連續雙切換線性正系統狀態反饋控制

冉曉宇，龍 飛

（1貴州大學 大數據與信息工程學院，貴陽 550025；2貴州理工學院 人工智能與電氣工程學院，貴陽 550003）

0 引 言

雙切換線性正系統是由一組線性子系統組成，在其子系統間切換，受控于一個有限狀態的馬爾可夫過程。此類系統被廣泛應用于結構或參數方面存在突然隨機變化的系統進行建模，模型可應用于網絡控制系統、HIV突變和治療。

在過去的幾十年里，切換系統的穩定性分析一直都是一個重要的研究課題。由于電子信息工程、通信、經濟學等領域中愈加復雜的控制對象，研究者越來越關注切換系統的穩定性和其控制器綜合問題，切換系統的應用引起了更為廣泛的關注。對于切換系統穩定性的分析，常用的分析方法有Lyapunov函數、Co－positive Lyapunov函數、駐留時間和平均駐留時間等。本研究中，選擇多Lyapunov函數方法，研究雙切換線性正系統，并對其有效性進行了驗證。

當前的許多穩定性研究中，均假設切換系統的每個子系統都是穩定的，但在任意切換規則下的切換系統卻都不能保持穩定，僅在有限的切換信號下可能是穩定的。盡管存在一些線性分析方法和工具，對于切換系統的穩定性和控制綜合問題仍是一個具有挑戰性的研究方向。平均駐留時間切換是一類有限的切換信號方式，切換的次數被限制在一個有限的間隔內，且平均時間不小于一個給定常數。

對于雙切換線性系統，文獻［3－4］基于持續駐留時間（Persistent dwell－time，PDT）的方法，研究了系統的魯棒指數幾乎處處穩定；又基于駐留時間（DT）的方法設計確定性切換，分析了系統幾乎處處穩定。文獻［5］用反饋切換律設計確定性切換律，分析了系統在均方穩定下的狀態反饋控制器問題。文獻［6］設計切換規則和使用輸出反饋控制器，保證閉環系統的魯棒漸近穩定，給出在魯棒性能要求下可行存在的充分性判據。文獻［7］針對具有平均駐留時間的切換線性控制系統，提出了一種降階輸出反饋控制方法。該方法將邊界條件加入到綜合控制問題中，利用多重二次Lyapunov函數，在統一的框架下，建立了具有保證穩定性的降階輸出反饋控制器，并將綜合條件表述為一組具有給定的駐留時間參數的LMIs，為具有ADT切換的離散時間線性控制系統的綜合提供了一種有效的、系統的方法。

本文將多Lyapunov函數、線性矩陣不等式方法與反饋控制器設計方法相結合，在平均駐留時間的方法下，得到控制器和子系統的切換規則，以保證切換系統在狀態反饋控制器下的指數幾乎處處穩定。

1 問題描述

考慮下面的連續雙切換線性正系統：

如果對于任意初始條件（）≥0，對于任意的0，都有（）≥0，（）≥0，則系統（1）是正系統。

如果對稱矩陣可以進行如下分塊：

其中，和為對稱矩陣，那么當且僅當下面條件之一成立時，為負定矩陣。條件表達式如下：

（1）0， X0

（2）0，X－S Z0

注意：以上結果完全適用于為正定矩陣的情形，只需把條件（1）、（2）中的“＜”用“＞”代替即可。在一些控制問題中，經常出現如下形式的不等式：

其中：，，0；0是已知相應維數的常數矩陣；為對稱矩陣。

應用引理2，可將矩陣不等式的可行性問題轉化為一個等價的矩陣不等式的可行性問題：

上式是一個關于矩陣變量的線性矩陣不等式。

如果所有∈R，滿足：

則切換系統的連續平衡點0，是指數幾乎處處穩定的。

2 主要結果

則連續雙切換線性正系統（1）的切換反饋控制問題是可解的，其平均駐留時間滿足：

選擇如下形式的多Lyapunov函數：

根據式（2），應用引理2，

對上式左右兩邊分別同時左乘［（）］，右乘［（）］，可以得到：

其中，（）（）（），假定系統干擾為0，不失一般性，令：

假設［t，t）［t，）∪［，）∪…∪［τ，t），考慮到式（3），進行相似的處理，得到：

將其代入到矩陣不等式（3）中，得到：

則有：

因此，對于任意∈［t，t），

利用上式，重復此過程；對于任意0，

根據引理3，其中，

由定義2和上式不等式可知：對于任意給定的0，

對上式兩邊同時取二范數后再取對數，

由不等式切換次數和平均駐留時間法，根據定義3，即在平均駐留時間約束的切換律下，在切換系統的平衡點x＝0，是指數幾乎處處穩定的，證畢。

3 數值算例

切換信號(，1)和(，2)轉移概率矩陣分別為：

由公式Π[]Π[][]，可以計算出平穩分布為：

根據定理1可知，系統在所設計的切換律下及反饋控制器下是指數幾乎處處穩定的，系統的切換信號圖、控制信號曲線和系統狀態軌跡如圖1～3所示。

圖1 切換信號γ（t）Fig.1 Switching signalγ（t）

圖2 控制曲線u（t）Fig.2 Control curve

圖3 ln‖x（t）‖的7次實現Fig.3 Seven realizations of ln‖x（t）‖

4 結束語

針對連續雙切換線性正系統，研究了基于平均駐留時間切換的狀態反饋問題，設計了系統的狀態反饋控制器，構造了Lyapunov函數，根據馬爾科夫過程及能量衰減原理適當的切換信號；利用線性矩陣不等式以及馬爾科夫暫態分析方法，得出使得系統指數幾乎處處穩定的充分條件；最后給出一個數值例子，驗證了提出方法的有效性，為連續雙切換線性正系統的分析提供了一種有效的方法。