等效場變換理論及淺海聲輻射計量

何 呈， 王 彪， 羅成名， 馬 林， 李曉曼

(江蘇科技大學 電子信息學院， 江蘇 鎮江 212000)

水下目標聲輻射常用的計量方法分為兩類：一類是直接測量法，它需要選擇開闊水域，滿足目標結構聲輻射的遠場條件，同時將水域處理成無邊界的理想聲介質，不考慮水域邊界的聲散射；另一類方法是間接測量法，通過獲取目標結構表面的振動參數，結合聲場格林函數，推算目標結構遠場的輻射聲。

受空間尺度的限制，目前常用的聲輻射計量方法是一種間接測量技術——近場聲全息技術(near-field acoustic holography, NAH)。該技術在20世紀80年代初由Maynard等[1-2]提出，使用放置在平板聲源附近的共形麥克風陣列獲得聲場的復聲壓，重構出平板聲源的振動參數。NAH自提出以來，在國內外聲源輻射[3-7]、聲散射測量[8]和聲源識別[9-11]的研究中得到了廣泛應用。

由于水下目標尺寸大、海洋廣闊等因素，水下聲場通常涉及很大的空間范圍，在研究中非常關注聲源的遠場特性。自由場中的遠場特性由于與測量環境無關，通常被用于聲源聲輻射特性的評判依據，顯得尤為重要。暴雪梅等[12-14]采用聲全息技術獲得源面的聲場，然后根據自由場中遠場與源面的格林函數預測聲源的遠場聲場。在此過程中，經歷了兩次聲場估計：第一次是屬于聲學反問題求解，得到源面振動參數；第二次屬于聲學正問題，得到源面振動輻射聲在遠場的分布。

針對有限空間內的輻射聲獲取技術，孫超等[15]采用波疊加源算法(WSA)和Helmholtz方程最小二乘算法(HELS)的NAH，在有限空間內將混合聲場進行分離得到聲源在自由空間的輻射聲場估計。Wall等[16]提出了一種多源統計優化近場聲全息方法(M-SONAH)，M-SONAH可以在多源環境下重建目標近場聲壓，誤差較小。宋玉來等[17-18]針對傳聲器陣列兩側存在相干聲源的非自由聲場重建問題，可以在非自由聲場的測量條件下，有效去除干擾聲的影響,實現目標聲場的準確重建。Jin等[19]提出了一種只依賴全息面數據的直接聲場分離方法，簡化了分離位于全息面不同側面的相干聲源的過程，Bi等[20]利用該原理實現了目標入射聲與散射聲的分離。胡博等[21-22]采用矢量水聽器來進行聲全息重構，與傳統聲壓水聽器相比，降低了測量系統的復雜程度。

NAH本質上屬于聲場的逆問題，通過聲源的輻射聲場反向溯源，對聲源的振動參數進行估計。NAH還需要準確的源面信息，用于構造源面與觀測空間的格林函數。當聲源結構間存在相互遮擋、源與全息面存在相對運動時，源面與全息面的聲場格林函數復雜，涉及到復雜的動態多體散射問題[23]。

綜上所述，目前聲輻射直接計量法需要大空間范圍以滿足遠場測試條件；有限空間中輻射聲計量面臨所需參數眾多，需要精密的源面幾何參數，輻射聲場獲取過程繁瑣，存在聲場逆問題求解等問題。針對空間輻射聲場計量中面臨的以上問題，本文提出了一種新的聲輻射場估計理論——等效場變換(equivalent field transformation, EFT)理論。該理論無須源面幾何信息，與聲源的幾何形狀、材質、運動狀態無關。當聲源在目標空間內時，就能獲得準確的目標聲輻射結果；無須預先對源上振動參數進行估計，可直接得出聲源在自由場遠場或近場的聲場，屬于聲場的正問題，求解上不存在不適定的問題；對測量環境沒有限制，適用于非自由場環境。聲散射本質上屬于目標在入射聲激勵下的再輻射問題，該理論也適用于目標聲散射的計量。

1 等效場變換理論

假設目標空間V0中存在一個體積聲源，其任意點的輻射聲壓是ps(x0,y0,z0)，坐標點(x0,y0,z0)在空間V0內部，如圖1所示。

圖1 空間區域對空間點變換Fig.1 The transformation form a region to a point (The observation results from point M can be predicted by the observation results of space L)

根據聲波疊加原理，待測點M(xm,ym,zm)的聲壓為

(1)

