由2022年八省聯考第8題引發的研究

李昌成

摘要：近年來，模考和高考中需要用構造法解答的題目頻繁出現，構造的難度也越來越大，構造的次數也越來越多，以導數為例，要突破這類題目，應該從導數的公式、常見的函數、指數對數運算公式、函數結構等方面綜合施策，方可突破難題.

關鍵詞：構造法;導數;策略

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0043-03

1 題目呈現

題目（2022年八省聯考第8題）設a，b都是正數，e為自然對數的底數，若aea+1+b<blnb，則（）.

A.ab>eB.b>ea+1C.ab<eD.b<ea+1

學生普遍反映本題無從下手，很難建立題設與問題間的關系.根據2021年全國高考乙卷第12題的結構、命題點位、解題方法，考生有大概的思路：構造，再利用單調性作答，但是很難具體實施解題思路.

2 試題解答

解析由aea+1+b<blnb，得

aea+1<blnb-b.①

提取公因式，得aea+1<b（lnb-1）.②

對數運算，得aea+1<blnbe.③

指數運算，得aea·e<blnbe.④

不等式兩邊同除以e，得

aea<belnbe.⑤

將a換成lnea，得

ealnea<belnbe.⑥

構造函數f（x）=xlnx，得

f（ea）<f（be）.⑦

因為a，b都是正數，

所以ea>1，且blnbe>aea+1>0.⑧

進而lnbe>0=ln1，于是be>1.⑨

易得f（x）=xlnx在（1e，+

SymboleB@

）單調遞增.

所以ea<be，故b>ea+1.故選B.

3 解答說明

考生之所以不能順利完成解答，是因為對于以上每步解答的理由不清楚，或者是某一步不清楚，導致思路受阻.我們有必要把每一步理清，授之以漁.從參數分類的角度，a，b分別在不等式一端，我們執行了①;根據對數運算的需要，向熟悉的函數f（x）=xlnx靠近，我們提取了公因式，得到②;依托N=logaaN將常數1轉化為我們需要的對數lne，以便執行對數運算③;從函數f（x）=xlnx的結構出發，需要將不等式左邊的b轉化為be，所以進行了④的指數式改裝運算;⑤出現了函數f（x）=xlnx的雛形，需要關注不等式的右端的結構;對于第⑥，必須有f（x）=xlnx的結構引領，熟知對數恒等式N=logaaN，否則無法執行此步;有了前六步的鋪墊，⑦便應運而生;⑧⑨是為了應用f（x）=xlnx的單調性解題的準備步驟，弄清兩個變量ea，be所屬范圍，缺了此步，也將難以定奪選項.由此看來，命題專家對本題下了一番功夫，設置了多個構造環節，環環相扣.只有思維縝密的考生才能最終突圍，具有很好的區分度，是名副其實的把關題.

本題還有其他構造方法，只是構造更加巧妙，對學生要求能力更高，尤其是等價轉化的能力，抽象概括的能力！

另解1設φ（x）=xlnx-x，則

φ′（x）=lnx+1-1=lnx.

由前文知b>e，所以φ′（x）>0.

所以φ（x）=xlnx-x在（e，+

SymboleB@

）上單調遞增.

又φ（ea+1）=ea+1lnea+1-ea+1=（a+1）ea+1-ea+1=aea+1，

由aea+1+b<blnb，得aea+1<blnb-b.

所以φ（ea+1）<φ（b）.

所以b>ea+1.

另解2設λ（x）=lnx+x（x>0），

則λ（x）在（0，+

SymboleB@

）上單調遞增.

由aea+1+b<blnb，a>0，得

0<aea+1<blnb-b.

取自然對數，得

lnaea+1<ln[blnb-b].

化簡，得lna+a+1<ln（lnb-1）+lnb.

移項，得lna+a<ln（lnb-1）+（lnb-1）.

所以λ（a）<λ（lnb-1）.

因此a<lnb-1.

解得b>ea+1.

4 追根溯源

關于構造思想，教材在不同章節均有一些思想滲透，我們要深入領悟.對導數而言，在人教A版選修2-2

的第32頁安排了以下經典證明習題：

（1）ex>1+x（x≠0）.

