旋轉(zhuǎn)輸流管中管結(jié)構(gòu)強(qiáng)迫振動(dòng)的格林函數(shù)解

范謹(jǐn)銘， 常學(xué)平， 陳 美

(西南石油大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，成都 610500)

輸流管結(jié)構(gòu)在航空航天、石油工業(yè)、海洋工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，在內(nèi)流的作用下會(huì)使得結(jié)構(gòu)發(fā)生流固耦合振動(dòng)，容易引起結(jié)構(gòu)失效。作為最為典型的流固耦合結(jié)構(gòu)，輸流管系統(tǒng)的自由振動(dòng)與強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題引起眾多學(xué)者的關(guān)注[1-4]。

Ni等[5]將微分變換法推廣至幾種典型邊界條件下輸流管道的自由振動(dòng)問(wèn)題，將得到的系統(tǒng)固有頻率和臨界流速與微分求積法的結(jié)果進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了方法的可靠性。基于撓度的多項(xiàng)式逼近，Khudayarov等[6]將含脈動(dòng)內(nèi)流的流致振動(dòng)問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)常積分-微分方程組的研究，并用數(shù)值方法求解。趙千里等[7]利用伽遼金法研究了層流模型和平推流模型對(duì)輸流管系統(tǒng)固有頻率及臨界流速的影響。應(yīng)用一種改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法，不同邊界的梁模型與輸流管系統(tǒng)的橫向振動(dòng)問(wèn)題被進(jìn)行了研究，且該方法具有收斂快、精度高的特點(diǎn)[8-10]。Lannes等[11]通過(guò)試驗(yàn)研究了內(nèi)流為雙相流時(shí)輸流管的強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題，并且討論了含氣率與系統(tǒng)響應(yīng)的關(guān)系。

然而，工業(yè)中的輸流管結(jié)構(gòu)往往是更加復(fù)雜的，例如旋轉(zhuǎn)輸流管結(jié)構(gòu)、管中管結(jié)構(gòu)等。這些耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性受到諸多因素的干擾，研究難度會(huì)大大增加。因此針對(duì)非常規(guī)輸流管結(jié)構(gòu)的研究成為近些年的熱點(diǎn)。

Wang等[12]以兩端簡(jiǎn)支的雙壁碳納米管為例，研究了各參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響，發(fā)現(xiàn)內(nèi)外管間材料的彈性系數(shù)對(duì)臨界流速有著顯著的影響。Bi等[13]對(duì)管中管結(jié)構(gòu)的減振功能進(jìn)行了驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)該結(jié)構(gòu)在控制各種因素引起的海底管道的振動(dòng)方面有很大的潛力。旋轉(zhuǎn)輸流管在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和流固耦合陀螺效應(yīng)的綜合影響下，可以被視為雙陀螺系統(tǒng)[14]。Lian等[15]建立了水平井非線性鉆柱的動(dòng)力學(xué)理論模型，討論了旋轉(zhuǎn)速度、鉆壓頻率等因素對(duì)系統(tǒng)的影響。Chang等[16]研究了氣體鉆井中鉆柱在氣體結(jié)構(gòu)相互作用下的振動(dòng)特性，發(fā)現(xiàn)氣體鉆井鉆柱的固有頻率比泥漿鉆井鉆柱的高。

在求解輸流管模型的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，格林函數(shù)法是一種極為方便的方法，此方法不僅可以得到系統(tǒng)閉合形式的響應(yīng)解，也可被用來(lái)研究系統(tǒng)的頻率問(wèn)題[17]。Li等[18]采用格林函數(shù)法給出了具有不同邊界條件的輸流管道受迫振動(dòng)的格林函數(shù)解，并通過(guò)三個(gè)算例驗(yàn)證了方法的有效性。Zhao等[19]將該方法應(yīng)用于輸流曲管中，研究了不同參數(shù)對(duì)系統(tǒng)切向位移和徑向位移的影響。借助雙參數(shù)地基上輸油管道強(qiáng)迫振動(dòng)的格林函數(shù)，Li等[20]討論了邊界彈簧系數(shù)對(duì)輸流管系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，結(jié)果表明系統(tǒng)的自振頻率和臨界流速與邊界條件有很大的關(guān)系。

