如何求解有關圓錐曲線中的焦點三角形問題

石小卉

圓錐曲線的焦點三角形是指以圓錐曲線的焦點為頂點，且其他頂點在圓錐曲線上的三角形.有關圓錐曲線焦點三角形問題在解析幾何中比較常見，此類問題具有較強的綜合性，且計算量較大.有關圓錐曲線的焦點三角形問題主要有三種：離心率問題、曲線的方程問題、三角形面積問題.下面結合實例來探討一下這三類問題及其解法.

一、離心率問題

解：如圖，過點F作FN⊥AB交AB于點N，

由雙曲線定義可得，

二、曲線的方程問題

與圓錐曲線焦點三角形有關的曲線方程問題比較常見，一般要求動點的軌跡方程或者圓錐曲線的方程.解題的大致思路為：①設出圓錐曲線的方程或動點的坐標，②根據圓錐曲線的定義、焦點三角形的性質、三角形面積公式、余弦定理等，得到a、b的值，或與動點有關的式子，即可解題.

在△FPF中，由余弦定理可得

由①②③可得4c=4a+8，∴b=2，

解答本題，需先根據題意設出雙曲線的方程，然后根據雙曲線焦點三角形的特點、余弦定理、雙曲線的定義、三角形的面積公式建立關于a、c的關系式，求得雙曲線的方程.

三、三角形的面積問題

解答與圓錐曲線焦點三角形有關的面積問題，往往需根據圖形，明確焦點三角形的位置以及邊角關系，然后聯立過焦點的弦以及圓錐曲線的方程，得到一元二次方程，再利用韋達定理、弦長公式、三角形的面積公式求得三角形的面積或者取值范圍.

設直線l：y=kx+m，

化簡得（1+4k）x+8kmx+4（m-1）=0，

∴Δ=64km-16（m-1）（1+4k）=0，

∴1+4k=m，

∴△AOB的面積最小值為2.

解答與圓錐曲線焦點三角形有關的問題，要明確橢圓、雙曲線焦點三角形的特點，根據圓錐曲線的性質和定義建立焦點三角形三邊之間的聯系，構建關于a、c的關系式，這樣便能快速找到解題的突破口，順利解題.