淺談空間傅里葉“變”換之“變”

劉可心

摘要：隨著5G技術的崛起，智能信息處理技術進入新高速發展時期，通信領域對信號處理技術提出了新要求。作為信號處理領域的基本工具，傅里葉分析重要性自然不言而喻。其不僅存在于信號與系統、通信原理等多門專業課程中，同時對諸多學科的研究提供理論貢獻。但學習過程中總令學生產生不懂概念，死記硬背的現象。為了避免此現象，本文主要內容如下：從空間角度，結合現有課本中矢量空間類比到信號空間的思路，帶學生領略不一樣的傅里葉“變”換，真正理解何為“變”，如何“變”，以及“變”的本質和“變”的應用范圍。

關鍵詞：傅里葉變換;信息處理;矢量空間;信號空間

1傅里葉變換

1.1 “變”的重點和難點

首先，談談為何“變”，傅里葉變換的研究重點是如何將信號表示為一系列正交函數的組合;如何由矢量的正交分解轉向信號的正交展開;如何從傅里葉級數延伸到傅里葉變換。但在理解細節的時候存在著諸多難點，比如為何要表示為正交函數;為何常引入誤差變函數表達。為了理解重難點，我們亟需“變”，即尋找高效的理解思維來加深我們對傅里葉分析的認知。

1.2 傅里葉分析的新視野

其次，看看什么是“變”。俗話稱“窮則變，變則通，通則久”，一門課程，當遇到難點、困難時，需要我們跳出已有維度，用更大的格局來看，這就叫做“變”。同樣，傅里葉作為分析信號分解的重要工具[1]，這種“變”，就是空間理解。傅里葉所一直追尋的正是元素間所具備的某種規律關系的數學表達形式，從時域跳到頻域，如圖1所示，化復雜問題簡單化，這種思路與探究空間傅里葉表示是有所共鳴的。

2.矢量空間、信號空間與正交分解

接著，談談如何“變”。傅里葉空間分析有助于我們對細節的把握。平面幾何，立體幾何，這就是直觀的空間，相應xy軸二維坐標，xyz三維坐標正是空間里任意元素的度量表示。加入時間維度后就是四維空間，使我們能更細致的表示所在空間中的事物。可見基于空間分析的重要性。

2.1 空間的衡量與表示

總結以上實例，不難發現，元素和規則構成空間。矢量、函數都可以視作空間中的元素;線性的概念“利用一組基，使用加法和乘法來表示所有的元素”[2]就是規則。借助空間載體，結合規則后，才能實現任意元素在空間中的度量和表示，進而分析元素間關系。以二維坐標表示平面向量為例，坐標對應基底，向量對應元素，平面上待表示的任意一點，就是坐標。隨著科學探索不斷深入，維度不斷增加，科學家已經提出了11維宇宙空間，這種情況下，代數關系式不再適用，需要依托更精準的空間來表示高維抽象事物。

為了實現高維空間度量，這里引入的三個衡量指標：距離、范數和內積[3]，以便理解其對應的三個空間。距離就是衡量兩種元素之間的相似度，值為0時二者為同一事物，其公式用（1）表示。

范數（2）是對矢量本身長短進行度量，是更具體的一種規則，其可以通過（3）式來定義距離。

值得一提的是二范數，即p=2時，常用其來約束矢量、函數，使其擁有與目標距離無限接近的最小誤差，起到防止過擬合的優化作用，例如星座圖、誤碼率等概念都。而這里提及的最小誤差，為之后理解傅里葉變化中的信號空間大有裨益。

內積是為了豐富上述概念，引入角度的點積操作，如（4）式，類似可用（5）式導出其范數。

而這三個概念對應的線性空間分別為：度量空間、賦范空間和內積空間。重點選用內積空間，有助于在特定變換下維持空間中的向量不變性。下面沿用矢量空間到信號空間的類比學習思維。針對矢量空間，在內積空間的基礎上引入復數域，得到酉空間，深入理解離散傅里葉變化;針對信號空間，在酉空間的基礎上增加維度，得到希爾伯特空間，深入理解連續傅里葉級數和傅里葉變化。

2.2 矢量空間與信號空間

“變”的本質就是在合適的內積空間里尋找基底來表示元素。傅里葉變換的研究目的即將信號分解為一系列正交函數的組合。而這種組合就是選擇基底的表示并計算坐標（傅里葉系數）的過程。

先看矢量，以酉空間為載體，針對任兩組矢量，其夾角可以表示為（6）。

（7）式是兩個矢量的夾角表達式，分子是內積，分母項為范數。為90度時，兩矢量垂直，內積值為0，此時正交，其本質是x在y上的投影。那么可以用這兩個矢量視作基底，來度量任意向量。

推廣到N維后，出現線性表示形式（8）、基底的正交性（9）及坐標表示過程（10），即投影系數。

再看以希爾伯特空間為基底的信號空間，類比于矢量空間，找到基底（11）。

引入誤差函數，并假定其無限趨于0時，所構造信號是原本信號在基底函數所構建信號空間中的投影，投影系數表示為（13）。

3.空間傅里葉變換的深入理解

在1、2基礎上，將離散傅里葉變換放在矢量空間分析，將連續傅里葉級數和傅里葉變化放在信號空間分析，很快得到空間中的表現形式：離散傅里葉變換其基底（14）、并構造出其變換表達

4.小結

本文從空間的角度重新深入理解并認識了傅里葉分析，發現相比于課本上的公式推導，這種思維可以化復雜為簡單，更換思考問題角度，以更多視角認知問題，進而將其運用在交叉學科中，有所收益。

參考文獻

[1]朱寧賢.基于MATLAB的傅里葉函數變換可視化分析[J].辦公自動化，2020，25（05）：20-22.

[2]鄭前前，楊文杰，岳曉鵬.基于線性代數矩陣理論的“學”與“用”[J].黑龍江科學，2022，13（01）：110-111.

[3]（美）艾倫.V.奧本海姆（Alan V. Oppenheim），（美）艾倫.S.威爾斯基（Alan S. Willsky），（美）哈米德.納瓦卜（S.Hamid Nawab）著;劉樹堂譯. 信號與系統（第二版）[M]. 北京：電子工業出版社，2020.8