綜上所述，格林函數(shù)法的突出優(yōu)點(diǎn)是能夠獲得系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)的解析解，具有極高的精確性和可靠性。但尚未有學(xué)者得到旋轉(zhuǎn)管中管(PIP)耦合系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)的格林函數(shù)解。因此本文建立了輸送雙相內(nèi)流的旋轉(zhuǎn)管中管(PIP)結(jié)構(gòu)橫向強(qiáng)迫振動(dòng)的控制方程，并依次采用分離變量法、Laplace變換和Laplace逆變換得到系統(tǒng)的格林函數(shù)。對(duì)模型的控制方程進(jìn)行解耦將會(huì)得到單管模型、旋轉(zhuǎn)管道模型及無(wú)旋轉(zhuǎn)管中管結(jié)構(gòu)的格林函數(shù)。在數(shù)值討論部分，首先驗(yàn)證本文方法的可靠性，然后以懸臂結(jié)構(gòu)為例，研究不同參數(shù)對(duì)格林函數(shù)的影響，研究結(jié)果為旋轉(zhuǎn)管中管結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

1 旋轉(zhuǎn)PIP系統(tǒng)控制方程的建立

圖1為輸運(yùn)氣-液雙相流的旋轉(zhuǎn)PIP系統(tǒng)的力學(xué)模型，由長(zhǎng)度均為L(zhǎng)的外管、內(nèi)管以及兩管之間的保溫層組成。內(nèi)管中含有水平流動(dòng)的雙相流，UL、UG分別表示液相流速和氣相流速。根據(jù)力學(xué)性能將保溫層簡(jiǎn)化為沿著管長(zhǎng)方向分布的彈簧阻尼系統(tǒng)，且剛度系數(shù)為K，阻尼系數(shù)為C。為了便于識(shí)別，角標(biāo)i、o被用來(lái)區(qū)分內(nèi)管和外管的參數(shù)。內(nèi)管的內(nèi)外徑分別為di、Di，外管的內(nèi)外徑分別為do、Do。在系統(tǒng)的左側(cè)給出了系統(tǒng)的坐標(biāo)系，其中O為原點(diǎn)坐標(biāo)，z代表軸向方向，x和y表示兩個(gè)垂直的橫向方向。在軸向內(nèi)管受到軸向壓力Ni的作用，外管受到軸向壓力No的作用，在Oxz平面內(nèi)，外管受到指向y方向的均布載荷P(z,t)的作用，同時(shí)內(nèi)管和外管繞z軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速均為Ω。

圖1 含雙相流的旋轉(zhuǎn)PIP系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of spinning PIP system with two-phase flow

1.1 系統(tǒng)的動(dòng)能

用i、j、k分別表示沿著x軸、y軸和z軸的單位矢量，則內(nèi)管和外管上某一點(diǎn)的位移矢量ri、ro的表達(dá)式為

(1)

式中:u1、u2表示內(nèi)管任一點(diǎn)在x方向和y方向的位移;u3、u4為外管上任一點(diǎn)在x方向和y方向的位移;uz1、uz2分別表示內(nèi)外管在z方向的位移。

因此內(nèi)管與外管上任意一點(diǎn)的速度矢量表示為

(2)

在當(dāng)前的研究中，不考慮內(nèi)部雙相流隨系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)，因此液相和氣相的速度矢量形式為

(3)

旋轉(zhuǎn)管中管系統(tǒng)的動(dòng)能由內(nèi)管的動(dòng)能T1、外管的動(dòng)能T2、液相的動(dòng)能T3及氣相的動(dòng)能T4組成，它們的表達(dá)式分別為

(4a)

(4b)

(4c)

(4d)

根據(jù)Lannes等的雙相流滑移因子模型，得到氣體體積分?jǐn)?shù)ε、空化率α和滑移因子Ke的表達(dá)式為

(5)

