基于目標分類的數學解題教學的思考

康杰 黃煒 劉潔

- 編者按 -

“雙減”不只是減輕學生的負擔問題，其深層意蘊是教育本質的回歸、教育規律的彰顯，直接指向校內教育尤其是課堂教學質量的進一步優化改革。“雙減”下如何高質量開展課堂教學，回歸育人本質，彰顯育人規律？這是所有教師都會面臨的現實問題。本刊將陸續呈現各學科優秀教研成果，以期為教師高效開展課堂教學助力，為落實“雙減”要求蓄能引航。本期，我們推出的是初中數學學科教學中“基于目標分類的數學解題教學”方面的探索。

提高課堂教學質量是落實課程標準、發展教師專業能力和提升學生學業水平的需要。為此，《關于深化教育教學改革全面提高義務教育質量的意見》指出：強化課堂主陣地作用，切實提高課堂教學質量。[1]

縱觀中國初中數學教育教學的歷史，在課程標準和教學大綱中的作業往往指課堂練習和課外練習兩種，關于課外作業的表述不多，但對課堂練習的建議寫得比較詳細。例如，1929年《初級中學算學暫行課程標準》中的“作業要項”提出了“課室練習”應“每次黑板上的練習以后，應有時間說明算式和解釋的理由”，“課外練習”應“課外單紙上的練習可與同班討論，但要自己懂得‘學習心理’的歷程的重要，不應抄襲別人的演草”。又如，1932年《初級中學算學課程標準》中的 “作業要項”提出了“教師練習”應注意“初中學生對于算學一科，最感困難，宜在教室，多予練習與復習之機會，務使學生課外作業時間，得以減少”。再如，1992年《九年義務教育全日制初級中學數學教學大綱（試用）》中的“正確組織練習”指出“為了使練習能起到應有的作用，應注意以下幾點：（1）目的要明確，題目要精選。（2）題量要適度，首先要保證有足夠的基本題。析題難度要適中，布置作業要區別對待。對學習有困難的學生，要給予必要的輔導…”[2]上述材料顯示了初中數學教育教學中練習和解題的重要，也反映出練習不當是學生學習壓力過大的主要因素。

1.學生數學作業負擔過重的原因分析

筆者通過對部分北京市中學生的調研發現，學生認為數學作業負擔過重的原因不在于數學作業多，而在于看似不多的題量，卻需要耗費大量的時間和精力，甚至有學生形象地比喻道：做數學一道題的時間等于其他有些學科一張卷子的時間。

產生以上問題的原因主要有兩點，一是數學自身的學科特點決定的。數學的公理化和形式化要求學習者具有較高的邏輯思維和抽象能力。數學的原理（公式、定理等）所具有的廣泛應用性和數學方法具有的靈活性又導致了學生在解決具體問題時遇到障礙，常常覺得可用的方法很多，但真正用得上的很少。二是目前的數學解題教學中存在的問題造成的。在當下評價背景下，解題是基本形式和主要內容，出其不意、攻其不備的命題方式也促使師生陷入題海之中。

在解題教學實踐中，“該選用什么樣的例題”“為什么很多典型問題反復講解后學生依然難以解決”等問題長期困擾著廣大一線數學教師。涂榮豹教授認為，在數學解題學習中，學生的主要任務并不是解題，而是學習解題，因此，教師教的重點和學生學的重點，不在于“解”而在于“學解”，以“解”作為出發點，注重的是解題的結果，以“學解”作為出發點，注重的則是解題的過程[3]。

2.解題教學的研究簡述

梳理發現，目前的解題教學研究的方向主要聚焦在兩個部分，即研究解題教學本身與研究解題教學的解題方法與技巧，前者的研究主體主要是教學研究人員，而后者主要是廣大一線教師。

關于解題教學的研究，最重要的代表人物就是美籍匈牙利數學家波利亞，他專門研究了解題的思維過程，并形成了解題理論。在1944年出版的專著《怎樣解題》（How to solve it）中提出的“怎樣解題表”總結了人類解決數學問題的一般規律和程序，對數學解題研究有著深遠影響[4]。自波利亞的解題理論傳入我國以來，對我國數學教育亦有著極其重要的指導意義，也給我國中學數學的教材及教法帶來了很大的轉變，徐利治所著的《數學方法論選講》被認為是波利亞“怎樣解題”研究的延伸與發展[5]。羅增儒與羅新兵在其《波利亞的怎樣解題表（續）》中詳細概述了解題系統，分析解題過程，念頭誘發，問題轉換，樸素的元認知觀念與波利亞怎樣解題表的關系，并揭示了波利亞解題思想的目標，即發現和發明的方法和規律[6]。在此基礎上提出有效的解題教學策略，并形成行之有效的教學模式正是我們研究的方向。

