借助直觀，發(fā)揮想象

吳陶倫，錢坤南

摘要：直觀是理解數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題的重要工具。想象是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可或缺的技能。從“空間想象力”到“直觀想象素養(yǎng)”的變化，強(qiáng)調(diào)了直觀是想象的基礎(chǔ)和固有屬性。數(shù)學(xué)教學(xué)要盡可能讓學(xué)生借助直觀，包括經(jīng)驗(yàn)直觀、操作直觀和圖形直觀，發(fā)揮想象。

關(guān)鍵詞：直觀;想象;《認(rèn)識圓柱和圓錐》

直觀在哲學(xué)上的含義是，人們在實(shí)踐中對客觀事物的直接、生動的反映。直觀是理解數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題的重要工具。史寧中教授指出：數(shù)學(xué)的結(jié)果常常是“看”出來的，而不是“證”出來的。直觀（特別是幾何直觀）是一種重要的用來“觀察現(xiàn)實(shí)世界”的“數(shù)學(xué)眼光”②。

作為“最自由”的思考，想象是對頭腦中已有的表象進(jìn)行加工、改造和創(chuàng)新的思維過程。想象是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可或缺的技能。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要培養(yǎng)空間觀念，幫助學(xué)生形成空間想象力③，而且要培養(yǎng)更廣泛的觀念，幫助學(xué)生發(fā)展更廣泛的想象力④（如空間想象、時間想象、因果或相關(guān)想象）。

從傳統(tǒng)的三大數(shù)學(xué)能力中的空間想象力到《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出的六個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的直觀想象素養(yǎng)，不是表述形式上的改寫，而是本質(zhì)內(nèi)涵上的突破：直觀是想象的基礎(chǔ)和固有屬性。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要盡可能讓學(xué)生借助直觀，發(fā)揮想象。下面，以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊第二單元《認(rèn)識圓柱和圓錐》一課為例，談?wù)劰P者的一些思考和做法。

一、利用經(jīng)驗(yàn)直觀，引發(fā)想象

經(jīng)驗(yàn)直觀是一種基于經(jīng)歷、體驗(yàn)的直觀認(rèn)識。生活經(jīng)驗(yàn)通常是學(xué)習(xí)認(rèn)知的本源，而且是相對直觀的。因此，教學(xué)中，教師可以從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)入手，發(fā)起數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，并充分利用學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)直觀，引發(fā)學(xué)生的想象。

【片段1】

師（出示教材例1的主題圖）圖中哪些物體的形狀是圓柱體？

生花柱、鉛筆、蚊香盒的形狀都是圓柱體。

師你能想出生活中還有哪些物體的形狀也是圓柱體嗎？

生自來水管、橋梁柱子等，它們的形狀都是圓柱體。

雖然是認(rèn)識圓柱的新授課，但學(xué)生在生活中對圓柱并不陌生，已經(jīng)有了關(guān)于圓柱形物體的經(jīng)驗(yàn)積累。因此，教學(xué)時，讓學(xué)生看物體想圓柱，借助經(jīng)驗(yàn)直觀引發(fā)學(xué)生的想象，讓學(xué)生在經(jīng)驗(yàn)中搜尋圓柱形的物體，初步形成圓柱這一幾何概念的表象。

【片段2】

師我們已經(jīng)認(rèn)識了數(shù)學(xué)上的點(diǎn)、線、面、體，你知道它們之間的聯(lián)系嗎？能借助生活經(jīng)驗(yàn)說明嗎？

生線是由點(diǎn)組成的，就像晚上一盞盞路燈亮起形成一條直線似的。

（教師演示“點(diǎn)動成線”。）

生由線可以形成面，飛機(jī)雷達(dá)顯示屏上的一條線段通過旋轉(zhuǎn)就形成了圓形的面。

生一條線段平移還可以得到長方形的面。

（教師演示“線動成面”。）

師那么，面動能成體嗎？你覺得圓柱是怎么形成的？

生長方形平移可以形成長方體，類似地，圓平移可以形成圓柱，就像一個個圓片疊起來形成圓柱一樣。

生長方形沿著一條邊旋轉(zhuǎn)也可以形成圓柱，就像我們看到的旋轉(zhuǎn)門。

（教師演示“面動成體”。）

引導(dǎo)學(xué)生從點(diǎn)、線、面、體關(guān)系的角度，認(rèn)識圓柱的形成過程，把握圓柱的本質(zhì)屬性，再次借助經(jīng)驗(yàn)直觀引發(fā)學(xué)生的想象。

二、通過操作直觀，展開想象

人的思維發(fā)展通常是由具體形象思維到抽象邏輯思維。同時，人的認(rèn)知發(fā)展是“從動作表征經(jīng)圖像表征而達(dá)到符號表征的世界”（布魯納語）。由此，可以把基本的直觀大致分為操作直觀和圖形（或幾何）直觀——上述經(jīng)驗(yàn)直觀則可以看成是一種過往大量的操作、觀察等活動積累形成的綜合、整體的直覺。因此，教學(xué)中，教師要盡可能設(shè)計一些操作活動（特別是學(xué)生以往經(jīng)驗(yàn)中所沒有的操作活動），讓學(xué)生通過操作直觀，展開想象。

