耦合組合剛度非線性能量阱的線性振子動力學分析

張運法， 孔憲仁， 岳程斐

(1. 哈爾濱工業大學 衛星技術研究所， 哈爾濱 150080； 2. 哈爾濱工業大學 空間科學與應用技術研究院， 深圳 518055)

航天器在發射時會面臨十分復雜的振動環境，在過去的數十年中，抑制有害振動進入到結構系統,一直是值得關注的重要問題。結構減振的方法包括主動、半主動、被動和混合方法，在實際工程中由于被動減振應用方便，因此被廣泛的使用[1-4]。Frahm等[5-9]提出了一種典型的被動減振裝置線性動力吸收器(TVA)，其構造簡單、減振效果顯著，因此得到許多學者廣泛的研究。但是TVA僅能在特定固有頻率附近具有較好的減振性能，減振帶寬比較窄。為增加吸振器抑制帶寬，Roberson[10]提出了非線性能量阱(nonlinear energy sink, NES)，它是一個由黏性阻尼和強非線性(不可線性化)彈簧構成的輕型附件。NES中振動能量的吸收機制為靶能量傳遞(TET)，可以實現能量從源頭(系統)到供體(NES)的單向不可逆傳遞[11]。NES與線性TVA相比，不僅減振帶寬更廣，抑制振動更有效，而且還提高了魯棒性[12-15]。從此，NES得到了越來越多的關注和研究[16-19]。NES現在種類豐富，可以分為分段線性NES、不光滑的剛度遞減NES、雙穩定NES、內部旋轉NES等等[20-23]。

Gendelman等[24-26]在研究耦合NES的系統主結構受到與其固有頻率相同的簡諧激勵頻率時能量傳遞的情況，發現在NES和主結構1∶1共振頻率附近系統會發生不尋常的強調制響應(strongly modulated response, SMR)，其可以解釋為是由不同穩定區間的跳躍現象引起。隨后利用數值方法對NES進行優化結果表明SMR比穩態周期響應在抑制振動方面具有更好的效果，為產生SMR需要系統含有非線性且NES與線性主結構比值足夠小。

由于在工程實際中NES理想的純立方剛度很難實現，因此為提高其在工程中的實用性，本文對耦合組合剛度NES的線性振蕩器動力學進行了相關的建模和分析[27]。首先利用復變量平均法對研究目標進行建模，得到了系統的慢變方程。然后系統進行鞍結分岔和Hopf分岔分析，對系統平衡點的個數和穩定進行了分析。最后還利用能量譜對各部分質量比、激勵幅值、組合剛度NES的剛度及阻尼帶來的影響進行分析，并與純立方剛度NES在減振方面的應用進行比較，說明了組合剛度NES的減振效果。

1 研究對象動力學模型及方程

本文研究耦合組合剛度NES線性振子的系統模型，如圖1所示。

圖1 耦合組合剛度NES的線性振子模型圖Fig.1 Model diagram of the linear oscillator with combined stiffness NES

圖1中m1、m2分別表示線性振子和NES的質量，kl、knl分別表示線性振子的線性剛度和NES的非線性剛度，其中knl由線性剛度k21和非線性剛度k23組成，c1、c2分別表示線性振子和NES的線性阻尼，簡諧激勵F=F0cos(wt)，其中x1、x2分別表示線性振子和NES的位移，耦合組合剛度NES的線性振子運動方程如下所示

(1)

(2)

化簡為

(3)

本文將采取如下假設，假設一：NES的質量相對于線性振子的質量而言微不足道，即0<ε<<1；假設二：本文研究系統在共振下的系統運動情況，線性振子和簡諧激勵的頻率差距很小，假設兩者差別在ε1的范圍內，滿足w= 1+εδ，其中δ代表頻率失諧系數[28]。因此可將運動方程化簡為

(4)

用u、v分別表示系統質心運動位移和線性振子與NES之間的相對運動位移，如下式所示

u=x1+εx2,v=x1-x2

(5)

代入式(4)進行變量替換，可化為

(6)

本文對式(6)利用復變量平均法進行相關研究，并進行下式所示的變量替換

(7)

上式將系統周期解近似分解為快速振動部分e(1+εδ)t和振幅慢調制部分φi(t)，在研究系統能量傳遞時主要考慮慢變部分，因此略去快變部分，可以得到系統的慢變方程，如下

(8)

2 分岔研究

將平衡固定點φ10、φ20代入耦合組合剛度NES系統的慢變方程式(8)可得

(9)