式中，gM(x0,y0,z0)是V0中坐標點(x0,y0,z0)到M點的聲場格林函數。

觀測空間L上某一點(xl,yl,zl)的聲壓為

pL(xl,yl,zl)=

(2)

式中，gL(x0,y0,z0,xl,yl,zl)是空間V0中坐標點(x0,y0,z0)到空間L上坐標點(xl,yl,zl)的聲場格林函數。

假設存在函數q(xl,yl,zl)，使得式(3)成立。

(3)

將式(1)、(2)代入式(3)得到

(4)

式(4)表明，對于空間V0中的任意一點(x0,y0,z0)，均滿足式(5)。

gM(x0,y0,z0),?(x0,y0,z0)∈V0

(5)

在自由場環境下，空間點(x0,y0,z0)到M點的聲場格林函數gM(x0,y0,z0)和點(x0,y0,z0)到觀測空間L上坐標點(xl,yl,zl)的聲場格林函數gL(x0,y0,z0)均可由點源的球面波擴展得到，gM和gL是已知量。將gM和gL代入式(5)即可解出函數q(xl,yl,zl)。

將觀測空間L上的實測值pL(xl,yl,zl)與函數q(xl,yl,zl)代入式(3)，可求出M點的聲壓pM(xm,ym,zm)。當式(5)的解存在時，說明能夠通過觀測空間L中的觀測數據直接獲得M點的聲場；反之則不能。

該方法使用聲源外某一觀測空間的觀測值，經過聲場變換獲得聲源在外場空間某一待測位置點的聲場值，觀測空間獲取的結果與空間位置點的聲場結果等效，稱之為等效場變換(EFT)。EFT與近場聲全息方法相比，不需要知道源面的幾何形狀，只需得出函數q(xl,yl,zl)即可通過聲源觀測空間L上觀測值，直接獲得目標空間V0中的任意聲源在外空間某一位置或方向上的取值。

2 權系數函數q(xl,yl,zl)與聲場分析

2.1 V0中聲場分布與M點聲場獲取

gM(x0,y0,z0)是空間V0中的一點(x0,y0,z0)到M點的聲場格林函數，根據聲場互易原理，gM(x0,y0,z0)也可以被看作是M點到空間V0中的點(x0,y0,z0)的聲場格林函數。因此，當M點為單位無指向性點源(聲壓為1，相位為0)時，格林gM(x0,y0,z0)在空間V0中的分布，與M點的點源輻射聲在空間V0中的聲壓場分布一致。

假設測量空間L上使用收發合置換能器，式(3)表明，使用權系數q(xl,yl,zl)激發的聲場與M點的單位點源輻射聲在空間V0中的聲場一致。由此可得出EFT理論的一條推論：

當空間L上的收發合置換能器在系數q(xl,yl,zl)的加權下，V0中的聲場與M點無指向性單位點源激發的聲場一致時，便可通過空間L上的觀測值與權系數q(xl,yl,zl)獲得空間V0中任意聲源在M點的聲場。

如圖2所示，處于M點的單位無指向性點源在空間V0的聲場為pM(x0,y0,z0)，(x0,y0,z0)∈V0。如圖3所示，空間L上的收發合置換能器在空間V0的激發聲場為pL(x0,y0,z0)，(x0,y0,z0)∈V0。假設L上的收發合置換能器在權函數q(xl,yl,zl)的作用下，激發的V0聲場與M處單位點源激發的V0聲場一致，如式(6)所示。

pM(x0,y0,z0)=pL(x0,y0,z0)，?(x0,y0,z0)∈V0

(6)

圖2 M點無指向性聲源在空間V0的聲場Fig.2 The sound field in space V0 caused by unit omni-point source M

圖3 聲源L在函數q(xl,yl,zl)加權下的聲場(V0中聲場與圖2中的一致)Fig.3 The sound field in space V0 caused by source L under the weighting function q(xl,yl,zl) (the sound field in V0 is consistent with that in Fig.2)

那么，當L上的收發合置換能器用于接收時，在權系數q(xl,yl,zl)作用下，就能夠獲得空間V0中任意聲源在M點的聲場取值，如圖4所示。實現對觀測空間V0到空間點M的聲場變換。該變換方法與聲源s0的內部結構、幾何形狀、材質、聲源類型、指向性、以及運動狀態均無關，只須聲源處于空間V0內部，就能獲得聲源在外場M點的聲場。

圖4 空間V0中聲源s0的近場輻射獲取Fig.4 Obtain near-field sound radiation of source s0 in space V0

