例談運用代數法判斷直線與雙曲線位置關系的思路

姜艷

判斷直線與雙曲線位置關系的方法主要有代數法和幾何法.運用幾何法來判斷直線與雙曲線的位置關系較為便捷，且運算量較小，因而很多同學習慣于運用幾何法，而忽略了代數法.下面著重研究一下如何用代數法判斷直線與雙曲線的位置關系.

一、直線與雙曲線的位置關系

直線與雙曲線的位置關系有三種：相交（如圖1、2）、相切（如圖3）、相離（如圖4）.當直線與雙曲線相交于一點時，直線與雙曲線的漸近線是平行的.當直線與雙曲線相切時，切點是唯一的公共點.

二、用代數法判斷直線與雙曲線位置關系的思路

1.當直線的斜率存在時，設直線l：y=kx+m，將直線的方程代入雙曲線的方程中得（b-ak）x- 2akmx-a（m+b）=0（1）.

方程（1）是關于x的方程，且二次項的系數中含有參數，所以此方程可能是一元二次方程，也可能不是.

若b-ak≠0，方程（1）是一元二次方程，它的解有三種情況.當△>0時，方程有2個解，直線l與雙曲線C相交于兩點;當△=0時，方程有1個解，直線l與雙曲線C相切于一點;當△<0時，方程無解，直線l與雙曲線C相離.

2.當直線的斜率不存在時，設直線l：x=n，將直線的方程代入雙曲線的方程中得bn-ay=ab（2），方程（2）是關于y的方程，且y的系數不等于零，所以方程（2）是關于y的一元二次方程，它的解有三種情況.當△>0時，方程有2個解，直線l與雙曲線C相交于兩點;當△=0時，方程有1個解，直線l與雙曲線C相切于一點;當△<0時，方程無解，直線l與雙曲線C相離.

總之，不管直線的斜率存不存在，只要將直線的方程代入到雙曲線的方程中，消去一個未知數，就可以得到一個關于x或y的方程，若該方程是一元一次方程，則直線與雙曲線相交于一點;若該方程是一元二次方程，則需判斷其判別式△與0之間的關系.若△>0，則直線與雙曲線相交于兩點;若△=0，則直線與雙曲線相切于一點，若△<0，則直線與雙曲線相離.

例題：已知直線l：kx-y+2=0，雙曲線C：x-4y=4，當k為何值時，（1）l與C無公共點？（2）l與C有唯一的公共點？

分析：（1）l與C無公共點，即l與C相離，需將直線的方程代入到雙曲線的方程中，得到一元二次方程，使其△<0，且保證二次項系數不等于0.（2）l與C有唯一的公共點可能是交點，也可能是切點，需分兩種情況討論.

解：（1）將y=kx+2代入x-4y=4中得（1-4k）x-16kx-20=0，

要使l與C無公共點，

可見，用代數法判斷直線與雙曲線的位置關系，需注意三點：（1）熟悉直線與雙曲線的三種位置關系，及其與一元二次方程根的對應關系;（2）構造一元二次方程，討論其二次項的系數和△;（3）明確直線與雙曲線只有1個交點包含了兩種情況.