由式(9)第一式可解得

(10)

將式(10)代入式(9)第二式可將其化簡為

(11)

式中，M= (2εδ+1)/(2εδ+2δ+1)，將式(1)進一步化簡可以得到鞍結分岔邊界條件為

α0+α1Z+α2Z2+α3Z3=0

(12)

α1+2α2Z+3α3Z2=0

(13)

對式(13)求解可以得到

(14)

將式(14)代入式(12)可以得到

(15)

式(15)已化為A與各參數的方程，即A=f(λ,δ)，其可以進一步表示鞍結分岔邊界曲線，并區分周期解的情況，如圖2所示。在圖2中參數選取為ε= 0.1，k1= 1/3，k3= 4/3[25，28]。

圖2 δ = 2時組合剛度NES的鞍結分岔圖Fig.2 Saddle-node bifurcation diagram of combined stiffness NES when δ= 2

從圖2可得耦合組合剛度NES系統鞍結分岔邊界曲線的形狀近似為類三角形，且[λ,A]平面被劃分為兩部分，在曲線與坐標軸圍成封閉曲線內任取一點λ= 0.2，A= 0.9，此時可以得到三個平衡點，即具有三個不同的實數根；在封閉曲線外的上下部分各取一點，本文分別抽取λ= 0.2，A= 0.5和λ= 0.2，A= 1.4，此時可以得到一個平衡點，即只有一個實數根。因此由圖2可以得出當λ固定時，改變A的值可以得到不同數目的平衡點。

接著研究頻率失諧系數對鞍結分岔圖的影響,即改變δ的值，其它參數不變，可以得到不同δ的鞍結分岔圖，如圖3所示。

從圖3中可以得出，當δ> 0時，隨著δ值增大，A的最大值在逐漸增大；當δ= 0時，鞍結分岔不存在；當δ< 0時，隨著δ值增大，A的最大值在逐漸減小。

由圖2、圖3可以得出，改變λ或δ都可能影響實根個數，而兩者影響方式不同，當δ固定時，鞍結分岔形狀、所屬范圍不變，改變λ可以導致其實數根數目變化，是因為其改變了所屬的實數根數目區域導致。而當λ固定，能固定其所屬的位置不變，改變δ可以導致實數根數目變化，則是因為其改變了鞍結分岔所屬范圍導致。

接下來本文將利用Hopf分岔來考慮組合剛度NES系統所求平衡點的穩定性，對動力學系統在平衡點附近考慮擾動運動，令

φ1=φ10+ο1,φ2=φ20+ο2

(16)

代入慢變方程式(8)可得

(17)

式(17)的特征方程可以化簡為

μ4+γ1μ3+γ2μ2+γ3μ+γ4=0

(18)

式中，μ為特征值。對上式系數進行如下簡化

(19)

可得特征方程各系數的表達式為

γ1=λ(1+ε)

3k223(k221(1+ε)2-2εδ(1+ε)-1)Z+

εδk221(1+ε)

γ3=(ελ(4ε2δ2+4εδ2+4εδ+1))/4

64δ((1+2εδ)2(δ-k221)+λ2(ε+1))+

64δ2λ2(ε+1)2+16λ2))/256+3Z(k221+

2k221δ(ε+1)-2δ-4δ2ε)k223δ2(2δ(ε+1)+

(20)

當Hopf分岔出現時，平衡點穩定性發生變化，且通過復平面的正負虛軸，因此有μ= ±iΩ，代入式(18)分離實虛部可得

Ω4-γ2Ω2+γ4=0,Ω(γ1Ω2-γ3)=0

(21)

消去Ω，式(21)可進一步化簡為

(22)

將式(22)可以整理為Z的表達式，如下所示

ν1Z2+ν2Z+ν3=0

(23)

其中

(24)

對式(23)進行求解可得

(25)

從式(12)可得Hopf分岔穩定區域的邊界為

(26)

當δ=2，ε=0.1，k221=1/3，k223=4/3時，耦合組合剛度NES系統的鞍結分岔和Hopf分岔如圖4所示。圖中在Hopf分岔曲線右側為穩定區域，左側為不穩定區域，從圖中可以得出鞍結分岔和Hopf分岔不同區域之間存在交叉。

圖4 系統的鞍結分岔和Hopf分岔圖Fig.4 Saddle node bifurcation and Hopf bifurcation diagrams of the system