2.2 聲源的遠場指向性獲取

當需要獲得聲源的遠場特性時，理論上M點距離聲源無窮遠。M點的單位無指向性點源的輻射聲在空間V0中的聲壓場分布為平面波，如圖5所示。

圖5 空間V0中平面波Fig.5 Plane wave in space V0 from a unit omni-point-source at M which is far from V0

根據前面的推論可知，若空間L上的收發合置換能器能夠在空間V0中激發平面波如圖6所示。那么將發射時使用的加權函數q(xl,yl,zl)用于接收，就能夠獲得空間V0中任意聲源的遠場聲場，如圖7所示。

圖6 空間L上的收發合置換能器形成空間V0中的平面波Fig.6 Transducers in space L forms plane wave in space V0 by weighting function q(xl,yl,zl)

圖7 空間V0中聲源s0的遠場輻射獲取Fig.7 Far-field radiation acquisition for sound source s0 in space V0

采用這種方法一次僅能獲得聲源在某一方向上的指向性，不同方向上的指向性可通過兩種方法獲取：① 旋轉聲源。通過原地旋轉聲源s0，獲得聲源在不同方向上的遠場取值，歸一化后得到聲源的指向性函數；② 調整權系數函數q(xl,yl,zl)。通過調整虛擬待測點M的方位，獲得不同的權系數函數q(xl,yl,zl)，當空間V0中平面波的掠射角為(α,θ)時，所獲得的是(-α,-θ)方向上的聲源遠場結果。第二種方法能夠在聲源和觀測空間L位置均保持不變的情況下，獲得聲源在不同方位的指向性。

3 聲場測量范圍分析

受空間V0、L尺寸和相對位置的限制，圖1所示的測試結構并不能獲得聲源在空間任意位置的聲場，EFT能測量的空間范圍有限。由前面的推論可知，當M點在空間V0中激發的聲場與L在空間V0中激發的聲場一致時，才能夠通過觀測空間L上的觀測結果得到M點的聲場取值。因此，從聲的傳播規律來分析，圖1所示結構系統所能測量的空間范圍與L在空間V0中能夠激發的聲場有關。從聲場互易原理分析，EFT的測量空間也可以理解成聲源V0發出的聲波被L完全遮擋的空間范圍。

(1) 自由場中的聲場獲取范圍

當聲源處于自由場中時，聲線按直線傳播，能夠獲取的聲場范圍是圖8中從L右側完全觀測不到V0的區域。假設V0是發光體，L是不透光的遮擋物，那么能夠獲取的聲場空間范圍是L外側完全黑暗的區域。

圖8 聲場的聲場獲取范圍Fig.8 The sound field acquisition range of NAT

當L較小時，L外側完全黑暗的區域是圖9中的灰色空間區域，能夠獲取的空間區域是L～A之間的錐形區域。隨著L的逐漸縮小，錐形的長度逐漸減小，直到L與A點完全重合。此時，EFT的聲場獲取范圍僅有一個點，且該點與L重合。

圖9 當L較小時的聲場獲取范圍Fig.9 The sound field acquisition range when L is small

當L包繞聲源所在的空間V0時，如圖10所示。EFT的聲場獲取范圍是L以及L的整個外空間。

圖10 L包繞聲源空間V0的情況Fig.10 The measurement space range where L surrounds the sound source space V0

(2) 淺海環境中的聲場獲取范圍

當測量系統位于淺海環境時，觀測空間L會在海面和海底鏡反射的影響下擴展垂直方向上的尺度，如圖11所示。測試的聲場獲取范圍是L及L右側在y方向呈一定輻射開角的半空間。

圖11 淺海波導中的聲場獲取范圍Fig.11 The measurement space range in shallow water

以上給出了不同條件下基于EFT理論的聲場獲取范圍，在實際應用中須具體分析是否能夠通過L上收發合置換能器在空間V0激發出所需的聲場結構，即公式(5)中權系數函數q(xl,yl,zl)的解是否存在。這與空間V0、L的大小、位置以及測試頻率有關。在空間V0小、L大、頻率低的情況下，容易在空間V0激發出所需的聲場結構；反之困難。

4 聲場仿真驗證

EFT通過觀測空間的觀測結果得到空間某一點/方向的聲場，而非一片區域的聲場，相當于在已知多個相關參數條件下，只獲取一個參數。由此可以推測，EFT的聲場獲取精度是有保障的。下面通過聲場數值仿真對該理論做進一步的驗證。

觀測空間中的收發合置陣元個數N=20，在H=15 m的垂直空間呈直線均勻分布。以垂直收發陣列的頂點為原點，垂直方向為z軸，建立如圖12所示的坐標系。聲源采用連續線陣，中心點的坐標位置(R,H/2)，其中R=7.5 m。聲源長度l=1 m，工作頻率f=2 kHz。