式中:CG和CL分別表示單位長(zhǎng)度管內(nèi)氣相和液相的體積;QG和QL表示相應(yīng)的體積流量。因此在式(4)中，mG=ρGCG，mL=ρLCL,其中ρG和ρL分別為氣相和液相的密度。

此外，在雙相流滑移因子模型中，氣體體積分?jǐn)?shù)ε和滑移因子Ke的關(guān)系為

(6)

根據(jù)式(2)和(3)，單位長(zhǎng)度管內(nèi)的氣相的質(zhì)量mG和氣相流速UG可以表示為

(7)

綜上，旋轉(zhuǎn)PIP系統(tǒng)的總的動(dòng)能T表示為

T=T1+T2+T3+T4

(8)

1.2 系統(tǒng)的勢(shì)能

在本文的研究中，系統(tǒng)的勢(shì)能包含內(nèi)管的應(yīng)變能U1、外管的應(yīng)變能U2、保溫層的等效彈簧的彈性勢(shì)能U3及等效阻尼器的耗散能U4，它們的表達(dá)式為

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)

式中:Ei、Eo分別為內(nèi)管和外管的楊氏模量；Ii、Io分別為內(nèi)管和外管的截面慣性矩。

因此，系統(tǒng)的總勢(shì)能U可表示為

U=U1+U2+U3+U4

(10)

1.3 系統(tǒng)的外力功

旋轉(zhuǎn)PIP系統(tǒng)所受的外力有軸向壓力Ni、No，以及橫向的均布載荷P(z,t)。因此，系統(tǒng)的外力功可以表示為

(11)

1.4 系統(tǒng)的控制方程

采用廣義哈密頓變分原理進(jìn)行控制方程的建立，其表達(dá)式為

(12)

將式(8)、(10)、(11)代入式(12)，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)計(jì)算得到了旋轉(zhuǎn)PIP系統(tǒng)的四個(gè)控制方程，按順序分別為內(nèi)管在x方向、內(nèi)管在y方向、外管在x方向及外管在y方向的控制方程，表示如下

(13a)

(13b)

(13c)

(13d)

為了使得計(jì)算變得簡(jiǎn)潔，引入以下無(wú)量綱量

(14)

將式(14)代入旋轉(zhuǎn)PIP結(jié)構(gòu)橫向振動(dòng)的控制方程中，得到了考慮雙相流及軸向壓力的旋轉(zhuǎn)PIP系統(tǒng)的無(wú)量綱控制方程為

(15a)

(15b)

(15c)

(15d)

在表1中給出了本文模型的幾種無(wú)量綱的邊界類型，其中η用來(lái)指代管中管系統(tǒng)的無(wú)量綱位移η1、η2、η3和η4，撇號(hào)代表對(duì)無(wú)量綱位置ξ的微分。

表1 模型的幾種邊界條件Tab.1 Several boundary conditions of the model

2 格林函數(shù)法求解

2.1 PIP系統(tǒng)的格林函數(shù)解

在本文的研究中，橫向外力為簡(jiǎn)諧力，即

p(ξ,τ)=q(ξ)eiωτ

(16)

式中，ω為無(wú)量綱外激頻率。

旋轉(zhuǎn)PIP系統(tǒng)的控制方程，即式(15)的解可以表示為以下形式

η1(ξ,τ)=X1(ξ)eiωτ,η2(ξ,τ)=X2(ξ)eiωτ

η3(ξ,τ)=X3(ξ)eiωτ,η4(ξ,τ)=X4(ξ)eiωτ

(17)

將式(17)代入式(15)，化簡(jiǎn)后可得

(18)

式中，系數(shù)aj、bj、cj、dj(j=1,2,3,4)的表達(dá)式為

(19)

根據(jù)格林函數(shù)的定義，可知式(18)的格林函數(shù)解與下式相同

(20)

式中，δ(·)為狄拉克函數(shù)。

獲得系統(tǒng)橫向振動(dòng)的格林函數(shù)的方法有很多，拉普拉斯變換及拉普拉斯逆變換是較為便捷的一種。對(duì)式(20)中的無(wú)量綱位置變量ξ進(jìn)行拉普拉斯變換，整理可得相應(yīng)得象函數(shù)為

