運(yùn)用點(diǎn)差法解答中點(diǎn)弦問題的步驟

杜海坤

若圓錐曲線與直線相交，與所截得的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題稱為圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題.其常見的命題形式有：求弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)、求中點(diǎn)弦所在直線的方程、求圓錐曲線的方程.此類問題主要考查圓錐曲線的方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線的方程、直線的斜率公式. 運(yùn)用點(diǎn)差法解答圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題的步驟是：

解：設(shè)P（x，y），Q（x，y），其中點(diǎn)M（x，y），

將兩式相減得

25（y+y）（y-y）+75（x+x）（x-x）=0，

∵x+x=2x=l，y+y=2y，

解答本題主要采用了點(diǎn)差法.先設(shè)出P、Q、M的坐標(biāo)，然后將P、Q的坐標(biāo)代入橢圓的方程中，再將兩式相減;根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式即可建立關(guān)于x、y的方程，解方程即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo).

∵中點(diǎn)為M（4，2），

即x+2y-8=0.

由橢圓的方程、弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)求中點(diǎn)弦所在直

∴a-b=50①，

設(shè)弦的端點(diǎn)分別為P（x，y），P（x，y），

∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x+x=1，y+y=-1，

根據(jù)題意可得直線的方程、弦的中點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)差法求橢圓的方程.將弦的兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中并作差，根據(jù)直線的斜率公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解題.

可見，點(diǎn)差法是求解圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題的有效手段.其解題的思路較為簡單，且運(yùn)算量不大.在解答圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題時，如果能適時地運(yùn)用點(diǎn)差法，就可以達(dá)到“設(shè)而不求”的目的.這樣不僅可以減少運(yùn)算量，還能優(yōu)化解題的過程.