數(shù)學(xué)小課題研究的“三項(xiàng)注意”

王雪晶

摘要：數(shù)學(xué)小課題研究，主要是在綜合與實(shí)踐理念的指導(dǎo)下，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，多維探索，展開(kāi)猜測(cè)、驗(yàn)證、推理、計(jì)算、觀察、操作、調(diào)查、交流等活動(dòng)，解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)活動(dòng)、教學(xué)評(píng)價(jià)三個(gè)方面，需要注意以下三點(diǎn)：研究?jī)?nèi)容要兼顧現(xiàn)實(shí)性與數(shù)學(xué)性，突出趣味性與開(kāi)放性;以學(xué)生為主體，促進(jìn)學(xué)生經(jīng)歷完整的研究過(guò)程;引導(dǎo)學(xué)生反思研究過(guò)程，發(fā)展元認(rèn)知能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)小課題研究;綜合與實(shí)踐;“腳長(zhǎng)與身高的關(guān)系”

數(shù)學(xué)小課題研究，就是在綜合與實(shí)踐理念的指導(dǎo)下，直面現(xiàn)實(shí)生活中的各種綜合性問(wèn)題，運(yùn)用已有數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，通過(guò)查閱資料、調(diào)查分析、實(shí)驗(yàn)操作與觀察、推理與計(jì)算等手段，經(jīng)歷探索、研究、實(shí)踐、發(fā)現(xiàn)等過(guò)程，處理信息、解決問(wèn)題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)見(jiàn)解、得出個(gè)性化結(jié)論的活動(dòng)，可以幫助學(xué)生增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐與思考，以“腳長(zhǎng)與身高的關(guān)系”（安排在四年級(jí)的“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容后）為例，談?wù)剮ьI(lǐng)學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)小課題研究需要注意些什么。

一、研究?jī)?nèi)容要兼顧現(xiàn)實(shí)性與數(shù)學(xué)性，突出趣味性與開(kāi)放性

數(shù)學(xué)小課題研究，主要是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。因此，課題（研究?jī)?nèi)容）選擇應(yīng)該兼顧現(xiàn)實(shí)性與數(shù)學(xué)性，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界（生活現(xiàn)象），提出有關(guān)問(wèn)題;同時(shí)，突出趣味性與開(kāi)放性，能引起學(xué)生的研究興趣，具有一定的研究空間。

【片段1】

師老師前一段時(shí)間看了一個(gè)綜藝節(jié)目，有一個(gè)片段很有意思，想分享給大家，我們一起看一看。（播放綜藝節(jié)目片段視頻，內(nèi)容是一位足跡專家通過(guò)測(cè)量腳印長(zhǎng)度準(zhǔn)確地推斷出留下腳印的嘉賓的身高、年齡等個(gè)人信息）同學(xué)們，視頻中的警官是怎么推測(cè)出嘉賓身高的？

生測(cè)量腳印長(zhǎng)度。

師哦，知道腳長(zhǎng)就能知道身高。你有什么想說(shuō)的嗎？

生為什么知道腳長(zhǎng)就能知道身高呢？

生我覺(jué)得，腳長(zhǎng)和身高之間可能存在一些關(guān)系。

生我想知道，腳長(zhǎng)和身高之間究竟存在什么樣的關(guān)系。

師同學(xué)們都很善于思考！沒(méi)錯(cuò)，腳長(zhǎng)和身高之間確實(shí)存在一定的關(guān)系。今天，我們就來(lái)研究“腳長(zhǎng)與身高的關(guān)系”。

這里，教師利用“足跡專家通過(guò)測(cè)量腳印長(zhǎng)度推斷出留下腳印的嘉賓的身高”這一現(xiàn)實(shí)行為，激起學(xué)生的好奇，引發(fā)學(xué)生的思考，讓學(xué)生自己提煉出“腳長(zhǎng)與身高的關(guān)系”的課題。這一課題不僅真實(shí)、有趣，而且與數(shù)學(xué)有關(guān)，可利用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)與方法研究，同時(shí)研究方法與結(jié)論具有一定的開(kāi)放性，小學(xué)生可利用平均數(shù)的知識(shí)初步解決，高中生則可利用相關(guān)性分析和線性回歸（擬合）的知識(shí)嘗試解決。

