第10屆（1999年） “希望杯”全國數學邀請賽試題初中一年級第1試

一、選擇題

1.0-（0-1999）=（）

（A）19.99.（B）-1999.

（C）1999.（D）0.

2.下面四個命題中正確的是（）

（A）1是最小的正有理數.

（B）-1是最大的負有理數.

（C）0是最小的正整數.

（D）0是最大的非正整數.

（A）1.（B）-1.

（C）0.（D）2.

4.設a<0，則下述命題中正確的是（）

（A）a的偶次方的偶次方是負數.

（B）a的奇次方的偶次方是負數.

（C）a的奇次方的奇次方是負數.

（D）a的偶次方的奇次方是負數.

5.一元一次方程2x+1=0有（）

（A）正整數解.（B）負整數解.

（C）正分數解.（D）負分數解.

6.設a是最小的自然數，b是最大的負整數，c是絕對值最小的有理數，則a-b+c=（）

（A）-1.（B）0.

（C）1.（D）2.

8.a，b，c三個整數滿足a

（A）a+c

（C）ab

（A）a>b.（B）a=b.

（C）a

（A）5%.（B）10%.

（C）15%.（D）20%.

二、A組填空題

12.若a，b，c是1998的三個不同的質因數，且aa=________.

14.如圖1，矩形ABCD的面積為1，BE：EC=5：2，DF：CF=2：1，則△AEF的面積的大小為________.

16.計算2-2²-2³-2⁴-2⁵-2⁶-2⁷-2⁸- 2⁹+2¹⁰=________.

17.已知1999xⁿ⁺⁷和10x^2m+3是同類項，則（2m-n）²=________.

19.一次測驗共出5道題，做對一題得1分.已知26人的平均分不少于4.8，最低得3 分，至少有3人得4分.則得5分的有________人.

三、B組填空題

22.若長方形的長、寬都是整數，且周長與面積的數值相等，則長方形的面積等于________.

23.將一筐桔子分給若干個兒童，如果每人分4個桔子，則剩下9個桔子;如果每人分6個桔子，則最后一個兒童分得的桔子數將少于3個，由以上可推知共有________個兒童分________個桔子.

25.某種出租汽車的車費是這樣計算的：路程在4公里以內（含4公里）為10.40元，達到4公里以后，每增加1公里加1.60元;達到15公里后，每增加1公里加2.40元，增加不足1公里時按四舍五人計算. 則乘坐15公里該種出租車應交車費________元.某乘客乘坐該種出租車交了車費95.20元，則這個乘客乘該出租車行駛的路程為________公里.（精確到兩位小數）

參考答案

一、選擇題

提示

1.因為0-（0-1999）=0-0+1999=1999，所以選（C）.

2.可用特殊值法.

0既不是正數，也不是負數，否定（C）.

非正整數集是{…，-n，…，-3，-2，-1，0}，其中最大元素是0，所以選（D）.

所以a=±1.

因此a⁴=1.

選（A）.

4.有理數的偶次方得非負數.即可排除（A）、（B）.a<0而a的偶次方是正數，正數的奇次方是正數，所以排除（D），因此應選（C）.事實上a<0，a的奇次方是負數，負數的奇次方仍是負數，所以選（C）.

6.最小的自然數是1，所以a=1.-1是最大的負整數，故b=-1.0是絕對值最小的有理數，c=0.因此，a—6+c=1-（―1）+0=2.

選（D）.

7.將每個數都加1，大小次序不變.

選（B）.

8.用特殊值法.

取a=0，易知（C）、（D）均不成立.而當a=-1，b=0，c=1時，（B）不成立，因此選（A）.

事實上，a

a+c

所以選（C）.

10.設1998年的產值為1，則1999年產值為1+x，2000年產值為

（1+x）+（1+x）x=（1+x）².

要求（1+x）²=1.44，

因為（±1.2）2=1.44，并且x>0，

所以1+x=1.2.x=0.2=20%.

選（D）.

二、A組填空題

提示

12.1998=2×3³×37，

故不同的三個質因數只能是a=2，b=3，c=37.

（b+c）^a=（3+37）²=40²=1600.

這999個式子相乘得

則①+②得

16.直接計算可以求出結果2-4-8-16-32-64-128-256-512+1024=6.

如果注意到2¹⁰前面為“+”號，可巧算：

原式

=2¹⁰-2⁹-2⁸-2⁷-2⁶-2⁵-2⁴-2³-2²+2

=2⁹（2-1）-2⁸-2⁷-2⁶-2⁵-2⁴-2³-2²+2

=2⁹-2⁸-2⁷-2⁶-2⁵-2⁴-2³-2²+2

=2⁸（2-1）-2⁷-2⁶-2⁵-2⁴-2³-2²+2

……

=2²（2-1）+2=6.

此題，若利用（2⁰+2¹+…+2^n-1）+1=2ⁿ，則更簡單.

17.由1999xⁿ⁺⁷與10x^2m+3是同類項，應有

2m+3=n+7，

所以2m-n=4，

兩邊平方得（2m-n）²=4²=16.

19.由于平均分不少于4.8，26人的總分不少于26×4.8=124.8.由于總得分不會出現小數，所以26人的總分不少于125分.

在總分中減去一個3分，再減去3個4分，剩下的22人的總分不少于110分.如果這22人中有一個人沒得5分，則他們的總得分小于22×5=110，這是不可能的，所以得5分的學生數是22人.

20.由圖3可知：

=-（a+b）-[-（b-1）]-[-（a-c）]

-（1-c）

=-a-b+b-1+a-c-1+c

=-2.

三、B組填空題

所以a取得0，1，2，3，4，5，6這七個值，這七個值的和為0+1+2+3+4+5+6=21.

22.設長方形的長和寬分別為x，y，由題意得

xy=2x+2y（其中x、y為正整數）

由此知x-2是4的正約數.

即x-2=1或2或4.

所以x=3或4或6.

相應地y=6或4或3.

因此，長方形面積為18或16.

23.設兒童人數為1，由題可得

0≤（4x+9）-6（x-1）<3，

即0≤-2x+15<3，

解得6

由于人數是整數，所以x=7.

桔子數為4x+9=4×7+9=37.

答：有兒童7人，分桔子37個.

24.若3x-y≥0，則x，y滿足下列方程組

這是不可能的，所以只能3x-y<0，進而得

25.乘客若乘15公里路程，車費應是

10.40+（15-4）×1.60=28.00（元）.

現某乘客共花費用95.20元，設所程路程x公里，顯然x>15，其中前15公里車費是28.00元，x-15公里路程的車費應為2.40（x-15），

所以2.40（x-15）+28.00=95.20.

解得x=43（公里）.