由一道多元變量最值題引發的思考

王金萍

多元變量最值問題中通常會涉及兩個或兩個以上的變量，因而此類問題的難度一般較大，且對同學們的代數運算、邏輯推理、數學抽象等能力有較高的要求.對此，筆者對一道典型的多元變量最值問題及其解法進行了研究，下面談一談個人的一些看法.

一、問題呈現

二、解法分析

方法1.基本不等式法

解：由4a-2ab+4b-c=0可得4（a+b）=c+10ab

通過對方程進行變形，得到ab，便可利用基本不等式得到關于的不等關系式.再根據二次函數的性質，分兩個情況：a=b>0和a=b<0討論a+b+c的最值.

方法2.判別式法

對于有關二次方程、函數、不等式的最值問題，我們都可將問題轉化為一元二次方程問題，利用方程的判別式來建立不等關系式.一般地，若變量的取值范圍為R，則判別式△≥0;若方程無解，則判別式△<0，據此建立關于目標式的不等式.通過解不等式，即可確定目標式的最值.

解：設a+b=t，則b=t-a，

將其代入4a-2ab+4b-c=0，整理可得10a-10at+4t-c=0，

顯然，關于非零實數a的二次方程有實數根，

結合題目中的已知條件，將目標式進行換元，便可構建出一元二次方程，利用方程的判別式法來建立不等式，根據不等式的性質來巧妙地將關系式a+b+c轉化為二次函數式，再利用二次函數的圖象與性質，就能求得最值.

方法3.三角換元法

三角換元法是解答二元變量最值問題的常用方法.在解題時，可根據同角的三角函數關系式：sinθ+cosθ=1進行換元，如令x=sinθ、y=cosθ，將其代入題設中，便將問題轉化為三角函數最值問題，根據三角函數的單調性、有界性、圖象求得最值.

解：由……