CKF均是通過sigma采樣點(diǎn)對非線性系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行近似，針對粘著系統(tǒng)這種高度非線性系統(tǒng)來說，估計(jì)效果會比近似非線性方程更好。算法的改進(jìn)提高了10 %～30 %估計(jì)精度，不論馬爾科夫矩陣改進(jìn)前還是改進(jìn)后，IMM-EKF估計(jì)誤差最大，而容積卡爾曼IMM-CKF的估計(jì)效果最好。

表2 均方根誤差對比

5 結(jié) 論

本文通過應(yīng)用改進(jìn)IMM濾波算法對機(jī)車運(yùn)行車速進(jìn)行了估計(jì)。通過仿真可以得出以下結(jié)論：

1)IMM濾波算法能實(shí)現(xiàn)在無需軌面判斷情況下實(shí)現(xiàn)不同軌面狀態(tài)下機(jī)車車速的準(zhǔn)確估計(jì)。在車輪處于非空轉(zhuǎn)與一定程度空轉(zhuǎn)時也能很好跟蹤機(jī)車車速。

2)改進(jìn)交互式濾波算法一定程度上比傳統(tǒng)交互式濾波算法提高一定估計(jì)精度。通過比較幾種常見的IMM濾波器算法，因?yàn)闄C(jī)車粘著系統(tǒng)非線性程度高，基于Sigma采樣的CKF估計(jì)效果更佳。

3)當(dāng)車輪發(fā)生嚴(yán)重空轉(zhuǎn)時，此時粘著系數(shù)降為0左右，基于單軸的濾波器估計(jì)方法已失去跟蹤精度，因此,下一步打算針對嚴(yán)重空轉(zhuǎn)單軸估計(jì)精度下降的問題，提出多軸機(jī)車車速估計(jì)方法