高中數學立體幾何平面化思想的實踐探究

周玉珍

摘要：立體幾何，是平面幾何的延伸，是從空間的二維向三維自然過渡的過程.立體幾何問題，需要學生具備空間想象與推理論證能力，學生在解題時不易發現幾何體中隱藏的數量與位置關系，從而影響解題.應用立體幾何平面化思想，將問題轉化到平面幾何的知識范疇后，圖形里的線線、線面關系將會一覽無余地呈現，這樣就能化難為易、化繁為簡.因此，立體幾何問題解題時，思路是平面化思想，將空間問題轉化到更容易觀察的平面上，應用初中平面幾何相關的知識定理，使問題得以解決.

關鍵詞：立體幾何;平面化;轉化;平面幾何

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）18-0061-03

1 高中數學立體幾何與平面幾何的關聯與對應

高中數學立體幾何，是初中平面幾何的延伸，二者同屬幾何學，知識方法具有關聯性.平面幾何培養學生的推理論證能力和代數化簡能力，而立體幾何培養學生的邏輯推理與空間想象能力.教師在立體幾何中的教學方式，只有符合學生的認知發展規律，能夠引導學生觀察、類比、歸納，才能取得良好的教學效果.學生在立體幾何中的學習方式，只有完善思維結構特征，能夠將問題分析、遷移、轉化，才能取得良好的學習效果.而學習立體幾何，可以借助平面幾何類比得到立體幾何，或將立體幾何轉化得到平面幾何，二者在教學與學習中既有統一性，又有關聯性.作為平面幾何的延伸，立體幾何在知識、方法及思想上和平面幾何是相呼應的，其本質是二維對三維的對應關系.

2 高中數學立體幾何的平面化思想的定義

立體幾何的平面化思想，即將空間中的點、線、面的關系，通過轉化的思想，使之轉化到某一個平面內，利用平面幾何相關的知識、定理進行研究的思想方法.在解決問題時，抓住平面幾何圖形的特征，比如三角形的中位線原理，三角形全等原理，三角形的相似比關系，或者通過解三角形，得到題目所需的代數、幾何關系，對于更為復雜的幾何問題，應用轉化與化歸、函數與方程、數形結合等思想解決問題.

3 高中數學立體幾何問題應用平面化思想的對策

3.1 平面抽離法

當幾何體中的線與面的關系不明確時，可以將問題所涉及的局部平面抽離出空間，借助其平面圖形更加直觀的觀察，并結合平面幾何知識，得到需要的線線、線面或面面關系.以立體幾何探究性問題為例：已知平面ABCD⊥平面AA1D1D，其中正方形AA1D1D棱長為1，矩形ABCD中，AB=2，點E是線段AB的中點，試問：線段AB上是否存在點P，使平面D1PC與平面PCD的夾角大小為60°？若存在，求出BP的長，若不存在，說明理由.

解題分析

（1）立體幾何問題平面化： 過點D1作D1H⊥PC，可證明得到PC⊥平面D1DH，從而證明得到DH⊥PC，說明∠D1HD即為平面D1PC與平面PCD的夾角;

（2）平面抽離：在立體幾何中抽離出與未知量有關的平面圖形，將知識化歸為平面幾何問題;

（3）平面幾何問題代數化：在Rt△D1DH中，由三角函數tan∠D1HD=DD1DH，計算得到DH=3;在矩形ABCD中，由△DHC與△CBP的相似性，得到DHCB=DCCP ，從而確定CP的值，根據勾股定理BP2=CP2-CB2，計算得到BP，從而說明點P的存在性.

3.2 側面展開法

常應用在立體幾何的折疊問題中.通過對幾何體的側面進行展開，結合其側面展開圖研究問題，是平面化思想的重要手段與方法.通過化曲為直、化折為直，結合側面，展開研究其平面與幾何體的關聯性，找到題目所需的的數量關系和位置關系，借助平面幾何相關知識解決問題.以立體幾何的折疊問題為例：在△ABC中，AD⊥BC，ED=2AE，過E作FG∥BC，且將△AFG沿FG折起，使∠A′ED=60°，求證：A′E⊥平面A′BC.

解題分析

（1）幾何體的側面展開：借助展開后的平面圖形，結合立體圖形研究，抓住圖形的兩個關鍵：不變的線線關系，不變的數量關系;

（2）立體幾何問題平面化：由平面圖形的AD⊥BC，得到空間中的AE′⊥BC，在△A′ED中，構造余弦定理，計算得到A′D⊥A′E;根據線面垂直的判定定理推導證明，得到A′E⊥平面A′BC.

3.3 截面法

常用于立體幾何的截面問題與球的切接問題.截面法大體分為兩種，交線法與性質法.應用交線法作截面，作圖關鍵在于確定截點，作圖依據為基本事實;應用性質法作截面，作圖關鍵在于找到平行的直線或平面，作圖依據為線面平行、面面平行的性質定理.通過作出與未知量有關的截面圖形，數形結合，產生與問題有關的平面幾何關系，將立體幾何問題平面化.

以立體幾何的截面問題為例：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別是A1B1、A1D1的中點，過直線BD作平面α，使得平面α∥平面AMN，求平面α截該正方體的截面面積.