(21a)

(21b)

(21c)

(21d)

式中，λmn(m=1,2,3,4;n=1,2,3,4)為M(s)的m行n列的代數(shù)余子式。M(s)的表達(dá)式為

(22)

其中，M1、M2、M3和M4的表達(dá)式如下

(23)

通過(guò)對(duì)式(21)執(zhí)行拉普拉斯逆變換，便得到了相應(yīng)的四個(gè)格林函數(shù)Gm(ξ,ξ0)(m=1,2,3,4)為

X?4(0)Φm16(ξ)+Φm16(ξ-ξ0)H(ξ-ξ0)

(24)

利用所求得的四個(gè)格林函數(shù)及線性疊加原理，便可求得旋轉(zhuǎn)PIP系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)內(nèi)外管在x方向和y方向的響應(yīng)解ηm(ξ,τ)(m=1,2,3,4)為

(25)

2.2 格林函數(shù)中未知系數(shù)的計(jì)算

利用表1中不同的邊界條件，可以求出相對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)解的未知參數(shù)。利用旋轉(zhuǎn)PIP系統(tǒng)的格林函數(shù)解Gm(ξ,ξ0)(m=1,2,3,4)對(duì)無(wú)量綱位置坐標(biāo)ξ的第一～三階導(dǎo)數(shù)，并取ξ=1，整理得到下式

(26)

式中，Qmn(m=1,2,3,4;n=1,2,3,4)均為四行四列的矩陣，它們的表達(dá)式如式(27)所示；Xm(m=1,2,3,4)為左邊界條件列陣，Gm(m=1,2,3,4)為右邊界條件列陣，fm(m=1,2,3,4)為外激勵(lì)項(xiàng)列陣，它們的表達(dá)式在式(28)中給出。

(27a)

(27b)

(27c)

(27d)

(28a)

(28b)

(28c)

式中，Ψ=1-ξ0。

根據(jù)表1將所對(duì)應(yīng)的邊界條件代入式(25)，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)計(jì)算便得到了式(24)相對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)中的未知左邊界系數(shù)。將求解得到的左邊界系數(shù)和已知的邊界條件代入式(24)，便得到了完整的旋轉(zhuǎn)管中管系統(tǒng)的四個(gè)格林函數(shù)解。

3 數(shù)值結(jié)果及討論

本文所研究的PIP系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)為：長(zhǎng)為L(zhǎng)=10 m，內(nèi)管的內(nèi)徑為di=0.16 m，內(nèi)管的外徑為Di=0.22 m，外管內(nèi)徑do=0.22 m，外管外徑Do=0.26 m，內(nèi)、外管的彈性模量均為2×1011N/m2，密度均為7 850 kg/m3，液相內(nèi)流密度為ρL=1 000 kg/m3，氣相內(nèi)流密度為ρG=1.2 kg/m3。

3.1 解的有效性驗(yàn)證

本小節(jié)忽略保溫層的作用和旋轉(zhuǎn)的影響，通過(guò)解耦得到了無(wú)旋轉(zhuǎn)輸流管橫向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型。利用格林函數(shù)法求解了兩端都為簡(jiǎn)支邊界的輸流管模型的橫向振動(dòng)。驗(yàn)證部分結(jié)構(gòu)模型及材料屬性的相關(guān)參數(shù)取自于馬騰等，無(wú)量綱參數(shù)βi的取值為0.5，內(nèi)流取為單相流，并取三組無(wú)量綱內(nèi)流流速uL分別為0、1和2。通過(guò)改變外激頻率ω，得到了三種無(wú)量綱內(nèi)流流速下，在0.7位置處作用單位簡(jiǎn)諧載荷時(shí)0.1處的幅頻曲線。圖2給出了在三種內(nèi)流流速下前三階無(wú)量綱固有頻率曲線規(guī)律，其具體數(shù)值在表2中給出。通過(guò)與馬騰等采用改進(jìn)傅里葉法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)采用本文的方法得到的結(jié)果與參考文獻(xiàn)基本一致。兩種方法存在誤差的原因主要是馬騰等采用的改進(jìn)傅里葉法存在截?cái)嗾`差，在求解系統(tǒng)的頻率時(shí)會(huì)與精確解產(chǎn)生明顯的誤差。而本文的格林函數(shù)法得到的解為精確的解析解，更精確與可靠。