【片段3】

師仔細(xì)觀察手中不同的圓柱學(xué)具，并用手摸一摸，用尺量一量，將它們比一比。

（學(xué)生活動。）

師通過操作，你有什么感受和發(fā)現(xiàn)？

生我發(fā)現(xiàn)，圓柱的上下有兩個面是圓形的，中間還有一個面是彎曲的。

師非常好！我們把上下這兩個圓形的面叫作圓柱的底面，中間這個彎曲的面叫作圓柱的側(cè)面。

生我發(fā)現(xiàn)，這兩個圓形的面是完全相同的。

師你怎么確定這兩個面是完全相同的？

生我是看出來的。

生我是量出來的，只要量出這兩個圓形的直徑做比較，就可以確定了。

生我是把一個圓形底面在紙上畫下來，再和另一個圓形底面比較，來確定的。

師同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了圓柱共同的特征，即有兩個完全相同的底面和一個側(cè)面。那么，（出示實(shí)物）請看這個腰鼓，請同學(xué)們摸一摸腰鼓的側(cè)面，再摸一摸圓柱的側(cè)面。腰鼓的形狀是圓柱嗎？說說理由。

生腰鼓的形狀不是圓柱，因?yàn)樗m然有兩個相同的圓形底面，側(cè)面也是曲面，但這個曲面（的縱截線）不是直的。

師請閉眼想象一下圓柱有什么特征。

（學(xué)生活動。）

師好。現(xiàn)在來測量一下圓柱的高度。

（學(xué)生活動。）

師你是怎么測量圓柱的高度的？

生我是在圓柱的側(cè)面上量出它的高度的。

生在圓柱四周的側(cè)面上都可以量出高度。

師既然你們都會測量圓柱的高度，那么什么是圓柱的高呢？

生我們在側(cè)面測量的地方就是圓柱的高。

生兩個底面圓心之間的距離就是圓柱的高。

生兩個底面之間的距離就是圓柱的高。

師請想象一下：圓柱有多少條高？

生圓柱有無數(shù)條高。

圓柱的面和圓柱的高是體現(xiàn)圓柱特點(diǎn)的兩大要素。教學(xué)中，通過摸一摸、量一量、比一比等操作活動，促使學(xué)生展開想象，感悟圓柱的共同特征。特別是從摸一摸入手，讓學(xué)生感知圓柱的側(cè)面，因?yàn)檫@是學(xué)生認(rèn)識立體圖形時第一次接觸曲面，可以激發(fā)學(xué)生對曲面的直觀想象，感受曲面與平面的區(qū)別;初步建立圓柱的高的概念后，引導(dǎo)學(xué)生展開想象，獲得圓柱的高有無數(shù)條的認(rèn)識，完善對圓柱特征的認(rèn)知。

三、基于圖形直觀，促進(jìn)想象

相對于操作直觀，圖形（或幾何）直觀是更基礎(chǔ)、重要的直觀，更接近直觀的本意（心理表征）：除了具身體驗(yàn)，操作直觀可以看成是由一系列圖像（表象）構(gòu)成的直觀。因此，教學(xué)中，教師要盡可能設(shè)計構(gòu)造圖形、觀察分析的活動，讓學(xué)生基于圖形直觀，促進(jìn)想象。

【片段4】

師如果將一個圓柱橫放在桌面上滾動一周，滾過部分是什么圖形？這個圖形與這個圓柱有什么關(guān)系？

（學(xué)生嘗試滾動圓柱，畫出圖形。）

師哪位同學(xué)能說說你的想法？

生圓柱橫放在桌面上滾動一周，滾過部分實(shí)際上就是這個圓柱的側(cè)面，所以是長方形，長是圓柱的底面周長，寬是圓柱的高。

生也有可能是正方形，如果圓柱的底面周長和高相等的話。

生如果這個圓柱的底面很小，但很高，那么這個長方形的長應(yīng)該是圓柱的高，寬則是圓柱的底面周長。

師由此，你還能想到什么？

生我還想到，用底面周長乘高就可以算出圓柱的側(cè)面積，因?yàn)檫@就是一個長方形的面積。

師除了滾動一周畫出圓柱的側(cè)面展開圖形，還有什么方法能夠得到這個圖形？

生用一張紙包裹圓柱側(cè)面，剪掉多余部分，然后將其展開。

師如果從圓柱上底面的直徑垂直切下去，切出來的面會是什么圖形？這個圖形與這個圓柱有什么關(guān)系？

（學(xué)生切分圓柱學(xué)具，畫出圖形。）

生切出來的面是長方形。

生長方形的一條邊是圓柱底面的直徑，另一條邊是圓柱的高。

師由此，你還能想到什么？

生用底面直徑乘高就可以算出圓柱的軸截面面積。

師還有什么方法能夠得到圓柱的軸截面圖形？

生用平行于底面的光線照射圓柱，看它在垂直于光線的面上的投影。

立體圖形大多是由平面圖形“圍”或“動”形成的，與平面圖形關(guān)系密切。認(rèn)識圓柱的基本特征后，還要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識圓柱表面展開圖形以及部分截面圖形的特征，溝通它們與圓柱的內(nèi)在聯(lián)系，從而通過“面”“體”聯(lián)系全面把握圓柱的特征。教學(xué)中，讓學(xué)生通過轉(zhuǎn)化手段畫出平面圖形，借助圖形直觀，發(fā)揮想象，建立圖形之間的關(guān)系。