基于時域旋轉不變技術的目標方位估計方法

邱 嵐

(江西科技學院信息工程學院，江西 南昌 330098 )

0 引言

在陣列信號處理中，已有許多學者對基于目標信號的被動檢測和方位估計問題進行了深入研究，并取得了一定的研究成果。近年來，基于特征結構的子空間類方法因具有較高的方位分辨能力和估計精度得到了快速發展，并在聲納、雷達和通訊等領域得到了廣泛應用[1-2]。

在子空間類方法中，基于旋轉不變性的參數估計技術(estimation of signal parameters via rotational invariance technique，ESPRIT)，其可充分利用信號子空間的旋轉不變特性進行方位估計，不需要進行空間譜搜索即可得到目標方位估計值，進而降低了計算復雜度和存儲需求，已被視為一種高效方位估計技術應用于聲納、雷達和通訊等領域[3-4]。

為了提升ESPRIT技術在目標方位估計中的寬容性，文獻[5-14]分別在非高斯性目標信號、相干目標信號、陣列隨機性、多目標方位估計方面提出相應改善方法。如文獻[5]提出了一種基于累積量的ESPRIT型盲波束形成算法，用累積量矩陣取代自相關矩陣完成信號空間的重建，實現了對非高斯信號源方位估計。文獻[6-8]分別提出了虛擬陣列平移法和酉變換方法解相干信號的ESPRIT算法，實現了對相干信號源高精度方位估計。文獻[9-12]分別提出了基于擴展ESPRIT的隨機陣列高效目標方位估計算法和最優子陣劃分ESPRIT的任意線陣高精度DOA估計算法，分別通過陣列內插技術和子陣陣元優化選取技術，提高了ESPRIT技術對任意陣列的波達方向估計性能。文獻[13-14]提出了波束-多普勒酉 ESPRIT多目標方位估計，采用中心共軛對稱傅里葉變換矩陣將數據變換至波束-多普勒域提高了多目標方位估計精度。

以上方法雖然能在不同情況下提升ESPRIT技術在目標方位估計中的性能，但均是基于頻域角度出發實現，時頻變換所需采樣點數和協方差矩陣估計所需快拍數需要折中處理，在低信噪比、小快拍數的情況下，協方差矩陣估計誤差變大甚至可能失效。本文對此問題，提出基于時域旋轉不變技術的目標方位估計方法(本文稱之為TD-ESPRIT方法)。

1 ESPRIT方法

圖1為M元等間距陣列(d為相鄰陣元間距)。

圖1 陣列接收信號Fig.1 Schematic diagram of array received signal

對于K個目標信號源S=[S1(f)，S2(f)，…，SK(f)]T，[·]T為矩陣轉置，則陣列接收數據號可表示為：

(1)

式(1)中，A=[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θK)]，a(θk)=

根據圖1所示子陣劃分方法，兩個子陣列接收數據X1和X2可表示為：

(2)

(3)

由上述數學模型可知，目標方位角信息已包含在φ中，只要得到φ值，即可實現對目標方位估計。

ESPRIT方法是在噪聲(包括干擾)與信號不相關的假設下，首先對陣列接收數據的協方差矩陣Rx=E[XXH]做特征分解得到信號子空間Us和噪聲子空間Uv，然后利用信號子空間的旋轉不變特性獲得目標方位估計值，E[·]為期望函數。

由于目標信號特征向量所張成的信號子空間與導向向量張成的信號子空間是等價的，即span{Us}=span{A}，因此存在唯一的非奇異矩陣T，使得

Us=AT，

(4)

即

(5)

式(5)中，Us1為Us前M-1行數據，Us2為Us后M-1行數據。

對式(5)進行處理，可得

Us2=A2T=Us1Τ-1φT=Us1Ψ，

(6)

式(6)中，Ψ=Τ-1φT，則對角陣φ的元素即為Ψ的特征值。

在理想情況下，式(6)存在唯一解，采用最小二乘求解方法，可得

Ψ=(Us1HUs1)-1Us1HUs2。

(7)

對式(7)進行特征分解，可得到其特征值，即為對角矩陣φ的元素。

φ=TΨΤ-1。

(8)

(9)

根據上述所述過程， ESPRIT方法實現流程如圖(2)所示。

圖2 ESPRIT方法實現流程圖Fig.2 Implementation flow chart of ESPRIT

(10)

式(10)中，I為總幀數(也為協方差矩陣估計所需快拍次數)，一般取大于陣列所含陣元數的2倍。

從ESPRIT方法實現過程可知，實現ESPRIT方法需要滿足：1)Rx中不應含有信號與噪聲相關成分的貢獻；2) 數學上要求Rx滿秩。

然而，在一次處理數據采樣點總數T0一定時，如式(11)所示，在頻域進行協方差矩陣估計時，存在時頻變換所需采樣點數和協方差矩陣估計所需快拍數需要折中處理問題，即精確的頻域數據需要多個時域采樣點數據進行時頻變換才能得到，而準確的協方差矩陣估計需要一定快拍次數I。在低信噪比、小快拍數的情況下，如果信號頻域數據精度不夠或協方差矩陣估計所需快拍數不夠，則可能引起協方差矩陣估計誤差變大甚至可能失效。

