高三復習課中的模型再認識

曹鑫輝

摘要：模型建構是科學思維素養的四個要素之一，是高中學生必須具備的物理核心素養的重要組成部分.學生學習物理的過程也就是逐步學習物理模型的建構，進而用模型解決實際物理問題的過程.以學生自主構建模型為核心為目標的教學模式，是高三復習課中培養學生科學思維的有效方式.本文以“圓錐擺”模型作為建構對象，從提煉物理模型的特點入手，并通過過渡模型讓學生掌握建構方法，從而培養學生的建模興趣、鍛煉學生的建模思維和提高學生的建模能力， 最終提高學生的科學思維素養.

關鍵詞：物理模型;圓錐擺;過渡模型

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0118-03

1 問題來源

例題撥浪鼓最早出現在戰國時期，宋代時小型撥浪鼓已成為兒童玩具.四個撥浪鼓上分別系有長度不等的兩根細繩，繩一端系著小球，另一端固定在關于手柄對稱的鼓沿上.現使鼓繞豎直放置的手柄勻速轉動，兩小球在水平面內做周期相同的圓周運動.圖1中兩球的位置關系可能正確的是（圖1中細繩與豎直方向的夾角 α<θ<β）（）.

本題是《2020年6月江蘇省七市高三第三次調研考試物理試卷》第5題，在一輪復習后的一次綜合測試中將該題作為測試題之一，目的是測試圓錐擺模型掌握情況.測試的結果發現：35%的學生不知道如何從實際問題中提取構建模型，所以沒有從圓錐擺模型方向去思考;40%的學生能夠考慮到圓錐擺模型，但是不知道如何建構模型;20%的學生構建好模型之后由于題目涉及的物理量太多，短時間內找不到處理問題的辦法.分析原因：由于對圓錐擺模型結構特點不熟悉，無法迅速判斷模型來源和建構基礎模型;由于沒有掌握圓錐擺動力學特點而無法明確分析方向;沒有深入分析過圓錐擺模型的變化特點，無法找到最后解題的突破口.這也是學生普遍存在的各類模型問題.鑒于以上分析，高三一輪復習后開展了物理模型微專題復習，從模型提煉（模型特點分析），模型過渡（模型遷移），實際生活中復雜背景下的模型建構三方面來強化學生的模型構建能力.本文以圓錐擺為例.

2 圓錐擺模型特點提煉

圓錐擺是一種理想模型，理想研究對象，理想條件，理想過程，是運用比較理想且純粹的方式所創造的、能再現原型的本質聯系與內在特征的一類簡化模型.現將圓錐擺的特點分為三步：

2.1 可視性結構特點

典型的圓錐擺如圖2具有以下幾個可視性的結構要素：懸點O、擺長l、擺角θ、圓周運動軌道平面及軌跡圓心.

可視性結果有時也會約束學生的模型建構，這時需要進行簡單的模型遷移，如圖3、4，經過受力分析不難發現小球的運動也是屬于圓錐擺模型，彈力方向與軸線的交點即為懸點，懸點與小球間的距離即為擺長，彈力方向與軸線的夾角即為擺角.經過模型遷移，將經典的圓錐擺模型遷移到“無繩”圓錐擺，并將圓錐擺的可視性結構特點進行進一步總結.當物體做圓周運動一周，有一個力始終指向非軌道平面內的一點，即可將該物體的運動模型構建為圓錐擺模型.該模型特點掌握之后便于學生迅速判斷出是否是圓錐擺模型.

2.2 動力學特點

如圖5.假設繩長為l，小球質量為m，則小球做勻速圓周運動的半徑r=lsinθ，根據牛頓第二定律和勻速圓周運動的性質，可以得到豎直和水平方向的方程：

FTcosθ=mg①

FTsinθ=mv2r=mω2r=mT24π2r②

根據①、②可以解得繩的拉力、向心加速度、線速度、角速度以及周期等物理量.

2.3 變化性特點

（1）擺角θ不變，擺長l與高度差h變化

如圖6根據受力分析可得繩子的拉力不變，所以小球做圓周運動所需的向心力也不變，根據②式可得擺長越長，所以vA<vB，ωA>ωB

（2）擺長l不變，擺角θ與高度差h變化

如圖7根據受力分析可得，繩子對A球的拉力大于對B球的拉力，小球做圓周運動所需的向心力FnA>FnB，

由mgtanθ=mω2lsinθ可得ω=glcosθ，

所以ωA>ωB

由v=ωr可得v=lsinθtanθ，所以vA>vB

（3）高度差h不變，擺角θ與擺長l變化

如圖8，如圖根據受力分析可得，繩子對A球的拉力大于對B球的拉力，小球做圓周運動所需的向心力FnA>FnB，

由mgtanθ=mω2lsinθ可得ω=gh，

所以ωA=ωB.

由v=ωr可得vA>vB

3 過渡模型的模型建構

（1）如圖9所示，一個內壁光滑的圓錐筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定不動，有兩個質量相同的小球A和B緊貼著內壁分別在圖中所示的水平面內做勻速圓周運動.則下列說法正確的是（）.

A.球A的線速度必定大于球B的線速度

B.球A的角速度必定小于球B的角速度

C.球A的運動周期必定小于球B的運動周期

D.球A對筒壁的壓力必定大于球B對筒壁的壓力

經過受力分析，發現屬于變化類型的第一種.所以本題選AB.

（2）如圖10所示，內壁光滑的半球形碗固定不動，其軸線垂直于水平面，兩個質量相同的小球A和B緊貼著內壁分別在水平面內做勻速圓周運動，則（）.

A.球A的角速度大于球B的角速度

B.球A的線速度大于球B的線速度

C.球A的向心加速度大于球B的向心加速度

D.球A對碗壁的壓力與球B對碗壁的壓力大小相等

經過受力分析，屬于變化類型的第二種.所以本題選ABC.

（3）如圖11所示，兩根質量不計的輕質彈性桿插在轉盤中心，桿上端套有兩個質量均為m的小球，現使兩小球沿同一水平面做角速度為ω的勻速圓周運動，設重力加速度為g.求：兩桿對小球的力的方向與轉軸交點之間的距離.

如圖12受力分析，屬于第三種模型，所以兩桿對小球的力的方向與轉軸交點之間的距離為零.

以上三個銜接練習均為圓錐擺模型，且為無繩圓錐擺模型，綜合以上分析，若一物體所勻速圓周運

動，且物體所受力的方向不在圓周運動所在平面內，

則可以考慮圓錐擺模型方向. 按照圓錐擺模型找到擺角

θ、擺長l與懸點與軌跡圓心高度差h，并進行相關分析.

4 實際情境中模型構建

再次分析本文開篇的例題，就不難看出兩個小球所做的運動均是圓錐擺運動，且角速度相等.受力分析如圖13，

同理由tanθ=Fnmgh=r，其中r為軌跡半徑，Fn=mω2r.

可得h=gω2，所以兩小球細繩拉力方向與轉軸的交點到圓周運動軌跡圓心的距離相等.若兩小球處于同一軌道平面，則短繩連接小球的h大，若兩細繩與豎直方向夾角相等，則長繩連接小球的h大.由h=rtanθ+l繩長cosθ（r為撥浪鼓半徑）可得繩長越長則θ角越大.

參考文獻：

[1] 趙懷彬.圓周運動中的圓錐擺模型[J].物理教學探討，2013，31（08）：45-47.

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