“雙管齊下”，求圓錐曲線的離心率

楊憲偉

1.代數(shù)法

代數(shù)法是指從圓錐曲線的方程出發(fā)，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算求得a、c的值或其關(guān)系式，從而求得離心率e.運(yùn)用代數(shù)法求圓錐曲線的離心率，需根據(jù)題意和圓錐曲線的方程，建立關(guān)于a、b、c的關(guān)系式，再根據(jù)橢圓、雙曲線中a、b、c的關(guān)系求得圓錐曲線的離心率.

2.幾何法

幾何法是根據(jù)圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)、平面幾何圖形的性質(zhì)來(lái)解題的方法.在運(yùn)用幾何法求圓錐曲線的離心率時(shí)，要通過(guò)分析圖形，發(fā)現(xiàn)一些幾何關(guān)系，如平行關(guān)系、垂直關(guān)系、線段的相等、半、倍關(guān)系等，然后利用三角形中線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)求得橢圓或者雙曲線的半焦距、長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、實(shí)半軸長(zhǎng)及其關(guān)系式，最終求得圓錐曲線的離心率.

解法一（代數(shù)法）：由題意可知F（c，0），A（a，0），設(shè)B（m，n），

因?yàn)镕，B，M三點(diǎn)共線，

所以n（a-3m）=-3n（m-c），即a=3c，

解法二（幾何法）：如圖1，設(shè)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM為△ABC的中位線，所以橢圓的離心率

解法一是借助向量的共線定理來(lái)建立之間的關(guān)系式，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算求得橢圓的離心率.解法二是利用了三角形的中位線的性質(zhì)，借助圖形，建立橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、半焦距之間關(guān)系，求得問(wèn)題的答案.

解法一（代數(shù)法）：由題意可得F（c，0）

設(shè)A為線段OF的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，

則a-b=36，

可得a-85a+324=0，解得a=81或a=4（舍去），

解法一是根據(jù)題意建立關(guān)于a、b、c的方程組，通過(guò)解方程求得a、c的值.解法二是通過(guò)添加輔助線，利用勾股定理和垂直平分線的性質(zhì)尋找到有關(guān)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、半焦距的幾何關(guān)系，從而運(yùn)用幾何法求得問(wèn)題的答案.

解法一（代數(shù)法）：由題意可知A（-a，0），設(shè)P（x，y），

而△PFF為等腰三角形，∠FFP=120°，

由①②③可得：a+4ac-32c=0，

解法二（幾何法）：如圖3，作PB⊥x軸于點(diǎn)B.

解法一（代數(shù)法）：由題意可知A（-a，0），B（a，0），

設(shè)G（0，m），則E（0，2m），則直線BM的方程為：

解法一是根據(jù)兩條直線的方程建立關(guān)于a、c的方程組，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算求得e的值.解法二是根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)，尋找到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)建立幾何關(guān)系，求得橢圓的離心率.

解法二（幾何法）：由圓的幾何性質(zhì)可知，△POQ是等腰直角三角形，

解答本題，可以通過(guò)聯(lián)立曲線的方程進(jìn)行求解，也可構(gòu)造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)來(lái)求解.

我們可以看到，運(yùn)用代數(shù)法和幾何法求圓錐曲線離心率的思路完全不同.利用代數(shù)法解題，關(guān)鍵要建立關(guān)于a、c的關(guān)系式，可借助向量、構(gòu)建方程組、構(gòu)造二次齊次式等方式來(lái)建立關(guān)系式.運(yùn)用幾何法解題，需先畫(huà)出圖形，明確橢圓或者雙曲線的半焦距、長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、實(shí)半軸長(zhǎng)及其與三角形、矩形、平行四邊形等幾何圖形的位置關(guān)系，再利用平面幾何知識(shí)來(lái)求解.相比較而言，幾何法較為簡(jiǎn)單，但通常要添加合適的輔助線，運(yùn)用代數(shù)法求解的運(yùn)算量較大，但其思路較為簡(jiǎn)單.同學(xué)們可根據(jù)解題需求和自己熟悉的知識(shí)點(diǎn)選擇最佳的方案進(jìn)行求解.