二、以學(xué)生為主體，促進(jìn)學(xué)生經(jīng)歷完整的研究過(guò)程

學(xué)生主動(dòng)參與、親身經(jīng)歷是數(shù)學(xué)小課題研究的主要特征。學(xué)生要在綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程中，多維探索，展開(kāi)猜測(cè)、驗(yàn)證、推理、計(jì)算、觀察、操作、調(diào)查、交流等活動(dòng)。這些活動(dòng)不僅是解決問(wèn)題所必需的，而且是重要的過(guò)程性目標(biāo)。在教學(xué)中，教師要以學(xué)生為主體，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)小課題研究的完整過(guò)程。

【片段2】

師在研究之前，你們大膽地猜想一下：腳長(zhǎng)和身高之間可能存在什么樣的關(guān)系？

生身高越高，腳長(zhǎng)越長(zhǎng)。

生身高和腳長(zhǎng)可能存在倍數(shù)關(guān)系。

師我們做數(shù)學(xué)研究光有猜想可不行，有了猜想還得怎么樣？

生（齊）驗(yàn)證。

師要驗(yàn)證“身高和腳長(zhǎng)存在一定的倍數(shù)關(guān)系”這個(gè)猜想，你想怎么做？小組內(nèi)交流，設(shè)計(jì)出你們的研究方案。

生我們小組的方案是，先搜集一些身高和腳長(zhǎng)的信息，然后計(jì)算出它們的商，看是不是有倍數(shù)關(guān)系。

……

[教師結(jié)合學(xué)生的回答，相機(jī)板貼：收集數(shù)據(jù)、計(jì)算（身高÷腳長(zhǎng)）、分析數(shù)據(jù)。]

師對(duì)，收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)是統(tǒng)計(jì)的基本方法，我們學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)都是圍繞這一方法展開(kāi)的，而統(tǒng)計(jì)可以幫助我們解決很多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。那么，收集多少身高和腳長(zhǎng)的數(shù)據(jù)合適呢？一個(gè)人的身高和腳長(zhǎng)行嗎？

生太少了，越多越好。

師是的。數(shù)據(jù)越多，越能看出有沒(méi)有規(guī)律，得到的結(jié)論也越符合實(shí)際的情況。但是，世界上有那么多人，有那么多的身高和腳長(zhǎng)數(shù)據(jù)，我們能把這些數(shù)據(jù)都收集到嗎？

生太難了！

生辦不到。

師是的，辦不到，但其實(shí)，也不需要。根據(jù)一些客觀規(guī)律，可以隨機(jī)抽取一部分?jǐn)?shù)據(jù)，用來(lái)代表所有的數(shù)據(jù)。這就是統(tǒng)計(jì)中的抽樣方法，同學(xué)們到中學(xué)會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)，這里不細(xì)說(shuō)?；氐轿覀兊膯?wèn)題，今天我們大家坐在一起學(xué)習(xí)，怎么利用集體的力量獲得盡可能多的數(shù)據(jù)呢？

生把我們每個(gè)人的身高和腳長(zhǎng)數(shù)據(jù)匯總到一起。

師很好！除了我們自己的數(shù)據(jù)，還可以加上我們熟悉的人（比如家人）的數(shù)據(jù)哦。昨天，老師請(qǐng)同學(xué)們做了一份自己的家庭檔案，其中有你需要的數(shù)據(jù)嗎？

生有，有我爸爸、媽媽、爺爺、奶奶的身高和腳長(zhǎng)數(shù)據(jù)。

師那我們就來(lái)匯總一下吧。全班直接匯總到老師這兒要用很多時(shí)間，那就各個(gè)小組先匯總到組長(zhǎng)那兒吧。老師給每個(gè)小組發(fā)了一張表，請(qǐng)組長(zhǎng)將組員和家人的身高和腳長(zhǎng)數(shù)據(jù)填在表中，填完表的格子為止，并分別計(jì)算出它們的商。

（學(xué)生小組統(tǒng)計(jì)、計(jì)算。）

師（投影展示各個(gè)小組完成的表格）全班的數(shù)據(jù)都在這里，觀察“商”這一欄，有什么感覺(jué)嗎？

生商都很接近。

生有幾個(gè)商與其他的差距大一點(diǎn)。

師這樣的商多嗎？

生很少。

師這是一個(gè)很重要的發(fā)現(xiàn)。由此，拋開(kāi)測(cè)量誤差以及各種導(dǎo)致個(gè)體差異的因素不談，我們可以認(rèn)為，身高和腳長(zhǎng)確實(shí)存在一定的倍數(shù)關(guān)系。但是，這些商畢竟還是有一些差異的，那么，取什么數(shù)據(jù)來(lái)表示身高和腳長(zhǎng)的倍數(shù)關(guān)系最合理呢？