T0=I×ΔT/2，

(11)

式(11)中，ΔT為一次時頻變換所用采樣點數(采樣點數按0.5倍交疊使用)。

2 TD-ESPRIT方法

2.1 理論分析

如果能夠直接采用時域數據進行ESPRIT技術應用，則可將一次時頻變換所需采樣點數轉換為協方差矩陣估計快拍數，相比在頻域實現，可避免時頻變換所需采樣點數和協方差矩陣估計所需快拍數需要折中處理問題，進而做到一次快拍即可獲得具有信號與噪聲不相關和滿秩條件的協方差矩陣，進而提升ESPRIT方法在目標方位估計中的寬容性。TD-ESPRIT方法基本思路為：通過兩次快速傅里葉變換將各陣元時域實數據轉換為時域解析數據，在時域將陣列接收數據按相移形式表示，然后利用特征分解思想求取信號子空間，并利用旋轉不變技術獲得目標方位估計值。該思想實際為用時域解析數據實現ESPRIT方法的過程，圖3給出了實現上述思想的示意圖。

根據圖1所示，第m號陣元接收的實數信號可表示為：

(12)

式(12)中，τm(θk)=(m-1)dcos (θk)/c，1≤m≤M為第k個目標信號到達第m號陣元相對于第1陣元的時間延遲，只與目標信號相對陣列所處的方位θk有關。

圖3 TD-ESPRIT 方法實現過程Fig.3 Implementation process of TD-ESPRIT

由快速傅里葉變換的性質可知，可將式(12)所示表達寫為頻域離散化形式，即

(13)

由式(13)所示的頻域形式可知，對于窄帶數據，陣列接收數據相移等價于陣列接收數時延，如果能夠在時域將陣列時延形式表示為相移形式，即可采用ESPRIT技術實現對目標方位估計。

對式(13)做如下處理：

(14)

式(14)中，fL，fH分別為處理數據所需頻帶上下限。

(15)

(16)

(17)

按ESPRIT方法對信號子空間采用最小二乘求解方法，可得

(18)

對式(17)進行特征分解，可得到其特征值，即為對角矩陣φ的元素。

2.2 實現流程

根據上面分析可知，基于TD-ESPRIT方法的目標方位估計方法可分為如下步驟實現：

1) 對M元陣列采集的時域離散數據xm(n)進行時域復解析變換處理；

2) 按窄帶處理方式，在處理頻帶上，對陣元時域復解析數據進行窄帶濾波分解；

4) 按式(17)對信號子空間進行處理，進而獲得TD-ESPRIT方法對目標方位估計值；

5) 改變處理頻帶，重復步驟2)-步驟4)，可獲得TD-ESPRIT方法在不同處理頻帶上目標方位估計值；

6) 按直方圖形式對各處理頻帶所得目標方位估計值進行累加處理，可得最終目標方位估計值。

3 數據處理分析

3.1 數值仿真分析

為了進一步驗證TD-ESPRIT方法的可行性，進行如下數值仿真分析。

1) 單目標情況

仿真條件：接收陣為8陣元的等間隔水平直線陣，相鄰陣元間距為0.25 m，目標信號為2 900～3 100 Hz窄帶高斯白噪聲，背景噪聲為同樣帶寬的加性高斯白噪聲，信號與背景噪聲信噪比為SNR，模擬信號輸入方向為100°。系統采樣率為20 kHz，一次處理長度為1 s，TD-ESPRIT方法由一次快拍實現，ESPRIT方法所分頻率單元數為L=200，每一頻率單元由20次快拍(每一次快拍包含2 000個采樣樣本)實現。

圖4為SNR=-18～4 dB情況下，由200次獨立統計所得常規波束形成方法(文中簡稱為CBF方法)、ESPRIT方法和TD-ESPRIT方法的檢測目標成功概率。圖5為SNR=-18～4 dB情況下，由CBF方法、ESPRIT方法和TD-ESPRIT方法所得目標方位估計均方根誤差(root Mean squared error，RMSE)，其具體公式為：

(19)

圖4 3種方法檢測目標成功率Fig.4 Target detection success rate of three methods

圖5 3種方法所得方位估計均方根誤差Fig.5 Root mean square error of azimuth estimationof three methods

圖6 SNR=-16 dB，3種方法合成空間譜Fig.6 SNR=-16dB，Synthetic spatial spectrum of three methods

