趙爽與《周髀算經》

吳文俊

趙爽是中國歷史上著名的數學家與天文學家.他在數學上的主要貢獻是為《周髀算經》寫了序言，并作了詳細的注釋.他對《周髀算經》的研究包括三個方面：一是為書中文字作注解;二是進行較詳細的數學理論推演;三是為其補圖.他在序中說：“其（《周髀算經》）旨約而遠，其言曲而中，將恐廢替濡滯不通，使談天者無所取則，輒依經為圖，誠冀頹毀重仞之墻，披露堂室之奧.”現傳《周牌算經》中的圖形均為趙爽所補.

《周牌算經》是中國古老的天文學和數學著作.就其數學內容看，主要有三方面：其一，相當復雜的分數乘除運算，在開方運算中有六位有效數字的答數;其二，用勾股定理計算距離;其三，測量太陽的高度.趙爽為《周髀算經》作注釋時，作過“勾股圓方圖”“日高圖”“七衡圖”以及各種“弦圖”，還用黃、朱、青三種顏色來標記圖形中的不同部位.從現傳本趙爽注中可以看到，他在插圖上確實下過大功夫.

現用現代數學語言對“勾股圓方圖”“日高圖”注作出解釋.為歸類方便，改變了某些命題的前后次序.

一、勾股圓方圖注中的命題

第一組

命題1：“勾、股各自乘，并之為弦實.”

記直角三角形勾、股、弦分別為a、b、c.（如圖1）

該命題是說，a+b=c.

推論：“開方除之，即弦.”

證明：“按弦圖一又可以勾、股相乘為朱實二，倍之為朱實四.以勾股之差自相乘，為中黃實·加差實一，亦成弦實.”

以勾、股作為長方形的兩條邊，其面積是朱色直角三角形的2倍.以勾、股的差為邊作中間的黃色正方形，其面積加上4個朱色三角形的面積，即為以弦為邊的正方形的面積.（如圖2）

第二組

命題2：“以差實減弦實，半其余，以差為從法.開方除之，復得勾矣.”

命題3：“加差于勾，即股.”

命題4：“倍股在兩邊，為從法.開矩勾之角，即股弦差.”

命題5：“加股為弦.”

該命題可表示為：已知a、b，求c-b、c.趙爽認為所求c-b是二次方程x+2bx=a的根，而c=b+（c-b）.

命題6：“倍勾在兩邊，為從法.開矩股之角，即勾弦差.”

命題7：“加勾為弦.”

這是命題4、5的對偶命題.

第三組

命題8：“凡并勾、股之實，即成弦實.或方于內，或矩于外.形詭而量均，體殊而數齊.”

這是說，以弦為邊的正方形的面積是以勾、股為邊的正方形面積之和.在以弦為邊的正方形內截去以股（或勾）為邊的正方形，余下的曲尺形面積等于以股（或勾）為邊的正方形的面積.（《周牌算經》趙爽注中弦圖二）二者的形狀不同，然而它們的面積卻是相等的.

命題9：“勾實之矩以股弦差為廣，股弦并為表，而股實方其里.減矩勾之實于弦實.開其余，即股.”

命題10：“以差除勾實，得股弦并.”

命題11：“以并除勾實，亦得股弦差.”

命題12：“令并自乘，與勾實為實.倍并為法，所得亦弦.”

命題13：“勾實減并自乘，如法為股.”

由命題9可知兩個正方形的面積（c+b）與a之差是以c+b與2b為邊的長方形的面積之和.

第四組

命題14：“股實之矩以勾弦差為廣，勾弦并為袤，而勾實方其里.減矩股之實于弦實.開其余，即勾.”（《周牌算經》趙爽注中弦圖三）

命題15：“以差除股實，得勾弦并.”

命題16：“以并除股實，亦得勾弦差.”

命題17：“令并自乘，與股實為實.倍并為法，所得亦弦.”

命題18：“股實減并自乘，如法為勾.”

命題14～18依次為命題9～13的對偶命題.

第五組

命題19：“兩差相乘，倍而開之.所得.以股弦差增之.為勾.”（《周牌算經》趙爽注中弦圖四）

命題20：“以勾弦差增之，為股.”

命題21：“兩差增之，為弦.”

第六組

命題22：“令并自乘，倍弦實乃減之.開其余，得中黃方.”

命題23：“黃方之面，即勾股差.”

命題24：“以差減并，而半之，為勾.”

命題25：“加差于并，而半之，為股.”

證明：“以圖考之，倍弦實滿外大方而多黃實.黃實之多，即勾股差實.以差實減之，開其余，得外大方.大方之面，即勾股并也.”

趙爽用出入相補原理證明倍弦實、外大方與黃實之間的面積關系.（如圖4）

第七組

命題26：“其倍弦為廣袤合.令勾股見者自乘為其實.四實以減之.開其余，所得為差.”

命題27：“以差減合.半其余，為廣.”

命題28：“減廣于倍弦，即所求也.”

如果把所求長、寬視為二次方程的兩根x，x那么趙爽的命題相當于：已知x+x=2c，xx=a，所求數為二次方程x-2cx+a=0的兩根，而且根與系數的關系類似于韋達定理.

二、日高圖注中的命題

趙爽在日高圖注中用出入相補原理提出并證明劉徽公式1.

命題1：“黃甲與黃乙其實相等.”

這是說，平行四邊形IT全等于平行四邊形OE.由平行四邊形KD及對角線KD可得以公共頂點G的平行四邊形JT全等于平行四邊形NE.又由平行四邊形KD及對角線KD可得以公共頂點I的平行四邊形JS全等于平行四邊形LU.又作IU=SD=GQ，平行四邊形NQ（青己）全等于平行四邊形LU全等于平行四邊形JS（青丙）.做一次減法得平行四邊形IT（黃甲）全等于平行四邊形OE（黃乙）.

命題2：“以表高（IS）乘兩表相去（ST）為黃甲之實，以影差（TD2-SD1）為黃乙之廣而一，所得則變得黃乙之袤（PE）.”

綜合命題1、2得劉徽公式1.

由命題1可計算出兩個長方形的邊長，推出“日去表頂”的距離.

命題3：“按日高圖加表高（得日去地）.”

證明：“青丙與青己其實亦等.黃甲與青丙相連，黃乙與青己相連，其實亦等.”

但是從現存文獻看，《周牌算經》趙爽注和《九章算術》劉徽注所用數學用語非常一致，其有關證明方法也十分類似，由此可知，這些算術知識為漢魏時期數學家們的共同見識.

趙爽在數學上的貢獻表現在三大方面：一是列出了一元一次方程的一個求根公式，以及由此證明了根與系數之間存在的關系;二是奠定了重差術的理論基礎;三是提出了一種證明勾股定理的簡潔方法油此可見，無論是在演算方法還是數學思想方面，趙爽對中國傳統數學的發展都作出了重要貢獻，在世界數學領域具有崇高地位.

——摘自《中國數學史大系·第三卷》