一類平面幾何最值探秘（續）

黃建棟 張淼

《一類平面幾何最值探秘》（發表于《數理天地》（初中版）2022年5月上）已就a+kb類平面幾何最值問題中k=0的情況作了探究，本文繼續探求當k=1，01和k<0（k=-1）時的最值.

1.當k=1時，為a+b型，及由此推廣的a+b+…型，是求一點到兩點（或多于兩點）距離之和的最值問題.這類問題往往要通過變換（較多的是軸對稱變換，也有旋轉變換）轉化為兩點之間線段最短.

例1如圖1，已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，A（0，5），B（3，0），過點B作直線/∥y軸，點P（3，b）是直線l上的一個動點，以AP為邊在AP右側作等腰Rt△APQ，∠APQ=90°.當點P在直線l上運動時，點Q也隨之運動.當b為何值時，AQ+BQ有最小值，并求出最小值.

分析由題意，點P在直線x=3上運動，所以點Q也必在某一直線上運動.顯然此直線過點（3，8）和點（6，5），即點Q在直線y=-x+11上.由此，只要作點B關于直線y=-x+11的對稱點B′，連接AB′，它與直線y=-x+11的交點即為AQ+BQ最小時的點Q的位置.

例2已知，如圖4，邊長為a的正方形ABCD，E是AD上一點.

（1）求作正方形的內接平行四邊形EFGH，使點F，G，H分別在AB，BC，CD上，且它的周長最小;

（2）求此最小周長，它是何種平行四邊形？

分析（1）本題表面上看，是求4條線段之和的最值，但實際上，由于平行四邊形對邊相等，故只須它的一組鄰邊之和取最值即可，故為a+b型.又由于正方形與其內接平行四邊形組成中心對稱圖形.所以由點E位置的確定，BC上一點G的位置也隨之確定，即在AB上求點F，使EF+FG最小.如此，只要作點E關于AB所在直線的軸對稱點E′，問題就迎刃而解了;

顯然，此時△FEE′是等腰直角三角形，從而平行四邊形EFGH是矩形.

例3如圖5，△ABC中，∠A=60°，BC=5，△ABC的面積為10，試作出它的內接△EFG，使點E，F，G分別在BC，CA，AB上，且使其周長最小，并求最小周長.

分析本例為a+b+c型，涉及三個動點，但最終仍要歸結為兩點間線段最短.當a，b，c三線段呈封閉狀時，應通過軸對稱變換拆封閉線段成首尾順連的一條折線段.為此，不妨假設點E已定，則點E關于AB和AC所在直線的對稱點E′，E″也定，連接E′E″，分別交AB，AC于G，F，連接EF，EG，則△EFG的周長即為E′E″.故要使周長最小，只須E′E″最小.

在△AE′E″中，

∠E′AE″=120°，

AE′=AE″=AE，

則當AE最小時，E′E″最小，

分析類似于例2.假設點P已定，則E，F易求，問題轉化為求AP的最值，顯然連接AO交弧BC于一點，即為所求之點P，

例5如圖7，已知△ABC，其中∠A、∠B、∠C均小于120°，求作點P，使PA+PB+PC最小.

分析本題亦為a+b+c型.當a，b，c三線段共點呈放射形時，應利用旋轉變換拆放射三線段成首尾順連的一條折線段.據此，假設點P已作出，連接PA，PB，PC.不妨令BP不動，延長BP，并在其上取PP′=PA，P′B′=PC.連接AB′，若此時AP′=PA（從而△APP′是正三角形），AB′=AC（只須△ACB′是正三角形），則有△APC≌△AP′B′，從而有∠APC=∠AP′B′=120°.

這說明所求點P是對BC，CA的張角都是120°的圓弧的交點.（顯然，這時點P也在對AB的張角為120°弧上，這三圓弧共點）.其實，點P還可通過以下方法作出：在△ABC外作正三角形A′CB和正三角形ACB′，連接AA′，BB′，交點即為所求點P;或者只作正三角形A′CB，連接AA′，它和對BC張角為120°的圓弧的交點亦可.

本題實為求作費馬點.本例所作費馬點位于三角形內，這是因為此三角形的三內角中的最大角小于120。，若大于或等于120°，則費馬點位于這個最大角的頂點.

2.當0

分析千萬不要誤認為

3.當k>1時，這類最值問題的求解，往往要利用位似（相似）變換轉化為兩點之間線段最短.

例8如圖10，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，過AO的中點。作CD⊥AB，CD交⊙O于點D，作直徑DE，點P為⊙O上的一個動點，求PE+2PC的最小值.

4.當k<0時，這在平面幾何最值中較少出現，并且通常也只有k=-1的問題，這時的動點與兩定點距離之差的最值，又分動點在定直線和在定圓上兩種情況：

（1）當動點在定直線上時，①兩定點在定直線同側時，過兩定點的直線與定直線的交點即是取最值時動點的位置，其最值即為兩定點間線段的長.

②兩定點在定直線兩側時，要通過軸對稱變換把異側兩定點轉化成同側兩定點，再按①的情況解決;

（2）當動點在定圓上時，則需借助相似三角形，轉化為求二次函數的最值.

例10如圖12，直線l與半徑為4的⊙O相切于點A，P是⊙O上的一個動點（不與點A重合），過點P作PB⊥l，垂足為B，連接PA.求PA-PB的最大值.

分析本題屬于情況（2），須通過相似，轉化為二次函數求之.作直徑AC，連接CP，則∠CPA=90°，

因為AB是切線，

所以CA⊥AB，又PB⊥l，

所以AC∥PB，

所以∠CAP=∠APB，

所以△APC∽△PBA，

設PA=x，PB=y.

因為⊙O半徑為4，

當x=4時，所以x-y有最大值是2，即PA-PB的最大值是2.