談談解答圓錐曲線中定點問題的兩種思路

王平 崔小林

圓錐曲線中定點問題具有較強的綜合性，且命題形式多種多樣.解答圓錐曲線中的定點問題，通常需靈活運用圓錐曲線的方程、定義、幾何性質(zhì)、一元二次方程的判別式、韋達定理、直線的方程、斜率等.

求解圓錐曲線中的定點問題，一般有兩種思路.第一種思路：先從特殊情況入手，確定定點的坐標，再證明定點與變量無關即可.第二種思路：先從一般情況入手，通過推理、運算，求得定點的坐標，或證明定點與變量無關.

（1）求橢圓C的方程;

（2）如圖，若直線l：x=t（t>2）與x軸交于點T，點P為直線l上異于點T的任意一點，直線PA，PA分別與橢圓C交于M，N點.試問直線MN是否恒過橢圓C的焦點？如果是，請說明理由.

分析：我們根據(jù)題意很難找到特殊的情形，所以無法從特殊情況入手，需采用第二種思路求解.可根據(jù)題意分別設出點M、N、直線AM、AN的斜率以及方程，然后將直線的方程與橢圓的方程寐立，得到一元二次方程，根據(jù)韋達定理求得的坐標以及直線MN的方程，據(jù)此判斷出直線MN是否恒過橢圓的焦點.

（2）設M（x，y），N（x，y），直線AM的斜率為k，直線AN的斜率為k，

則直線A₁M方程為y=k（x+2），直線AN的方程為y=k（x-2），

消去y得（1+4k）x+16kx+16k-4=0，

因為-2和x是方程的兩個根，

由于P點在直線PA，PA上，尸點的橫坐標為t，

即直線MN與x軸的交點在橢圓C內(nèi).

在判斷直線是否恒過某一定點（x，y）時，如果直線的方程明確，則可根據(jù)直線的點斜式方程y-y=k（x-x）或截距式方程y=kx+b來求得定點的坐標;如果直線的方程不確定，則需根據(jù)題目中的條件求出直線的方程，然后根據(jù)直線的方程求得定點的坐標.

由此可見，第二種思路的適用范圍較廣.而運用第二種思路求解圓錐曲線中的定點問題，往往需按照以下步驟操作：

1.設出參數(shù)，如點的坐標、斜率、截距等，得出直線、圓錐曲線的方程;

2.根據(jù)題意建立關系式，求得一個直線系或曲線的方程;

3.根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點，即為所求的定點.

另外，在設直線的斜率或方程時，務必要考慮全面，不要忽略直線的斜率為0或不存在的特殊情形.