同時本文研究頻率失諧系數對Hopf分岔的影響，如圖5所示。從圖5中可以得出，隨著δ值增大，A的最大值及所屬的面積在逐漸增大。由圖4、圖5我們可得其他參數不變時，改變λ或δ影響穩定性的規律和影響鞍結分岔時的類似。

當δ=3,ε=0.1,k221=1/3,k221=4/3,λ=0.2時，系統所受激勵幅值變化對響應幅值的影響如圖6所示。當A=0.6，ε=0.1,k221=1/3,k221=4/3,λ=0.2時，系統所受激勵頻率變化對響應幅值的影響如圖7所示。

在圖6中隨著A的增大，系統平衡點先是處于穩定狀態，隨后處于不穩定狀態，最后又回到穩定狀態；系統平衡點的個數是先處與單個平衡點個數階段，隨后處于三個平衡點個數階段，最后又回到單個平衡點個數階段。在圖7中隨著δ的增大，系統穩定性與增大A時的情況整體趨勢相同, 而平衡點個數在類似于增大A的三階段過程后又增加了一個三個平衡點個數階段和最后回到單個平衡點個數階段。

圖6 當激勵幅值變化時對系統響應幅值的影響圖N20= |φ20|，實線：穩定分支，星號：不穩定分支Fig.6 The influence diagram of the system response amplitude when the excitation amplitude changes. N20= |φ20|, solid line: stable branch, asterisk: unstable branch

由上面分析可知，平衡點實根個數與穩定性皆可以被λ或δ的取值影響，但方式不同。當δ固定時，鞍結分岔、Hopf分岔形狀固定，改變λ可以導致位置移動，進而影響實根個數、穩定性。然而當λ固定時，其在鞍結分岔、Hopf分岔圖上位置不變，改變δ可以導致形狀變化，進而區域覆蓋范圍發生變化，從而影響實根個數、穩定性。同時還得出當激勵幅值、頻率發生變化時，對系統響應幅值大小、平衡點個數及穩定性帶來影響的規律。因此，調節以上參數可以使系統更容易處于不穩定和系統響應幅值更小的狀態，對系統減振具有重要意義。

圖7 當激勵頻率變化時對系統響應幅值的影響圖N20= |φ20|，實線：穩定分支，星號：不穩定分支Fig.7 The influence diagram of the system response amplitude when the excitation frequency changes, N20= |φ20|, solid line: stable branch, asterisk: unstable branch

3 耦合NES系統的減振應用

本部分將研究耦合組合剛度NES的系統在減振方面的應用。通過對系統參數進行優化，使其在減振方面達到最優，并比較其在減振方面的差異。由于耦合NES系統在發生共振時具有十分復雜的響應機制和時變振幅。因此為了更準確的表示不同NES的振動抑制效果，本文利用能量譜來進行比較分析。本文依據式(3)，可將耦合NES的系統線性振子的能量表示為

(27)

其中〈·〉t表示在時間區間t內取平均值，前面提到使耦合NES的系統在減振方面達到最優可以等價為使上式E的值在共振頻率附近達到最小，基于此本文進行相關分析，選取t∈ [2 000,3 000]。

接下來對考慮頻率失諧影響的耦合單自由度NES系統在不同質量比ε、不同激勵幅值A、不同NES剛度及阻尼下的減振情況進行分析。先對不同質量比ε、不同激勵幅值A、不同NES剛度情況下的減振情況進行研究，其中k221/k223= 0.1，λ1= 0.2，主結構在共振頻率附近的能量譜如圖8所示。同時利用Poincare映射和時間響應對ε= 0.1,A= 0.3時不同剛度的系統進行抽查分析，可得圖9 (a)、(b)。

由圖8可知當ε、A固定時，耦合組合剛度NES的系統在共振頻率附近的平均能量隨著NES剛度不斷增加在逐漸減小且調制、減振帶寬在不斷增大，此時系統發生SMR如圖9(a)所示。但當k223過大時，在共振頻率附近略小于共振頻率1處出現一個共振峰，對此處用Poincare和時間響應進行分析，由圖9(b)可知該處出現穩態周期響應，不利用系統減振，應該在NES選值時避免這一情況。由圖8可知當ε固定時，增大A會使達到最優減振效果的剛度減小，同時使得最優減振效果得到能量譜面積增大，不利于系統減振。當A固定時，增大ε同樣會使達到最優減振效果的剛度減小，且會使得最優減振效果的能量譜帶寬增大，同樣不利于系統減振。綜上，在設計NES時，應選取較小的ε、A和適當大的NES的剛度以減小系統主結構能量譜帶寬和面積，降低系統主結構的平均能量，達到最優的減振效果。