表2 具有不同內(nèi)流流速的模型的無(wú)量綱頻率Tab.2 Dimensionless frequencies of models under different boundaries

3.2 不同參數(shù)對(duì)無(wú)旋轉(zhuǎn)PIP系統(tǒng)的影響

本小節(jié)以不旋轉(zhuǎn)的懸臂PIP系統(tǒng)為研究對(duì)象，研究氣體體積分?jǐn)?shù)、軸向壓力、內(nèi)流流速及彈簧剛度系數(shù)對(duì)系統(tǒng)格林函數(shù)基礎(chǔ)響應(yīng)的影響。

圖3展示了外激勵(lì)頻率為ω=20時(shí)，含有不同氣體體積分?jǐn)?shù)的無(wú)旋轉(zhuǎn)懸臂管中管系統(tǒng)的格林函數(shù)解。計(jì)算時(shí)的相關(guān)無(wú)量綱參數(shù)為k=300、c=2、uL=3、pi=0、po=0。設(shè)置了三組氣體體積分?jǐn)?shù)分別為0、0.4和0.8，且力的作用點(diǎn)為ξ0=1。由于無(wú)旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的響應(yīng)只會(huì)在受力的y方向產(chǎn)生，表示x方向響應(yīng)的G1(ξ,1)與G3(ξ,1)都為0，因此不在圖中給出。從圖中可以看到，在內(nèi)流的作用下，此時(shí)內(nèi)管與外管在x方向的格林函數(shù)基礎(chǔ)響應(yīng)G2(ξ,1)與G4(ξ,1)的響應(yīng)是呈整體相反趨勢(shì)的。隨著氣體體積分?jǐn)?shù)的增大，G4(ξ,1)在靠近固定端的一側(cè)幾乎不變，在靠近自由端的一側(cè)逐漸增大。而G2(ξ,1)在ξ小于7.8時(shí)，隨著氣體體積分?jǐn)?shù)的增大響應(yīng)逐漸增大，在靠近自由端時(shí)表現(xiàn)出相反的規(guī)律。

圖3 具有不同氣體體積分?jǐn)?shù)的無(wú)旋轉(zhuǎn)懸臂PIP系統(tǒng)的格林函數(shù)Fig.3 Green’s functions of non-spinning cantilever PIP system with different gas volume fractions

圖4所示為無(wú)量綱彈簧剛度系數(shù)分別為0、100、200的無(wú)旋轉(zhuǎn)懸臂PIP系統(tǒng)橫向強(qiáng)迫振動(dòng)的格林函數(shù)解G2(ξ,1)與G4(ξ,1)。為了使得結(jié)果對(duì)比清晰，忽略了阻尼、軸力及流速的影響，即取c=0、uL=0、pi=0、po=0、uL=0、εG=0。并且設(shè)置了三組無(wú)量綱彈簧剛度系數(shù)分別為0、100、200，無(wú)量綱外激頻率取為30。從圖4中可以清楚地發(fā)現(xiàn)，在此條件下，隨著彈簧剛度系數(shù)的增大，外管的響應(yīng)逐漸減小，而內(nèi)管的響應(yīng)逐漸增大。

圖4 具有不同剛度系數(shù)的無(wú)旋轉(zhuǎn)懸臂PIP系統(tǒng)的格林函數(shù)Fig.4 Green’s functions of non-spinning cantilever PIP system with different stiffness coefficients