生用平均數(shù)。

師沒(méi)錯(cuò)，我們剛剛學(xué)習(xí)了平均數(shù)，平均數(shù)是一個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)量，可以代表一組數(shù)的水平。不過(guò)，我們也知道，平均數(shù)代表一組數(shù)的水平也有一定的局限性，主要是一組數(shù)中，如果有一個(gè)（些）數(shù)特別大或特別小，那么平均數(shù)受其影響，就不能很好地代表一組數(shù)的水平。這時(shí)，可以怎么辦？

生去掉最大值和最小值。

師很好！既然異常的值可能影響平均數(shù)的代表性，我們就把它們?nèi)サ?。去掉最大值和最小值是一個(gè)好方法。這樣，我們能不能算一算全班數(shù)據(jù)的平均數(shù)？

（學(xué)生遲疑。）

師有什么困難嗎？

生有一百多個(gè)數(shù)據(jù)，算起來(lái)太麻煩了！

師有什么好辦法嗎？

生可以先算出各小組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再算出全班數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

師同意嗎？（稍停）這里有一個(gè)問(wèn)題：怎么由各小組數(shù)據(jù)的平均數(shù)得到全班數(shù)據(jù)的平均數(shù)？

生對(duì)各小組數(shù)據(jù)的平均數(shù)再求平均數(shù)？

師為什么各小組數(shù)據(jù)平均數(shù)的平均數(shù)等于全班數(shù)據(jù)的平均數(shù)？

（學(xué)生遲疑。）

師這個(gè)問(wèn)題有一點(diǎn)難度，和同學(xué)們今后會(huì)學(xué)到的加權(quán)平均數(shù)有關(guān)。老師來(lái)舉一個(gè)例子，一組數(shù)是1、2，一組數(shù)是3、4、5，它們的平均數(shù)分別是多少？它們合在一起的平均數(shù)是多少？

生它們的平均數(shù)分別是1.5和4，它們合在一起的平均數(shù)是3。

師1.5和4的平均數(shù)是多少？等于3嗎？

生2.75，不等于3。

（學(xué)生驚奇。）

師為什么會(huì)這樣？（稍停）其實(shí)，是因?yàn)檫@兩組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)不等。只要各組數(shù)的個(gè)數(shù)相等，它們平均數(shù)的平均數(shù)就等于合在一起的平均數(shù)了。有興趣的同學(xué)課后可以仔細(xì)想一想為什么。那么，我們可以用這個(gè)方法算全班數(shù)據(jù)的平均數(shù)嗎？為什么？

生可以。因?yàn)槊拷M的表格中都只有10個(gè)數(shù)據(jù)。

師那我們就來(lái)算一下吧。

（學(xué)生分組計(jì)算，匯總再算。）

師最終結(jié)果是多少？

生6.72。

師這說(shuō)明身高大約是腳長(zhǎng)的6.72倍。為什么是大約？

生因?yàn)槲覀冇闷骄鶖?shù)代表了一組數(shù)，而一組數(shù)中的每個(gè)數(shù)其實(shí)都不一樣，也就是說(shuō)，具體到每個(gè)人，身高不一定是腳長(zhǎng)的6.72倍，但差不多是腳長(zhǎng)的6.72倍。

生還因?yàn)槲覀冇靡粋€(gè)班同學(xué)和家人的數(shù)據(jù)代表了所有人的數(shù)據(jù)，而其他人群的數(shù)據(jù)可能和我們班的不一樣。

師同學(xué)們很厲害，已經(jīng)知道平均數(shù)和抽樣方法的意義和局限性了。其實(shí)，通過(guò)更多數(shù)據(jù)的分析，人們發(fā)現(xiàn)了身高與腳長(zhǎng)有一定的倍數(shù)關(guān)系，這個(gè)倍數(shù)關(guān)系因?yàn)榈貐^(qū)、種族、性別、年齡等因素，會(huì)有一些差別。而我們只是通過(guò)腳長(zhǎng)推斷大約的身高，為了方便計(jì)算，通常說(shuō)身高大約是腳長(zhǎng)的7倍。