由圖4仿真結果可知，在檢測概率大于80%時，CBF方法對應最低輸入信噪比SNR=-18 dB，TD-ESPRIT方法對應最低輸入信噪比SNR=-16 dB，ESPRIT方法對應最低輸入信噪比SNR=-11 dB，所以，對于檢測概率大于80%的同一檢測概率情況，雖然TD-ESPRIT方法相比CBF方法對最低輸入信噪比要求高了2 dB，但相比ESPRIT方法，TD-ESPRIT方法對最低輸入信噪比要求降低了5 dB；圖6結果也進一步表明，在SNR=-16 dB時，ESPRIT方法已無法實現對目標有效檢測，而CBF方法和TD-ESPRIT方法還可有效對目標實現有效檢測，且相比CBF方法，TD-ESPRIT方法合成的空間譜只在目標方位處存在譜線，便于提取。另外，由圖5可知，在RMSE <0.5°時，即在輸入信噪比SNR≥-14 dB時， 相比CBF方法和ESPRIT方法，TD-ESPRIT方法對目標方位估計精度較高。該結果進一步表明了在對檢測概率和目標方位估計精度有較高要求時，TD-ESPRIT方法具有一定優勢。

2) 雙目標情況

對雙目標進行仿真驗證，仿真中線陣條件、系統采樣率、數據處理情況與單目標情況一致，雙目標信號為等強度信號，信號均為2 900～3 100 Hz窄帶高斯白噪聲，相對線陣方位角分別為96°和100°。圖7為SNR=-6 dB情況下，分別由CBF方法、ESPRIT方法和TD-ESPRIT方法所得方位歷程圖。

圖7 CBF方法所得方位歷程圖Fig.7 Azimuth history of CBF

圖8 ESPRIT方法所得方位歷程圖Fig.8 Azimuth history of ESPRIT

圖9 TD-ESPRIT方法所得方位歷程圖Fig.9 Azimuth history of TD-ESPRIT

由圖7—圖9結果可知，對于相鄰兩個目標信號，在線陣孔徑有限和數據信噪比較低情況下，TD-ESPRIT方法未損失對兩目標有效分辨，而CBF方法和ESPRIT方法已無法實現對兩目標有效分辨，該結果進一步驗證了TD-ESPRIT方法的可行性。

另外，由式(18)處理過程可知，目標方位值是通過求解對角矩陣φ的元素所得，只要目標數目不大于對角矩陣φ的元素數(即陣元數減1)，該方法同樣有效。受篇幅限制，在此不再進行更多目標數目情況的仿真分析說明。

3) 計算復雜度

在該數值仿真數據處理中，TD-ESPRIT方法與ESPRIT方法計算量比較是在Intel(R) Core(TM) i7-7500U CPU@2.70 GHz 2.90 GHz的計算機上利用Matlab2014a的CPU TIME測出的。完成1次方位估計ESPRIT方法所需時間為0.323 s，TD-ESPRIT方法所需時間為0.035 s。該實驗采樣率較高，由于TD-ESPRIT方法只對一次快拍數據進行處理，其計算量小于ESPRIT方法。

3.2 實測數據處理分析

為進一步考核TD-ESPRIT方法性能，下面分別利用CBF方法、ESPRIT方法和TD-ESPRIT方法對某次試驗數據進行處理并作對比。試驗中，接收陣為等間距均勻分布的8陣元水平直線陣，陣元間距為0.25 m；處理數據帶寬為2 900～3 100 Hz，處理數據時間長度為60 s；該時間段內存在有2個相對運行目標。數據采樣率為20 kHz，ESPRIT方法的樣本協方差矩陣在每一時刻采用20 000個采樣數據進行估計，其具體估計方法：首先將數據分塊，每塊數據為2 000點，記為一次快拍樣本長度，數據塊之間重疊1 000點，快拍數為20，做FFT后選取2 900～3 100 Hz頻段，對每個頻點分別作協方差估計。而TD-ESPRIT方法按2.2節所示流程采用1次快拍數據進行處理，由于2 900～3 100 Hz頻段為窄帶，數據處理中只進行了一次濾波處理。圖10—圖12分別為CBF方法、ESPRIT方法和TD-ESPRIT方法所得時間歷程圖。

圖10 CBF方法所得方位歷程圖Fig.10 Azimuth history of CBF

圖11 ESPRIT方法所得方位歷程圖Fig.11 Azimuth history of ESPRIT

圖12 TD-ESPRIT方法所得方位歷程圖Fig.12 Azimuth history of TD-ESPRIT

由圖10—圖12可知，TD-ESPRIT方法所得方位歷程圖顯示目標航跡聚焦清晰，目標方位明晰可辨，該結果進一步證明了TD-ESPRIT方法在理論上和實測數據處理上的正確性。

4 結論

本文提出基于時域旋轉不變技術的目標方位估計方法(TD-ESPRIT)。該方法利用兩次傅里葉變換對陣列接收數據進行復解析變換處理，獲取時域解析數據，并按窄帶劃分方式對其濾波處理；在不需要對解析數據做時延遲補償情況下，通過多個時域采樣點累積方式解決協方差矩陣估計所需快拍數問題，得到協方差矩陣估計值；通過旋轉不變技術實現對該頻帶目標方位估計。數值仿真及實測數據處理結果表明，相比頻域旋轉不變方法，本文方法保持對目標方位估計精度前提下，在最低輸入信噪比要求上降低了5 dB，進一步拓寬頻域旋轉不變方法在工程領域的實現方式。