基于加窗的相位相關的多譜段圖像匹配

張文琪，劉本永

（貴州大學 大數據與信息工程學院，貴陽 550025）

0 引 言

圖像匹配是對表示同一個場景的兩幅圖像在空間上進行對準確定映射關系的過程。圖像匹配技術是計算視覺領域的基本問題，是圖像分析和處理的基礎。多譜段圖像匹配是指在不同類型傳感器獲取的圖像之間進行的匹配，如可見光與紅外圖像匹配、可見光與合成孔徑雷達（Synthetic Aperture Radar，SAR）圖像匹配等。

隨著遙感技術的發展，獲取SAR圖像方式越來越多，SAR圖像具有全天候、全天時的探測能力，且其穿透力強不受天氣、云層等因素的影響。可見光圖像具有分辨率高、形狀紋理信息清晰且色彩豐富的特點、但是其成像質量很容易受光照變化和天氣等因素的影響，抗干擾能力較弱。不同的傳感器形成的圖像可以表示同一場景下不同特征和屬性信息，SAR圖像和可見光圖像可以互補信息。因此，SAR圖像與可見光圖像的結合對于提供高度互補的觀測場景信息具有重要意義，可以有效地彌補單一模型的不足。多譜段圖像匹配一直是圖像匹配中的一個難點，其被廣泛應用于變化檢測、圖像融合、導航導制等多個方面。

圖像匹配主要分為基于像素灰度的匹配方法和基于特征的匹配方法。基于特征的匹配方法主要是提取圖像中點、線、面等特征并生成特征描述子，通過相應的距離度量方法尋找特征間的對應關系，該方法具有匹配速度快，抗干擾能力較強，靈活性較強等特點。這一類方法主要有SIFT特征匹配算法、Harris特征匹配算法、SURF等。基于灰度像素灰度的匹配方法主要是利用圖像的灰度信息進行匹配，該方法計算過程相對簡單，但是計算量較大，對噪聲、光照和遮擋較為敏感。這一類方法主要有基于互相關的方法、傅里葉方法和互信息方法。傅里葉方法利用圖像頻域傅里葉變換表示。其中一個代表是基于傅里葉移位定理的相位相關方法，該方法最初是由Kuglin等人在1975年提出應用于圖像匹配，這種方法首先分別對兩張圖像進行傅里葉變換，由時域將其變換到頻域，在頻域中計算互功率譜的相位差峰值來確定圖像間的平移關系。該方法僅利用了兩圖像互功率譜的相位信息，能夠很好地克服光照變化和噪聲的影響，具有較強的魯棒性和抗干擾能力，且計算速度較快，因此在圖像匹配、圖像拼接等多個方面應用廣泛。但是該算法在實際的實現中需要對圖像進行離散傅里葉變換，從而產生頻譜泄露，其次圖像的上下、左右存在差異，是不連續的，在進行傅里葉變換時會產生額外的高頻干擾，產生邊緣效應。受頻譜泄露和邊緣效應的影響，會導致相位相關函數的惡化，產生虛假平移峰值，從而導致多譜段圖像匹配效果不佳。

本文針對多譜段圖像匹配問題，探討一種基于加窗預處理的相位相關算法，首先使用核回歸方法構造二維圓對稱窗函數；通過構造的二維窗函數對多譜段圖像進行加窗預處理，以降低頻譜泄露和邊緣效應對多譜段圖像匹配的影響，并將相位相關應用于圖像匹配以計算圖像間的相對平移；針對互功率譜逆變換后仍然存在多個虛假譜峰的現象，考慮到高頻干擾和頻譜混疊的影響，在進行相位相關后對互功率譜進行頻域低通濾波處理以抑制虛假峰值。實驗結果表明，本文所探討的方法可以有效地提高多譜段圖像匹配的準確性。