這里，教師引導(dǎo)學(xué)生直面問(wèn)題，展開(kāi)自然、深入的思考和探究，先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)提出猜想，再聯(lián)系實(shí)際制訂驗(yàn)證方案，然后經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、計(jì)算以及分析數(shù)據(jù)的驗(yàn)證過(guò)程，最終得出結(jié)論，經(jīng)歷課題研究的全過(guò)程。這一過(guò)程中，教師以學(xué)生為主體，充分尊重學(xué)生的想法，讓學(xué)生相互交流，只在學(xué)生認(rèn)識(shí)不夠到位之處介入講解;特別是，在制訂驗(yàn)證方案、選擇統(tǒng)計(jì)量及其計(jì)算方法、認(rèn)識(shí)驗(yàn)證結(jié)果時(shí)，教師不斷追問(wèn)，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，促進(jìn)學(xué)生展開(kāi)合情推理以及統(tǒng)計(jì)推斷，完善想法，加深理解。

三、引導(dǎo)學(xué)生反思研究過(guò)程，發(fā)展元認(rèn)知能力

“成長(zhǎng)=經(jīng)驗(yàn)+反思”，這是波斯納的成長(zhǎng)公式。評(píng)價(jià)具有促進(jìn)反思、激勵(lì)與改進(jìn)教學(xué)的功能。學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)小課題研究的完整過(guò)程后，教師可以通過(guò)評(píng)價(jià)，引導(dǎo)學(xué)生反思研究過(guò)程，以感悟研究方法，發(fā)展元認(rèn)知能力（學(xué)習(xí)遷移能力），并找到不足之處，明確改進(jìn)的方向。

【片段3】

師回顧一下剛剛的研究，看看我們做得怎么樣，有哪些經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)值得總結(jié)。首先，我們經(jīng)歷了哪些過(guò)程？

生我們經(jīng)歷了猜想，收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，計(jì)算、分析數(shù)據(jù)和得出結(jié)論的過(guò)程。

生我們經(jīng)歷了猜想、驗(yàn)證和得出結(jié)論的過(guò)程。

師沒(méi)錯(cuò)，收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、計(jì)算和分析數(shù)據(jù)就是驗(yàn)證猜想的過(guò)程。如果換一個(gè)課題，可能驗(yàn)證的方法會(huì)不同，但依然要經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、得出結(jié)論的過(guò)程。（稍停）那么，在今天的研究過(guò)程中，我們用到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)和方法呢？

生統(tǒng)計(jì)的方法，平均數(shù)的知識(shí)。

師你覺(jué)得自己本節(jié)課的表現(xiàn)如何？（出示自我評(píng)價(jià)卡，如圖1所示）根據(jù)自己的表現(xiàn)完成自我評(píng)價(jià)卡。

師我來(lái)采訪幾位同學(xué)，每一項(xiàng)給自己打了幾顆星，有什么需要改進(jìn)的地方。

生第一項(xiàng)5顆星，第二項(xiàng)3顆星，第三項(xiàng)4顆星;我覺(jué)得我需要改進(jìn)的地方是在小組合作方面不夠積極。

生第一項(xiàng)5顆星，第二項(xiàng)4顆星，第三項(xiàng)3顆星;我覺(jué)得我需要改進(jìn)的地方是不知道怎么反思。

……

師同學(xué)們的自我評(píng)價(jià)基本上比較客觀，既看到了優(yōu)點(diǎn)，也看到了不足，很了不起！只要改進(jìn)自己的不足，就能成為更好的自己，加油！

師最后，老師想請(qǐng)一些同學(xué)談?wù)勆贤赀@節(jié)課的收獲以及感受。

生我知道了身高和腳長(zhǎng)之間的關(guān)系，我也能根據(jù)腳印判斷身高了。

生小課題研究很有意思，我還想研究腳長(zhǎng)和年齡有什么關(guān)系。

生只要用心去觀察，用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)，用數(shù)學(xué)的方法去研究，就可能得出一些有趣的結(jié)論，幫助我們解決難題。

生原來(lái)我們身邊處處都有數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)真的很有用！

……

這里，教師引導(dǎo)學(xué)生帶著評(píng)價(jià)的目的反思研究過(guò)程，體會(huì)研究思路與方法，然后利用評(píng)價(jià)的工具評(píng)價(jià)研究過(guò)程，找到自己的不足之處，最后進(jìn)一步提升認(rèn)識(shí)，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值。這樣的做法，有助于學(xué)生提升活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)從知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)向能力、素養(yǎng)的轉(zhuǎn)化。