圖5給出的是無(wú)旋轉(zhuǎn)懸臂PIP系統(tǒng)施加不同的外管軸向壓力po時(shí)的格林函數(shù)解G2(ξ,1)和G4(ξ,1)。計(jì)算時(shí)，其他的無(wú)量綱參數(shù)為k=200、c=2、uL=0、pi=0、εG=0，且此時(shí)的無(wú)量綱外激頻率為ω=20。三組無(wú)量綱外管軸力為0、4、8，隨著軸力的改變，內(nèi)管與外管在y方向上的格林函數(shù)解也隨之發(fā)生變化。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，在該條件下，隨著外管軸向壓力的增大，內(nèi)管自由端的響應(yīng)隨之增大。而外管表現(xiàn)的較為復(fù)雜，在靠近固定端一側(cè)響應(yīng)隨著外管軸向壓力的增大而減小，在自由端是先減小后增大。

圖5 具有不同軸向壓力的無(wú)旋轉(zhuǎn)懸臂PIP系統(tǒng)的格林函數(shù)Fig.5 Green’s functions of non-spinning cantilever PIP system with different axial pressures

圖6表示了液相流速uL分別為0、2、4時(shí)無(wú)旋轉(zhuǎn)懸臂PIP系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)的格林函數(shù)解G2(ξ,1)與G4(ξ,1)。計(jì)算時(shí)無(wú)量綱外激頻率為ω=30，而其他相關(guān)參數(shù)的取值分別為k=200、c=2、pi=0、po=0、εG=0。隨著流速的變化，內(nèi)外管受力向的格林函數(shù)解也相應(yīng)地發(fā)生變化。其中內(nèi)管受流體直接的作用，在固定端一側(cè)響應(yīng)隨著流速的增大而減小，而在自由端一側(cè)，流速為0和2時(shí)幾乎相同，當(dāng)流速繼續(xù)增大為4時(shí)才表現(xiàn)出不同的形式。由于彈性層的作用，外管也會(huì)受到內(nèi)流的影響，其格林函數(shù)解在固定端一側(cè)隨著流速的增大而增大，而在自由端一側(cè)則是隨著流速的增大而減小。

圖6 具有不同內(nèi)流流速的無(wú)旋轉(zhuǎn)懸臂PIP系統(tǒng)的格林函數(shù)Fig.6 Green’s functions of non-spinning cantilever PIP system with different flow velocity

3.3 旋轉(zhuǎn)速度與內(nèi)流流速的綜合影響

本小節(jié)考慮了旋轉(zhuǎn)的影響，討論了旋轉(zhuǎn)速度和內(nèi)流流速對(duì)外激頻率為ω=10時(shí)的系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)的格林函數(shù)解的影響。計(jì)算時(shí)，不考慮軸向壓力、氣體體積分?jǐn)?shù)、彈簧剛度系數(shù)等因素的影響，相關(guān)無(wú)量綱不變量取為k=300、c=2、pi=0、po=0、εG=0。無(wú)量綱液相流速uL的范圍為0～1，無(wú)量綱旋轉(zhuǎn)速度Ω*的取值范圍為0～20。結(jié)果在圖7中以云圖的形式表示。