圖12 自由場測試布置圖Fig.12 Free-field testing layout

假設觀測點M位于(-5 m,H/2)，位于該點的無指向性單位點源所發出的聲場如圖13所示。

以(R,H/2)為中點、邊長1.5 m的立方體作為目標空間V0。調整收發合置換能器的權系數qi(i=1,2…N)，使得在V0中產生的聲場與圖13中該區域的聲場一致。

當垂直陣未經過加權，得到結果如圖14(a)所示，加權后得到的聲場如圖14(b)所示。水平6.75～8.25 m和垂直6.75～8.25 m包圍的區域是目標區域。將加權后得到的聲場與目標聲場做復數差(聲壓場取復數)再取絕對值，然后除以圖13中V0區域的平均聲場幅度，得到聲場的相對誤差，如圖14(c)所示。V0所在位置的誤差最小。圖14(d)所示是垂直發射陣加權后的聲場相位，圖中V0所在位置的相位與圖13(b)中V0所在位置的相位相同。圖14(c)、(d)說明垂直陣在權系數qi(i=1,2…N)的作用下，在V0區域形成的聲場與點聲源(-5 m,H/2)形成的聲場一致。

加權系數的取值如表1所示。取值是復數，復數的模代表對信號的幅度調整，相位代表對信號相位的調整。

表1 加權系數Tab.1 The weighting factors

將連續線源放入目標區域，聲源的輻射聲場如圖15所示，可以觀察到輻射聲場具有明顯的指向性。

圖15 線聲源激發的聲場Fig.15 The radiated sound field of a line source

旋轉聲源，由垂直陣接收聲源的輻射聲，通過表1所示的加權系數對接收到的聲信號加權，獲得聲源在待測點M的聲場。如圖16(a)所示，是EFT與理論結果的對比，可以發現它們基本重合。圖16(b)、(c)、(d)分別是2.5 kHz、3 kHz和4 kHz的結果對比，可以觀測到EFT得到的結果與理論值一致。

將測試環境改為淺水，水深15 m，換能器和聲源中心點均處于7.5 m深度，其余條件不變，如圖17所示。

圖17 淺海測試布置Fig.17 The shallow water testing layout

圖18(a)是未加權的垂直陣在淺水激發的聲場，可以發現聲場分布起伏不定。圖18(b)是加權后垂直陣在淺水激發的聲場，在聲場中間目標區域形成了一個聲場相對平坦的區域。將圖18(b)所示的聲場與圖13所示的聲場相比較，取相對誤差，得到圖18(c)，顏色越亮表示誤差越小，可以發現中間目標區域的誤差最小。圖18(c)是垂直陣加權后在淺海激發聲場的相位，中間區域的聲場相位與圖13(b)所示中間目標區域的相位一致。說明垂直陣在目標區域V0激發的聲場與自由場中無指向性單位點源M在目標區域V0激發的聲場一致。此時，垂直發射陣使用的權系數就是待求參數q(xl,yl,zl)的解。

將待測聲源放入目標區域，旋轉聲源，由垂直陣的觀測值與權系數q(xl,yl,zl)測得不同頻率下聲源的指向性，如圖19所示。可以觀測到EFT得到的結果與理論結果吻合。

5 結 論

相比于NAH先獲取源面的振動數據，再估算聲源的輻射聲場，提出了一種目標聲輻射獲取新理論——等效場變換理論(EFT)。該理論通過對觀測空間的觀測結果進行加權，獲取目標空間內任意聲源在待測點的聲場。該理論無需聲源的外形幾何信息，與聲源的材質和所處運動狀態均無關。EFT能夠應用于混響場條件，可獲取指定空間內任意聲源在自由場中的輻射聲場或指向性。進一步給出了EFT理論中權系數的選取標準和判別依據。討論了當需要獲取聲源的遠場指向性時，目標空間中的聲場結構為平面波。分析了自由場、淺海環境條件下，EFT方法的所能獲取的聲場范圍。環境越復雜，EFT的測量范圍反而越廣闊。最后在自由場和淺水環境下對EFT法獲取有限長線源的散射聲場進行了數值仿真，得到的結果與自由場中理論結果吻合，驗證了EFT理論的正確性。受文章篇幅限制，本文現階段只考慮了自由場與淺海波導聲場，下一步將研究EFT在其他類型條件下的應用。該理論為解決復雜環境下復雜聲源的輻射計量問題提供了新思路。