進一步對不同質量比ε、不同激勵幅值、不同NES阻尼情況下的減振情況進行研究，在k223= 1、k221= 0.1條件下分別取不同阻尼值，其主結構在共振頻率附近的能量譜如圖10所示。同時當ε= 0.1,A= 0.3時，利用Poincare映射和時間響應對λ1= 0.1、λ1= 0.5的系統進行分析，可得圖11。

由圖10可以得出當ε、A固定時，增大NES的阻尼并不能使得線性主結構平均能量減小，通過圖11能更清楚地得出當NES選的阻尼較小時，在共振頻率附近系統存在SMR，此時對線性主結構振動抑制效果更好；當NES的阻尼較大時，系統會出現穩態周期響應，此時不利于線性主結構減振。由圖10可以得出當ε固定時，增大A會使達到最優減振效果的阻尼增大，同時使得最優減振效果得到能量譜面積增大，不利于系統減振。當A固定時，增大ε同樣會使達到最優減振效果的阻尼增大，且使得最優減振效果的能量譜帶寬和能量譜面積增大，同樣不利于系統減振。綜上，在設計NES時，應選取較小的ε、A和適當小的NES阻尼以減小系統主結構能量譜帶寬和面積，降低系統主結構的平均能量，達到最優的減振效果。

由上面分析可知通過改變材料參數，根據能量譜可以找出最優減振效果的NES參數，本文選用評價最優減振效果的標準主要是能量譜中E的面積最小；其次是能量譜中E的各處峰值最小。根據本文優化標準同樣可得耦合組合剛度的單自由NES的系統，在立方剛度與線性剛度比為0.1時，取ε= 0.1,A= 0.3,k223= 3.38，λ1= 0.12，組合剛度NES取得最優減振效果，并將其與文獻[26,30]中純立方剛度NES在ε= 0.1,A= 0.3時取得的最優能量譜進行對比可得圖12。

圖12 不同NES最優時能量譜對比圖Fig.12 The comparison of the energy spectrum of the best vibration suppression for different NESs

由圖12可得各NES在共振頻率附近具有較好的振動抑制效果；組合剛度NES相較于立方剛度NES在能量譜中，E的面積較小，且大多數位置處幅值要低，因此可以認為，此時組合剛度NES比立方剛度NES振動效果整體要好。

4 結 論

在承受諧波激勵載荷下耦合組合剛度NES系統具有豐富的動力學特性，本文首先對所研究系統進行了建模, 利用復變量平均法得到了系統的慢變方程。其次，對慢變方程進行了鞍結分岔和Hopf分岔分析，在進行鞍結分岔分析中，得到了鞍結分岔邊界曲線的形狀皆近似為類三角形，其將[λ,A]平面劃分為三個實數根和僅一個實數根的兩部分；同時得到了頻率失諧系數與激勵幅值的關系，即在其他參數固定的情況下，隨著δ模的增大A的最大值在逐漸增大。在進行Hopf分岔研究中，得到所求平衡點的穩定性區域，并分析了激勵幅值、頻率變化對響應幅值的影響，即隨著激勵幅值的增大響應幅值在逐漸增大，且僅在A= 3附近為不穩定部分；在改變激勵頻率時，僅在δ= 0附近存在不穩定部分。還得到了耦合組合剛度NES系統平衡點實根個數與穩定性皆可能被λ或δ的取值影響。當δ固定時，鞍結分岔、Hopf分岔形狀固定，改變λ導致所屬的區域變化，進而影響實根個數、穩定性。然而當λ固定時，其在鞍結分岔、Hopf分岔圖上的位置不變，改變δ導致所屬的區域范圍變化，進而影響實根個數、穩定性。這一部分還可以得出當激勵幅值、頻率發生變化時對系統響應幅值的大小、平衡點個數及穩定性帶來影響。由于SMR在不穩定狀態更容易發生，因此分岔研究為后面減振應用的優化提供合理的參數選值建議。再次，利用能量譜對不同質量比ε、不同激勵幅值、不同NES剛度及阻尼下的減振情況進行分析，在本研究NES模型的前提下，在一定范圍內增加NES的剛度可以有利于系統減振，而增大NES的阻尼不一定利于系統的減振，SMR出現有利于系統減振。在其它參數固定的前提下，ε、A取值越小越有利于系統減振。最后，本文還將組合剛度NES與立方剛度NES最優減振時的能量譜進行比較，驗證了組合剛度NES減振性能的優越性。