1 相位相關法

基于頻域傅里葉變換相位相關原理是根據傅里葉變換平移理論。設同一場景的兩幅圖像和分別為參考圖像和模板圖像，兩者之間有平移關系如式（1）：

其中，(，)表示平移量。對兩邊同時進行傅里葉變換可得式（2）：

其中，和分別表示圖像、的傅里葉變換。

由式（2）可知，僅存在平移關系的兩圖像的傅里葉變換具有相同的幅值，僅相位不同，而圖像和的歸一化互功率譜定義如式（3）：

將式（2）代入式（3），可得歸一化互功率譜的表達式（4）：

對式（4）進行傅里葉逆變換可得式（5）：

綜上可知，歸一化互功率譜的相位等于兩圖像的相位差，通過求歸一化互功率譜的傅里葉逆變換得到的二維沖擊函數的峰值的偏移，可以確定兩幅圖像的相對平移（，）。

2 核回歸二維圓對稱窗函數

為了抑制頻譜泄露和邊緣效應，一般采取的方法就是加入緩慢變化的窗函數，如海明（Hamming）窗，高斯（Gaussian）窗等，使得時域信號邊緣突變平滑些。現有的大部分窗函數分成冪窗、三角函數窗、指數窗。其中矩形窗是以時間為變量的零次冪窗，離散時域表達式（6）如下：

其中，表示窗函數長度。

海明窗是一種三角函數窗，離散時域表達式（8）如下：

其中，0≤≤1。

高斯窗是一種指數窗，離散時域表達式（9）如下：

與矩形窗相比，海明窗、Bartlett窗、高斯窗在時域上由中心向邊緣緩慢衰減，而在頻域上旁瓣衰減較大，可以有效減小頻譜泄露和邊緣效應的影響，如圖1所示。

圖1 時域頻域窗函數對比Fig.1 Comparison of window functions in time domain and frequency domain

對圖像加入二維hamming窗處理，使得邊緣處突變較少、更加連續，從而削弱了邊界效應的影響，如圖2所示。

圖2 圖像加窗效果Fig.2 Image windowing effect

如果一維窗函數具有良好的性質，則可以通過一維窗函數來構造二維窗函數。一般構造方法有兩種：乘積法是通過將兩個一維窗函數直接相乘得到二維窗函數，稱為可分離型窗函數，設()和()是一維窗函數，則二維可分離窗函數，式（10）：

因該方法是直接將兩個一維窗函數直接相乘得到一個參數矩陣，根據二維窗的性質，該方法不具有最優效果。1972年T.S.Huang提出通過旋轉法得到二維窗函數，如果一維窗函數具有良好性質且對稱，則是通過將一維窗函數進行旋轉構造二維窗函數。對一維窗函數()進行旋轉得到二維窗函數(，)，式（11）：

其中，為再生核Hilbert空間的核函數；為權值在一維窗中對應的位置；而x表示第項權值在一維窗中對應的位置；a為未知系數。

由其構成的系數向量可使用最小二乘準則估計得到，式（13）：

其中，表示矩陣的Moore－Penrose廣義逆；K為行列的核矩陣；y為一維窗各權值構成的列向量。

3 互功率譜低通濾波

由于匹配圖像之間差異和SAR圖像的噪聲干擾，相位相關后的互功率譜進行傅里葉逆變換后仍然存在多個虛假峰值，而且在獲取數字圖像的過程需要對圖像進行采樣處理，根據奈奎斯特定理，當采樣頻率F小于圖像模擬信號最高頻率的2倍時，得到的頻譜會包含原信號中頻率大于F／2的頻譜疊加，從而導致頻譜混疊，如圖3所示。可以通過低通濾波器對相位相關得到的互功率譜進一步處理，從而降低高頻干擾對相位相關的影響。常用的頻域理想低通轉移函數如式（14）：

圖3 頻譜混疊示意圖Fig.3 Schematic diagram of spectral aliasing

其中，表示截止頻率，并設min(，)*2；用于調節截止頻率；和分別表示圖像的高和寬；(，)是頻域中點(，)到矩陣中心的歐式距離。

綜上所述，將光學圖像作為參考圖像，SAR圖像作為模板圖像。本文的算法流程如下：

（1）對SAR圖像進行濾波去噪，并對其進行邊緣補零；

（2）分別對SAR圖像和光學圖像進行加窗；

（3）計算參考圖像和模板圖像的互功率譜；

（4）對互功率譜進行頻域低通濾波；

（5）歸一化互功率譜；

（6）傅里葉逆變換計算相位相關平面的極值點，得到兩圖像的平移量，從而確定匹配關系。

4 實驗結果及分析

實驗通過200對大小均為512×512的SAR－光學（OPT）圖像，計算相位相關平面中的峰值位置得到兩圖像的相對平移，以預測匹配坐標。本文用正確匹配率（Correct Matching Rate，）評估匹配性能，式（15）：

