以導數知識為工具，求解三角函數問題

張艷艷

三角函數是基本初等函數之一，是以角度為自變量，角度對應的任意角終邊與單位圓交點坐標或其比值為因變量的函數.我們可靈活運用導數法來求解三角函數問題.下面結合實例來探討一下如何妙用導數法判斷三角函數在區間上的奇偶性以及求三角函數的最值、零點.

一、判斷三角函數的奇偶性

一般地，奇函數圖象上的點關于原點對稱，偶函數圖象上的點關于y軸對稱.運用導數法判斷三角函數的奇偶性，需首先對三角函數求導，然后選取關于原點對稱的點，得到對應的導數值，根據導函數值之間的關系判斷三角函數的奇偶性.

例1.已知函數f（x）=sinx+2cosxsinx，判斷函數f（x）是否為偶函數.

分析：首先對函數f（x）求導，然后判斷關于原點對稱的點對應的導函數值是否相等.若相等，則函數f（x）為奇函數，若互為相反數，則函數是偶函數.

解：∵f′（x）=cosx+2cos2x，

∴函數y（x）不是偶函數.

二、求三角函數的最值

導數法是求最值的重要工具.運用導數法求解三角函數最值問題，其主要思路為：①將三角函數式化簡，使角度、函數名稱、冪統一，②對化簡后的三角函數式求導，根據導函數與函數單調性之間的關系判斷函數在區間內的單調性，③根據函數的單調性和圖象，求出三角函數在定義域內的最值.

則h′（x）=2sinxcosx-cosx=cosx（2sinx-1），

g（x）隨x變化如下表所示：

所以g′（θ）=2cosθ+2cos2θ=4cosθ+2cosθ-2，

g（θ）=2sinθ+sin2θ取最大值，

解答本題，需首先將三角函數式中的角度統一，然后對其求導，根據g′（θ）與0之間的關系，判斷三角函數在其對應區間上的單調性，從而求出函數f（x）的最大……