圖7表示了此時(shí)條件下管中管結(jié)構(gòu)ξ=1點(diǎn)受單位簡(jiǎn)諧力時(shí)ξ=1處的格林函數(shù)響應(yīng)解的響應(yīng)云圖。其中G1(1,1)和G3(1,1)分別表示內(nèi)管和外管在x方向的基礎(chǔ)響應(yīng)，而G2(1,1)和G4(1,1)分別表示內(nèi)管和外管在y方向的基礎(chǔ)響應(yīng)。從圖7(a)和圖7(b)中可以看到，內(nèi)管產(chǎn)生了復(fù)雜的響應(yīng)，這種現(xiàn)象歸因于內(nèi)外管的相互作用，式(13a)和(13b)中彈性層的剛度項(xiàng)和阻尼項(xiàng)使系統(tǒng)內(nèi)外管產(chǎn)生耦合作用。從圖7(c)和圖7(d)中可以看到，當(dāng)有轉(zhuǎn)速存在時(shí)，雖然系統(tǒng)的受力方向?yàn)閥方向，但是由于旋轉(zhuǎn)耦合作用的影響，系統(tǒng)在x方向也會(huì)產(chǎn)生較大的響應(yīng)，這個(gè)現(xiàn)象是由方程(13c)和(13d)中的旋轉(zhuǎn)科氏效應(yīng)引起的。此外，從圖中可以清楚地看到，在低流速且無(wú)量綱旋轉(zhuǎn)速度Ω*在7或13附近時(shí)，內(nèi)、外管的兩個(gè)方向上會(huì)產(chǎn)生較高重合度的共振帶，且轉(zhuǎn)速和流速的變化會(huì)影響共振區(qū)間。從方程(13)中可以看出，由于內(nèi)外管x和y方向的旋轉(zhuǎn)科氏力項(xiàng)符號(hào)相反，系統(tǒng)固有頻率會(huì)出現(xiàn)分岔，且旋轉(zhuǎn)速度和內(nèi)流流速會(huì)改變系統(tǒng)剛度，進(jìn)而使得系統(tǒng)的固有頻率發(fā)生變化；當(dāng)外激頻率接近管中管結(jié)構(gòu)中內(nèi)管或外管某一個(gè)方向的固有頻率時(shí)，系統(tǒng)就會(huì)發(fā)生共振。在內(nèi)管或外管某一方向上發(fā)生共振時(shí)通過(guò)彈簧層的作用使得其他方向上產(chǎn)生了較大的響應(yīng)，進(jìn)而會(huì)影響系統(tǒng)的正常工作，降低結(jié)構(gòu)的可靠性，引起結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)與破壞。因此，在工程中需要避免接近圖7中所示的共振帶。

4 結(jié) 論

本文建立了計(jì)入氣-液雙相流和軸向外載的旋轉(zhuǎn)管中管結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，采用格林函數(shù)法進(jìn)行了求解，得到了適用于各種邊界條件的旋轉(zhuǎn)管中管結(jié)構(gòu)橫向振動(dòng)的格林函數(shù)。根據(jù)線性疊加原理，得到了旋轉(zhuǎn)管中管結(jié)構(gòu)橫向強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)的解析解。本文的結(jié)果同樣適用于具有不同邊界條件的無(wú)旋轉(zhuǎn)單管、無(wú)旋轉(zhuǎn)雙管及旋轉(zhuǎn)單管結(jié)構(gòu)的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題的研究。在數(shù)值分析與討論部分，利用格林函數(shù)法得到以下結(jié)論：

(1) 通過(guò)格林函數(shù)幅頻特性曲線獲得了具有不同內(nèi)流流速的無(wú)旋轉(zhuǎn)輸流管模型的前三階固有頻率。經(jīng)過(guò)與參考文獻(xiàn)的結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證了格林函數(shù)解的高精確性和本文方法的可靠性。

(2) 以懸臂管中管結(jié)構(gòu)為例，討論了氣體體積分?jǐn)?shù)、內(nèi)流流速、彈簧剛度系數(shù)和軸向壓力等對(duì)無(wú)旋轉(zhuǎn)管中管結(jié)構(gòu)的格林函數(shù)響應(yīng)的影響。在本文所取的條件下，隨著氣體體積分?jǐn)?shù)的增大，內(nèi)外管自由端的格林函數(shù)響應(yīng)均減小；隨著軸向壓力或內(nèi)流流速的增大，內(nèi)外管自由端的格林函數(shù)響應(yīng)均增大；隨著彈簧剛度系數(shù)的增大，內(nèi)管自由端的格林函數(shù)響應(yīng)增大，而外管自由端的格林函數(shù)響應(yīng)減小。

(3) 當(dāng)無(wú)量綱外激頻率為10時(shí)，在關(guān)于流速和轉(zhuǎn)速的格林函數(shù)云圖中，發(fā)在現(xiàn)內(nèi)外管的兩個(gè)橫向振動(dòng)方向上會(huì)產(chǎn)生較高重合度的響應(yīng)帶。且當(dāng)Ω*在7或13附近且uL小于1時(shí)，管中管結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生顯著的共振現(xiàn)象。工程中需要選取遠(yuǎn)離共振帶的的轉(zhuǎn)速與流速以避免產(chǎn)生過(guò)大的響應(yīng)，以免引起結(jié)構(gòu)的破環(huán)。