其中，表示圖像匹配對數，N表示正確匹配個數。

通過兩圖像的匹配誤差值（）判定是否匹配，并設≤5時為正確匹配，計算如式（16）：

其中，P和P是預測的匹配點的像素坐標，R和R是標準的匹配點的像素坐標。

4.1 加窗對匹配的影響

由于SAR圖像存在斑點噪聲，本文采用中值濾波和雙邊濾波對SAR圖像去噪，并用不同的窗函數進行實驗。使用不同的濾波器和不同的窗函數進行實驗的匹配結果見表1，w／oWindow表示無窗，有Rot表示用增量型核回歸方式生成的窗函數，無Rot表示用乘積法生成的窗函數。結果表明，對SAR圖像進行簡單的中值濾波和雙邊濾波預處理也可以提高正確匹配率，加入窗函數后的相位相關算法的正確匹配率顯著提高，且較乘積法生成的二維窗函數，增量型核回歸方法生成的二維窗函數表現更好。

表1 原圖像匹配結果Tab.1 Original image matching results

此外，當兩圖像之間存在平移關系，圖像除了重疊區域外的信息都是冗余信息，而冗余的信息在計算相位相關時會產生額外的峰值。通過降采樣降低冗余信息，并提高計算效率，現將200對SAR－光學圖像進行降采樣為300×300，得到表2。結果表明，雖然降采樣使得圖像的分辨率降低但是其正確匹配率顯著提升。

表2 降采樣圖像匹配結果Tab.2 Down－sampled image matching results

4.2 低通濾波對互功率譜的影響

針對相位相關后的歸一化互功率譜的傅里葉逆變換存在多個峰值，考慮到高頻干擾和頻譜混疊的影響，本文對兩圖像的互功率譜進行頻域低通濾波，以抑制虛假峰值。分別采用不加窗的相位相關法、加入Rot hamming窗的相位相關法、加入Rot hamming窗并進行頻域理想低通濾波處理的相位相關法，對圖4的兩組多譜段示例圖像進行實驗，結果如圖5所示。兩組圖像正確的匹配坐標均為（30，30），圖中顏色越亮表示峰值越大，表明不加窗生成的相位相關平面較加入Rot hamming窗的、加入Rot hamming窗并進行頻域理想低通濾波處理生成的相位相關平面存在更多分布較為的均勻峰值干擾。而對加窗的相位相關進行頻域理想低通濾波（ILPF）后，虛假峰值有了進一步的減少。

圖4 示例圖片Fig.4 Sample image

圖5 相位相關平面Fig.5 Phase correlation plane

對加Rot hamming窗使用不同截止頻率的低通濾波器，結果如圖6所示，在等于1.4時可等同于沒有加入低通濾波器匹配率為63%；大概在0.7時取得極值點，此時具有最佳匹配率75%；隨著增大匹配率下降。綜上可知，對加窗后的相位相關進行頻域低通濾波可進一步提高圖像匹配率。

圖6 截止頻率對匹配率影響Fig.6 Effect of cutoff frequency on matching rate

5 結束語

本文在基本相位相關的基礎上，加入窗函數，通過增量型核回歸的方法構造二維圓對稱窗函數，并將其用于多譜段圖像匹配。實驗結果說明加窗的相位相關對多譜段圖像匹配的有效性，并證明增量型核回歸的方法構造二維圓對稱窗函數的有效值。在此基礎上再對加窗的相位相關進行理想低通濾波處理，進一步提高了匹配率。本文的方法能有效降低頻譜泄露和邊緣效應對相位相關算法的影響，從而提高多譜段圖像匹配的正確率。

由于SAR圖像和光學圖像存在較大的差異，所以匹配率并不高，針對通過以上方法不能匹配的多譜段圖像，基于特征的方法具有更魯棒、更靈活的特點，未來希望通過基于特征的算法進行匹配，以進一步提高匹配率。