解題分析

（1）性質法作截面：以C1D1，B1C1的中點P，Q為截點，連接PQ，B1D1，DP，BQ，NP，得到截線，根據面面平行的性質定理，作出滿足條件（過直線BD，且與平面AMN平行）的截面DBQN;

（2）立體幾何問題平面化：根據平面幾何中梯形的定義，證明得到四邊形DBQN為梯形，通過梯形的面積公式，計算得到截面DBQN的面積.

以外接球問題為例：三棱錐P-ABC中，△ABC為直角三角形，AB=AC=1，△PBC是正三角形，平面ABC⊥平面PBC，求三棱錐P-ABC的外接球的半徑.

解題分析

（1）交線法找球心：根據等腰直角三角形的性質，可知△ABC的外接圓圓心是BC的中點D，直線PD⊥平面ABC;根據正三角形的性質，可知△PBC的中心O為△PBC的外接圓圓心;過O作平面PBC的垂線l，找到球心也就是兩垂線的交點O;

（2）立體幾何問題平面化：根據外接球的定義，易得OB為三棱錐P-ABC的外接球半徑，借助正三角形的性質和直角三角形的勾股定理，列出代數關系，計算得到球半徑.

4 高中數學立體幾何的平面化思想的實踐難點

高中數學立體幾何問題中，如何尋找關鍵的平面，如何轉化為平面幾何問題，是教師教學的難點，也是學生解題的難點，它的實質是利用幾何相關的定義和性質定理將立體幾何問題平面化，從思想上要注意空間與平面的相互轉化.

5 高中數學立體幾何的平面化思想的教學案例

5.1 高中數學必修第二冊《立體幾何初步》中應用平面化思想的教學實例

已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1，線段AD的中點為M，動點P在不含邊界的正方形ABCD內運動，滿足B1P∥平面A1BM，求線段C1P的最小值.

教學內容分析必修第二冊《立體幾何初步》中，處理立體幾何的最值問題，需要將動態問題靜態化，應用幾何推理與代數推理相結合的辦法實施.也就是找到動點在變化過程中的特殊的、確定的位置，借助平面幾何的相關定理或進一步轉化為函數、不等式問題來處理.

解題思路分析：根據面面平行的相關定理，推導得到動點P落在定直線DN上;關聯平面幾何的知識，代入點到直線的距離公式，或者構造勾股定理，計算點C1到直線DN的距離.

解題難點分析由線面平行的判定定理、面面平行的性質定理推導關系，構造截面，找到動點P所在的定直線的過程，是解題的難點.

平面化思想的應用分析：

（1）作出截面：由B1P//平面A1BM，轉化得到過點B1的平面與平面A1BM平行，作出截面B1QDN，從而構造出與之相關的不變因素，即動點P在定直線DN上;

（2）動態問題靜態化：動點P到定點C1的距離C1P，轉化成定點C1到定直線DN的距離，當C1P⊥DN時，C1P取得最小值.根據三垂線定理，可證明底面上CP⊥DN，最終將問題轉化成平面幾何的最值問題;

（3）立體幾何問題平面化：在底面ABCD上，由△DCN等面積關系：12DN·CP=12DC·CN，求解DN;在Rt△PCC1中，根據勾股定理C1P2=CP2+C1C2，計算得到C1P的最小值.

5.2 高中數學選擇性必修第一冊《空間向量與立體幾何》中應用平面化思想的教學實例

在四棱錐A-BCDE中，平面ACD⊥平面CDE，AC⊥CD，△BCE為正三角形，平面DAC與平面ACE的夾角大小為60°.（1）求證：CD//平面ABE;（2）若AC=2，BC=2，點G為線段AB上的點，直線BC與平面CEG所成角的正弦值為217，求線段AG的長度.

教學內容分析：選修第一冊《空間向量與立體幾何》中，空間向量法是解題的重要工具.解題的難點在于建系及寫出坐標，對于較復雜的不能直接建系的幾何體，將局部平面抽離出幾何體，轉化到該平面圖形中研究坐標系及求解坐標.

解題思路分析：由面面垂直的性質定理，可以證明AC與CD、CE分別垂直.結合平面與平面的夾角公式，構造線線平行，根據線面平行的判定定理，推證得到CD//平面ABE;建立空間直角坐標系，求出所需的各點坐標，計算所需的方向向量，求得平面的法向量，利用空間向量中直線與平面的夾角公式，列出方程關系，計算未知數的值，代入得到點G的坐標，求出線段AG的長度.

解題難點分析

（1）建系中的難點：根據面面垂直的性質，證明AC⊥平面CDE，可得AC為z軸，難點在于底面BCDE上要找到經過點C且互相垂直的兩條直線;

（2）坐標化的難點：底面BCDE上各點的坐標，及線段AB上的點G的坐標的求解.

高中數學立體幾何問題的平面化思想，即空間向平面轉化、三維向二維轉化的思想，是立體幾何中最基本也是最重要的數學方法，貫穿著整個立體幾何學習的始末.平面化的本質是應用平面化思想的對策，包括平面抽離法、側面展開法、截面法，把空間中的元素轉化到與已知條件和未知結論有關的平面中解決.應用平面化思想解題的過程中需要把握三個要點，一要弄清立體幾何中線與面的位置、數量關系;二要找到三維中的幾何元素對應的二維平面的幾何元素;三是利用平面幾何知識解決問題，構造已知元素與未知元素的代數關系式.立體幾何問題的平面化思想，對突破空間障礙，對提高解題效率，靈活學習立體幾何有巨大的幫助.

參考文獻：

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[責任編輯：李璟]