利用趙爽弦圖解題3例

孫志東

【摘要】本文借助于趙爽弦圖中大小兩個正方形邊長之間的關系，解決了含趙爽弦圖或類趙爽弦圖的三個問題.

【關鍵詞】趙爽弦圖;大小正方形邊長的關系;類趙爽弦圖

三國時期的數學家趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”（如圖1），他用形數結合的方法，給出了勾股定理的一種簡潔證明，這種證明方法構思巧妙，給我們很多啟發.

其實它是由四個全等的直角三角形拼成一個大正方形，中間恰好形成一個小正方形（如圖2）.

設Rt△ABE的三邊分別為BE=a，AE=b（b>a），AB=c，則a²+b²=c²，且大、小兩個正方形的邊長分別為c，b-a.

抓住趙爽弦圖大、小正方形的邊長之間的關系，就抓住了趙爽弦圖的關鍵特征，可以靈活地來進行解題.下面舉三例來說明其應用.

例1如圖3，E，F，G，H分別為正方形ABCD各邊的中點，要使中間陰影部分小正方形的面積為5，則大正方形的邊長應該是（）

由F，H為正方形對邊BC，AD的中點可知

AF∥CH，

選（C）.

例2如圖4，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各邊為邊分別作正方形BAHI，正方形BCFG，正方形CADE，延長BG，FG分別交AD，DE于點K，J，連接DH，IJ.圖中兩塊陰影部分面積分別記為S₁，S₂，若S₁：S₂=1：4，四邊形BAHE的面積為27，則四邊形MBNJ的面積為________.

解大正方形BAHI及其內部恰好符合弦圖結構，設BC=a，AC=b，AB=c，則

所以b²=27，

因為S₁：S₂=1：4，

所以a²=4（b-a）²，

因為S_MBNJ=S_BGJM+S_△BNG=S_AKGN+S_△BNG

例3如圖5，四邊形EFGH是正方形ABCD的內接四邊形，且FH=3，EG=4，四邊形EFGH的面積是5，求正方形ABCD的面積.

解從已知條件看，正方形及其內部不是趙爽弦圖，我們不妨構造如圖6的“類趙爽弦圖”，即分別

過點E，F，G，H作AB，BC，CD，AD的垂線，得到矩形MPQN.設PQ=a，PM=b，正方形ABCD的邊長為x.

由①得（ab）²=（10-x²）²，④

由②③得a²b²=（9-x²）（16-x²），⑤

由④⑤得（9-x²）（16-x²）=（10-x²）²，

即x⁴-25x²+144=x⁴-20x+100，