3.基于目標分類的數學解題教學探析

要從根本上提升教師的解題教學水平和能力，進而切實提高課堂教學質量，就需要將教師自身置于解題思維活動中，體驗學生的解題過程，分析我們面對題目時的表現。為此，我們借鑒了心理學建立初期常常采用的一種方法——內省法，檢查自己解決數學問題時的想法，進而推斷學生的想法，如圖1所示：

這是一道分式運算的題目，圖1中間一列顯示的是一位學生的解題過程，右邊一列顯示的是在解答這道題目的時候，我們的大腦需要提取的相關概念、法則、公式等多種知識要素，如果有一個或幾個知識要素不能被正確提取，那么解題過程必然會出現各種錯誤。在解答這道題目時，大腦還需要將這些概念、法則、公式有機地聯系在一起，形成思路、程序或方法，如圖中左邊一列用圖示的方法直觀呈現分式加減法的思維過程。

如果我們從教育目標分類的角度認識如何解答題目，我們會發現，在解題過程中涉及的知識有概念、法則和公式等，這些知識都屬于事實類知識和概念類知識，而我們的解題思路或者解題方法，則屬于程序類知識，是指某些具體的操作步驟，某種固定的操作順序，運行之后能得到結果。弄清知識的類別，對于我們解釋和分析如何解答一道題、題目能否正確解答及不能正確解答題目的原因，有著重大的意義和作用。從知識分類的角度，還有一類重要的知識——元認知，其中有一種元認知知識稱為認知任務的知識，主要包括：“知道不同的認知任務可能難度不同;知道不同的認知任務可能對認知系統提出不同的要求;知道不同的認知任務可能要求不同的認知策略”[7]。在解題活動中，我們將解題思路、步驟簡稱為“認”，把用到的概念、法則、公式等知識要素簡稱為“知”，將具體題目的解答過程看作一個“任務”，那么這三類知識共同構成了認知任務知識（如圖1）。

學習認知任務知識需要經歷哪些思維活動呢？這就需要我們再從另一個角度分析——認知過程的分類。如圖2，在認知過程的分類中，我們常常把記憶、理解、應用稱作初級認知加工。在做題過程中，需要先提取相關知識，而提取的前提是能夠在理解的基礎上進行記憶，再將提取的知識進行有步驟的應用。如果我們不是應用知識解題，而是對一道題目或任務的解答過程進行研究，分解其中的具體操作步驟，辨別具體操作步驟的依據，概述解答過程的流程，我們就進行不同于記憶、理解和應用的認知加工，這種認知加工就是分析，也稱為分析能力。

當我們以認知任務知識和分析能力為教學目標時，我們就得到了一種新的課型——析題課，其中的“析”字主要是指分析的意思。在析題課中，最重要的任務不是讓學生做題，而是要給學生題目和解答，讓學生先分析題目解答過程中用到了哪些具體的知識，在這個基礎上，再對解答過程進行概括和總結，用圖示的方法直觀表示解題思路。

教師如何上好一堂數學解題課，讓學生腦海里的知識得到應用，使得“正者知其原，誤者曉其因”，從而有效減輕不必要的課外作業負擔，正是本文所研究的課題。

參考文獻：

[1]中共中央 國務院. 關于深化教育教學改革全面提高義務教育質量的意見[EB/OL].（2019-06-23）[2022-02-20]http：//www.gov.cn/zhengce/2019-07/08/content_5407361.htm.

[2]課程教材研究所編.20世紀中國中小學課程標準教學大綱匯編（數學卷）.人民教育出版社，2001年.

[3]涂榮豹.數學解題的有意義學習[J].數學教育學報，2001（10）.

[4]G·波利亞著.怎樣解題[M].涂滯，馮承天譯.上海科技教育出版社，2007.

[5]徐利治.數學方法論選講[M].武漢：華中工學院出版社，1983.

[6]羅增儒，羅新兵.波利亞的怎樣解題表（續）[J].中學數學教學參考，2004（05）.

[7]洛林·W.安德森等編著. 布盧姆教育目標分類學（修訂版）[M]. 北京：外語教學與研究出版社，2009.