一道直線過定點問題的探究

摘要：本文對一道直線過定點的質檢試題進行推廣，并將相關結論引申到橢圓和拋物線中.

關鍵詞：直線;定點;中點;垂直;斜率

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0011-03

1 試題呈現

題目（2021年8月廣東省新高三階段性質檢）在平面直角坐標系xOy中，已知動點P到點

F2，0的距離與它到直線x=32的距離之比為233.記點P的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程;

（2）過點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，l1交曲線C于A，B兩點，l2交曲線C于S，T兩點，線段AB的中點為M，線段ST的中點為N.證明：直線MN過定點，并求出該定點坐標.

答案（1）x23-y2=1;

（2）直線MN過定點3，0.

2 結論推廣

試題中點F為雙曲線的右焦點，對第（2）問進行一般化推廣得到：

命題1設Fc，0為雙曲線x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦點，過點F作兩條互相垂直的直線l1，l2.若l1交雙曲線于A，B兩點，l2交雙曲線于S，T兩點，線段AB的中點為M，線段ST的中點為N，則當a=b時，直線MN的斜率為0，當a≠b時，直線MN過定點a2ca2-b2，0.

將右焦點變為x軸上異于坐標原點的一點，則命題1進一步推廣為：

命題2已知點Et，0t≠0與雙曲線x2a2-y2b2=1a>0，b>0，過點E作兩條互相垂直的直線l1，l2.若l1交雙曲線于A，B兩點，l2交雙曲線于S，T兩點，線段AB的中點為M，線段ST的中點為N，則當a=b時，直線MN的斜率為0，當a≠b時，直線MN過定點a2ta2-b2，0.

當直線l1，l2的斜率都存在時，將垂直關系變為斜率之積為定值λ，則命題2再推廣為：

命題3已知點Et，0t≠0與雙曲線x2a2-y2b2=1a>0，b>0，過點E作兩條斜率之積為λ的直線l1，l2.若l1交雙曲線于A，B兩點，l2交雙曲線于S，T兩點，線段AB的中點為M，線段ST的中點為N，則當λ=-b2a2時，直線MN的斜率為0，當

λ≠-b2a2時，直線MN過定點a2tλa2λ+b2，0.

當直線l1或l2的斜率不存在時，易知命題2成立，當直線l1，l2的斜率都存在時，命題3更具一般性，故只證命題3.

證明（1）若λ≠0，設直線l1的方程為

y=kx-t，

則直線l2的方程為y=λkx-t.

聯立直線l1與雙曲線的方程，消去y得

b2-a2k2x2+2a2tk2x-a2b2+t2k2=0.

則b2-a2k2≠0，Δ>0，且

xM=xA+xB2=a2tk2a2k2-b2，

yM=kxM-t=b2tka2k2-b2.

同理可得xN=a2tλ2a2λ2-b2k2，

yN=b2tλka2λ2-b2k2.

易知λ≠k2.

當λ=-b2a2時，xMxN<0，yM=yN，

故直線MN的斜率為0.

當λ≠-b2a2時，

①若λ≠-k2，則

kMN=b2tka2k2-b2-b2tλka2λ2-b2k2a2tk2a2k2-b2-a2tλ2a2λ2-b2k2

=a2b2λkλ-k2+b4kλ-k2a2b2λ2-k4

=ka2λ+b2a2λ+k2，

故直線MN的方程為

y-b2tka2k2-b2=ka2λ+b2a2λ+k2x-a2tk2a2k2-b2.

即y=ka2λ+b2a2λ+k2x-a2tλa2λ+b2.

此時直線MN過定點a2tλa2λ+b2，0.

②若λ=-k2，則

xM=xN=a2tλa2λ+b2，yMyN<0.

故直線MN的方程為

x=a2tλa2λ+b2.

此時直線MN也過點a2tλa2λ+b2，0.

（2）若λ=0，則直線l1，l2中有一條斜率為0，另一條斜率不為0，即M，N兩點中其中一個坐標為0，0，此時直線MN過定點0，0，顯然命題成立.

綜上，命題得證.

3 類比引申

受文＼[1＼]＼[2＼]啟發，筆者將命題2和命題3引申到了橢圓和拋物線中.

命題4已知點Et，0t≠0與橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0，過點E作兩條互相垂直的直線l1，l2.若l1交橢圓于A，B兩點，l2交橢圓于S，T兩點，線段AB的中點為M，線段ST的中點為N，則直線MN過定點a2ta2+b2，0.

命題5已知點Et，0t≠0與橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0，過點E作兩條斜率之積為λ的直線l1，l2.若l1交橢圓于A，B兩點，l2交橢圓于S，T兩點，線段AB的中點為M，線段ST的中點為N，則當λ=b2a2時，直線MN的斜率為0，當λ≠b2a2時，直線MN過定點a2tλa2λ-b2，0.

命題4、命題5的證明方法分別同命題2、命題3，略.

命題6已知點Et，0與拋物線y2=2pxp>0，過點E作兩條斜率之積為λ的直線l1，l2.若l1交拋物線于A，B兩點，l2交拋物線于S，T兩點，線段AB的中點為M，線段ST的中點為N，則直線MN過定點t-pλ，0.

證明顯然λ≠0，設直線l1的方程為

y=kx-t，

則直線l2的方程為y=λkx-t.

聯立直線l1與拋物線的方程，消去y得

k2x2-2tk2+px+t2k2=0.

則Δ>0，且

xM=xA+xB2=t+pk2，

yM=kxM-t=pk.

同理可得

xN=t+pk2λ2，yN=pkλ.

易知λ≠k2.

若λ≠-k2，則

kMN=pk-pkλt+pk2-t+pk2λ2=λkλ-k2λ2-k4

=λkλ+k2.

故直線MN的方程為

y-pk=λkλ+k2x-t-pk2.

即y=λkλ+k2x-t+pλ.

此時直線MN過定點t-pλ，0.

若λ=-k2，則

xM=xN=t-pλ，yMyN<0.

故直線MN的方程為

x=t-pλ.

此時直線MN也過點t-pλ，0.

綜上，命題得證.

參考文獻：

[1] 高繼浩.一道武漢市質檢試題的探究與變式＼[J＼].數學通訊，2021（15）：32-33.

[2] 高繼浩.一道雙曲線題的探究＼[J＼].中學數學研究，2021（07）：33-34.

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