（2）lnx<x<ex.

這兩個習題給我們提供了學習構造法的平臺，從代數的角度可以分別構造函數f（x）=ex-x-1（x≠0），h（x）=lnx-x（x>0），g（x）=x-ex（x>0），再利用這些函數的單調性證明不等式.

也可以依托函數y=ex，y=1+x，y=x，y=lnx，在同一直角坐標系中，通過圖象直觀感知不等式的正確性.事實上，基于這兩個不等式結構和條件，我們可以構造大量的不等式，例如：

（3）ex≥1+x（（1）式擴大定義域）.

（4）ex-1>x（將（1）中x換成x-1）.

（5）e-x≤1x+1（x>-1）（對（1）式取倒數）.

（6）2lnn<n2（將（2）中x換成n2）.

（7）1n+lnn+ln（n+1）<1n+1（將（2）中x換成1n（n+1），再運算）.

5 常見構造模式

（1）已知f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，構造函數h（x）=f（x）g（x）.

（2）已知f ′（x）g（x）-f（x）g′（x）>0，構造函數h（x）=f（x）g（x）（g（x）≠0）.

（3）已知xf ′（x）-f（x）>0，構造函數h（x）=f（x）x（x≠0）.

（4）已知xf ′（x）-2f（x）>0，構造函數h（x）=f（x）x2（x≠0）.

（5）已知xf ′（x）-nf（x）>0，構造函數h（x）=f（x）xn（x≠0）.

（6）已知f ′（x）-f（x）>0，構造函數h（x）=f（x）ex.

（7）已知f ′（x）+f（x）>0，構造函數h（x）=

exf（x）.

（8）已知xf ′（x）+f（x）>0，構造函數h（x）=xf（x）.

（9）已知xf ′（x）+nf（x）>0，構造函數h（x）=xnf（x）.

顯然，以上條件不等式中不等號變為小于號，不影響函數構造.

6 高考鏈接

例1（2021年普通高等學校招生全國統一考試理科數學（乙卷）第12題）已知a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04-1，則 （）.

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<c<aD.c<a<b

解析記f（x）=2ln（1+x），g（x）=ln（1+2x），h（x）=1+4x-1.

于是f（0）=0，g（0）=0，h（0）=0，f（0.01）=a，g（0.01）=b，h（0.01）=c.

分別求導，得

f ′（x）=21+x，g′（x）=21+2x，h′（x）=21+4x.

當0<x<1時，1+2x>1+4x>1+x，

所以g′（x）<h′（x）<f ′（x）.

結合導數的幾何意義，得b<c<a.

故選B.

例2（2015年全國高考Ⅱ卷理科第12題）設函數f ′（x）是奇函數f（x）（x∈R）的導函數，f（-1）=0，當x>0時，xf ′（x）-f（x）<0，則使得f（x）>0成立的x的取值范圍是（）.

A.（-

SymboleB@

，-1）∪（0，1）B.（-1，0）∪（1，+

SymboleB@

）

C.（-

SymboleB@

，-1）∪（-1，0）D.（0，1）∪（1，+

SymboleB@

）

解析記函數g（x）=f（x）x

，則

g′（x）=xf ′（x）-f（x）x2.

因為當x>0時，xf ′（x）-f（x）<0，

故當x>0時，g′（x）<0.

所以g（x）在（0，+∞）單調遞減.

又因為函數f（x）（x∈R）是奇函數，

故函數g（x）是偶函數.

所以g（x）在（-∞，0）上單調遞減.

又g（-1）=g（1）=0，

當0<x<1時，g（x）>0，則f（x）>0;

當x<-1時，g（x）<0，則f（x）>0.

綜上所述，使得f（x）>0成立的x的取值范圍是（-∞，-1）∪（0，1）.

故選A.

參考文獻：

[1]

劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-2[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2] 任志鴻.十年高考[M].海口：知識出版社，2022.

[3] 任志鴻.十年高考[M].海口：南方出版社，2016.

[責任編輯：李璟]