二項式定理題型剖析

摘要：二項式定理是高中數學的一個重要內容， 是培養學生的邏輯推理能力和數學運算能力的知識載體，題型多為選擇題、填空題，二項式定理常見題型是求展開式的某項或某項的系數、二項式系數或二項式系數和，解決整除與余數及不等式證明.本文將二項式定理題型進行剖析.

關鍵詞：二項式;求系數;求項;利用展開式

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0062-03

收稿日期：2022-03-05

作者簡介：胡貴平（1978-），男，甘肅省天水人，本科，中學高級教師，從事中學數學教學研究.[FQ）]

二項式定理是高考高頻考點，題型多為選擇題、填空題，著重考查二項式定理的性質， 主要包括求某項的系數、系數的和差及最值;求某些項、中間項及有理項;利用二項展開式求近似值、求有關整除余數問題及不等式證明;解決與其它數學知識的綜合應用.熟悉二項式定理題型就顯得非常重要了.

1 求系數

1.1 求某項的系數通項分析法

求展開式中某一特定的項的問題常用通項公式，用待定系數法確定r. 通項公式Tr+1=Crnan-rbr （n∈N+，r=0，1，2，3，…，n）中含有a，b，n，r， Tr+1五個元素，只要知道其中的四個元素，就可以求出第五個元素.求多項展開式的系數通過配方、因式分解等方式轉化為求二項展開式的系數.

例1在 （x2+3x+2）5的展開式中x的系數為（）.

A.160B.240C.360D.800

解析由（x2+3x+2）5=（x+1）5（x+2）5 ，（x+1）5（x+2）5展開式中x的系數為兩個因式相乘而得到，

即第一個因式的常數項和一次項分別乘以第二個因式的一次項與常數項，它為

C55x0·15·C45x·24+C45x·14·C55x0·25，

其x的系數為

C45·24+C45·25=240.

1.2 求某項的系數的和差賦值法

在解決此類奇數項系數的和、偶數項系數的和的問題中常用賦值法，令其中的字母等于1或-1.

例2若（2x+3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，則（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2的值為（）.

A.1B.-1C.0D.2

解析（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0-a1+a2-a3+a4） .

實際上，a0+a1+a2+a3+a4和a0-a1+a2-a3+a4分別為已知式在x=1，x=-1的值.

令x=1，得

（2+3）4=a0+a1+a2+a3+a4，

令x=-1，得

（2-3）4=a0-a1+a2-a3+a4.

所以（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2

=（2+3）4·（2-3）4

=[（2+3）（2-3）]4

=4-34

=1.

1.3 特殊系數最值對稱法

求二項式系數最小的項，需根據各項系數的正、負變化情況，結合二項式系數性質的對稱性，與首末兩端等距的兩項，二項式系數相同求解.

例3在二項式（x-1）11的展開式中，系數最小的項的系數是.

解析因為Tr+1=Cr11x11-r（-1）r，

所以要使項的系數最小，則r必為奇數，且使Cr11為最大，由此得r=5.

從而可知最小項的系數為

C511（-1）5=-462.

1.4 一般系數最值不等式法

求（a+b）n的展開式中系數最大項，一般采用列不等式，設展開式各項系數分別為T1， T2，…，Tn+1，應用解不等式Tr≥Tr-1，Tr≥Tr+1的方法求得r.

例4（1+2x）n的展開式中第6項與第7項的系數相等，求展開式中二項式系數最大的項和系數最大的項.

解析T6=C5n（2x）5，T7=C6n（2x）6，

依題意有C5n25=C6n26，

解得n=8.

所以（1+2x）8的展開式中，二項式系數最大的項為

T5=C48（2x）4=1120x4.

設第r+1項系數最大，則有

Cr8·2r≥Cr-18·2r-1，Cr8·2r≥Cr+18·2r+1，

解得5≤r≤6.

所以r=5或r=6（r∈0，1，2，…，8）.

所以系數最大的項為

T6=1792x5，

T7=1792x6.

2 求項

2.1 求中間項

求二項式系數最大的項，根據二項式系數的性質，n為奇數時中間兩項的二項式系數最大，n為偶數時中間一項的二項式系數最大.

例5求（x-13x）10的展開式的中間項.

解析因為Tr+1=Cr10（x）10-r（-13x）r，

（x-13x）10的展開式中共有11項，第6項為中間項，

所以展開式的中間項為

C510（x）5（-13x）5.

即-252x56.

2.2 求有理項

當一個代數式各個字母的指數都是整數時，就是有理項.求二項展開式中的有理項，必須合并通項公式中同一字母的指數，令其屬于整數，再根據數的整除性求解.

例6求（x-13x）10的展開式中有理項共有項.

解析因為

Tr+1=Cr10（r）10-r（-13x）r

=Cr10（-1）rx10-4r3.

所以當r=0，3，6，9時，所對應的項是有理項.

故展開式中有理項有4項.

3 利用展開式

3.1 近似問題截項法

用二項展開式作近似計算，注意底數的變形，以及考查對精確度有影響的某些項.

例7求2.99910的近似值（精確到0.001）.

解析2.99910=（3-0.001）10

=310-10×39×0.001+45×38×0.0012-120×37×0.0013+210×36×0.0014-…

=59049-196.83+0.295245-0.00026244+…

≈58852.465.

所以（2.999）10的近似值為58852.465.

3.2 整除（或余數）問題展開法

用二項式定理解決整除問題，一般將被除式變為有關除式的二項式的形式再展開，經常采用“配湊法”“消去法”結合整除的性質.

例8109192除以100的余數是.

解析9192=（90+1）92

=C0929092+C1929091+…+C919290+C9292.

由此可見，除后兩項外均能被100整除.

而C9192·90+C9292=8281=82×100+81.

所以109192除以100的余數是81.

3.3 不等式證明二項法

在有二項式的冪不等式中，要善于把其中某個數式變形、分解、引進參數等來構造新二項式而使得不等式兩邊在二項式展開后有緊密的聯系.

例9求證： 3n>2n-1·（n+2）（n∈N，且n≥2）.

證明左式=（2+1）n

=2n+C1n·2n-1+C2n·2n-2+…+Cn-1n·2+Cnn

=2n+n·2n-1+（C2n·2n-2+…+Cn-1n·2+Cnn）

注意到：

①2n+n·2n-1=2n-1（2+n）

=2n-1（n+2）;

②n≥2，右式至少三項;

③C2n·2n-2+…+Cn-1n·2+Cnn>0，

故可以得到3n>2n-1·（n+2）（n∈N，且n≥2）.

參考文獻：

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[5] 鄧思遠.淺析二項式定理的常見題型及解法[J].理科考試研究，2018，25（15）：33-34.

[責任編輯：李璟]